Due problemi di natura combinatoria inerenti le partizioni di un insieme finito

Nella prima parte si considera il problema della enumerazione delle partizioni di un insieme finito e si dà una nuova relazione di ricorrenza fra i numeri di Stirling di seconda specie. La relazione trovata permette di dedurre per via elementare la forma chiusa dei numeri di Stirling di seconda specie e dei numeri di Bell. Nella seconda parte si vuole vedere sotto quali e quante condizioni risulta additiva o superadditiva una funzione reale con dominioP (N), insieme delle parti dell’insieme finitoN. Dopo aver introdotto alcune definizioni, viene evidenziata l’equivalenza fra tre diverse condizioni atte a verificare l’additività di una funzione d’insieme. Dopo aver mostrato che tale equivalenza non sussiste più quando si tenta di trasferirla a funzioni superadditive, si ricava il numero di controlli necessari e sufficienti a verificare la superadditività di una funzione data empiricamente. In seguito si rivedono i risultati ottenuti inquadrandoli nella Teoria dei giochi di cooperazione adn persone, con particolare riferimento al calcolo del valore secondo Shapley, che viene trattato anche in un esempio numerico.     

Stop-loss a tempo continuo e protezione dinamica di un fondo d’investimento

Nella prima parte del nostro lavoro, il surplus di una compagnia d’assicurazione è modellizzato come un processo di Wiener. Consideriamo un contratto d’assicurazione dinamica di solvibilità. Secondo questo contratto, i pagamenti necessari sono effettutati istantaneamente, in modo che il surplus modificato non divenga mai negativo. Matematicamente, questo corrisponde ad introdurre una barriera riflettente in zero. Otteniamo così un’espressione esplicita per il premio netto di un tale contratto. Nella seconda parte, consideriamo un fondo d’investimento il cui valore unitario è modellizzato da un moto browniano geometrico. Differenti forme di protezione di fondi d’investimento sono esaminate. La più semplice consiste in una garanzia che fornisce istantaneamente i pagamenti necessari, di modo che il valore unitario modificato del fondo non scenda sotto un determinato livello protetto. Esiste un’espressione esplicita per il prezzo di una tale garanzia. Questo risultato può anche essere utilizzato per valutare il prezzo di una garanzia in cui il livello protetto è una funzione esponenziale del tempo. In più, è dimostrato come sintetizzare questa garanzia, costruendo il portafoglio replicante. La garanzia dinamica di fondi d’investimento è paragonata all’opzione di vendita corrispondente, e si è osservato che per delle scadenze corte, il rapporto dei due prezzi è di circa 2. Infine ci interesseremo al prezzo di una protezione più esotica, nella quale il valore unitario garantito in ogni momento è una frazione fissa del valore unitario modificato massimo osservato fino a quel momento.     

Su un problema di minimax discreto

Nell'articolo si applicano al problema di minimax discreto dei dadi truccati due condizioni di minimax locale, una necessaria, sostanzialmente già nota, e l'altra sufficiente, originale, contenute in un precedente lavoro dell'autore. Si dimostra che una distribuzione di probabilità per la qualen somme consecutive sono equiprobabili e di probabilità massima verifica la condizione necessaria e che sotto due ulteriori ipotesi, che in pratica appaiono spesso verificate, tale distribuzione verifica altresì la condizione sufficiente di minimax locale. Si deduce quindi un risultato di Clemens.     

Forecasting quarterly movements of the lira/pound-sterling exchange rate: Random walks,drift, seasonality and variable parameters

Quarterly logarithmic changes of the lira/pound-exchange rate for the period 1973 Q1 to 1989 Q1 are examined and the forecasting performance of some simple time series models is evalutated. The performance of the random walk model with drift is examined as a method of forecasting one quarter ahead lira/pound-sterling exchange rate changes. This model is then extended to incorporate seasonal movements. The assumptions of constant drift and seasonal patters are relaxed and the models are estimated using variable parameter regression based on state-space modelling using the Kalman filter. The within and out-of-sample performance of the models illustrates that an improvement in forecast accuracy is obtained by including seasonal variation. However, the results do not appear to be improved by allowing the parameters to follow a random walk, AR(1) or AR(2) process. The random walk model with drift and seasonal patterns performs better at predicting exchange rate movements than predictions based on the forward rate.

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Riassunto Questo saggio esamina il movimcnto dei valori logaritmici dei dati trimestrali per i tassi di cambio tra la lira e la sterlina, per il periodo che va dal primo trimestre del 1973 al primo trimestre del 1989.Si valuta la bontà della previsione dei modelli semplici. Si dà una valutazione dell' attendibilità del modello di passeggiata a caso con variazione, intendendolo come un metodo per prevedere, con un anticipo di tre mesi, i movimenti dei tassi di cambio tra la lira e la sterlina.Questo modello viene poi esteso per incorporare movimenti stagionali, le ipotesi di movimenti costanti casuali e stagionali sono indebolite e i modelli vengono valutati usando analisi di regressione con parametri variabili fondate sui modelli di stato-spaziale usando il filtro di Kalman.L'attendibilità, dentro e fuori il campione, dei modelli dimostra che un miglioramento nell'esattezza delle precisioni viene ottenuto con l'inclusione della variazione stagionale.I risultati, però, non migliorano quando i parametri seguono una passeggiata a caso, un processo AR(1) o un processo AR(2).Il modello della passeggiata a caso con variazione e i movimenti stagionali riescono meglio a pronosticare movimenti dei tassi di cambio che non le previsioni fondate sui tassi fissi di cambio anticipati.

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A revised draft of the paper presented at the 6th. Meeting of the European Working Group on Financial Modelling at Hautes Etudes Commerciales, Liège, Belgium, 27/28 November, 1989     

Strong measures of concordance and convergence in probability

It is shown that convergence in probability is sufficient for a strong measure of concordance to converge to one, and that convergence to one of a strong measure of concordance, along with convergence in law, is sufficient for convergence in probability.

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Riassunto Si mostra che la convergenza in probabilità è condizione sufficiente perché una misura forte della concordanza converga a uno, e che la convergenza a uno di una misura forte della concordanza, insieme con la convergenza in legge, è condizione sufficiente per la convergenza in probabilità.

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Partially supported by M.P.I. (Gruppo di ricerca «Modelli probabilistici»).     

Martingale applicate alla teoria del rischio: Processi di guadagno a submartingala e aggiustabilità

Viene formalizzata e studiata l'attività di una compagnia che opera in un mercato assicurativo non vita. Si ipotizza che il guadagno realizzato sulla generica polizza sia una submartingala. Si danno disuguaglianze significative per la probabilità di rovina all'infinito ed entro l'n-mo periodo nel caso in cui il rendimento di portafoglio della compagnia sia “aggiustabile”. I risultati vengono discussi nel caso in cui il mercato sia stratificato in classi di rischio nell'ipotesi di indipendenza; si accenna al caso particolare di rischi poissoniani e all'ipotesi di correlazione interna alle classi di rischio.     

Dorfman on economic interpretation of optimal control theory: An extension

In the context of a more general model of capital accumulation involving time lags in the response of the state variable (the rate of change of the capital stock) to changes in the values of the decision variables, we establish the main propositions of Optimal Control Theory by means of economic analysis.

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Riassunto Robert Dorfman [3] ha mostrato come ricavare le principali proposizioni della teoria del Controllo Ottimale attraverso l'analisi economica. Il modello d'accumulazione del capitale che lui ha formulato assume che il tasso di cambiamento dello stock di capitale risponderà instantaneamente sia ai valori delle variabili di controllo sia ai valori della variabile di stato.Noi ci proponiamo, qui di estendere il modello formulato da Dorfman con l'inclusione dilags temporali nella risposta dello tasso di cambiamento delle variabili di controllo. Stabiliamo anche quello che abbiamo denominato «the Extended Maximum Principle» usando sostanzialmente le idee di base della teoria del capitale. Infine noi mostriamo che le condizioni necessarie per l'esistenza di una soluzione ottima del nostro problema coincidono con quelle ricavate dall'analisi economica.

     

Massimo della somma tra una funzione lineare ed una funzione lineare fratta

In questo lavoro si considera un problema di estremo vincolato avente la regione ammissibile espressa da diseguaglianze lineari e per funzione obiettivo la somma tra una funzione lineare fratta. Per tale problema viene proposto un algoritmo risolutivo che ne determina una soluzione ottima, generando un numero finito di massimi locali.

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Summary We present a sequential method to solve a constrained extrema problem with feasible region defined by linear inequalities and objective function expressed as a sum of a linear and homografical functions.The technique used finds a finite number of local extrema, the last being the global one.

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Ricerca effettuata con fondi erogati dal Ministero della Pubblica Istruzione.     

Una applicazione dell'approccio multistato ai fondi pensione

La modellistica multistato ha avuto recentemente significative applicazioni nelle assicurazioni di persone ed è stata impiegata anche nello studio di problemi connessi a schemi previdenziali (per questi ultimi si vedano ad esempio i lavori di Amsler, Wilkie, Linnemann). In questa nota si propone una applicazione di tale approccio all'assicurazione di invalidità — vecchiaia — superstiti nel tempo continuo, sia nel caso in cui si lavori con cause di eliminazione permanente che temporanea.

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Summary Recently the mathematics of multistate models has significantly been applied to the insurance of persons and has also been employed in the study of problems connected with pension schemes (e.g. papers written by Amsler, Wilkie, Linnemann). In this paper we suggest a time-continuous application of this approach to a pension scheme providing retirement, disability and death pensions, considering causes of permanent as well as temporary decrement and assuming the probabilistic structure is that of a time-inhomogeneous Markov process. Moreover, the paper presents the formulae of the expected present value of contributions and of benefits. In this regard, some approximate formulae are proposed for the above mentioned values.

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Ricerca finanziata con fondi 60% MURST. L'intero lavoro è frutto di una collaborazione che riguarda ogni parte del medesimo. I contributi personali di R. Pelessoni riguardano i paragrafi 2.2, 2.4, 2.5, quelli di M. Zecchin riguardano i paragrafi 1, 2.1, 2.3.     

Alcune proprietà ed applicazioni finanziarie della media antiarmonica

In questa Nota si ottengono alcune proprietà della media antiarmonica di ordine 2 utilizzando note leggi del pendolo composto e viene messo in evidenza che essa non è sempre una media interna.Si considera poi la media antiarmonica di ordineK ponderata con pesi di segno qualunque e ne viene infine illustrato l'uso e il significato in alcuni problemi di matematica finanziaria.

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Summary In this paper, an interpretation in terms of the reduced compound pendulum length for the second order antiharmonic means, as proposed by De Finetti, is given. By pendulum laws some properties mean are obtained. Finally this paper explains the meaning and the use for the antiharmonic weighted mean of orderk, with reference to some financial mathematics problems.

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Lavoro eseguito nell'ambito del gruppo GNAFA del C.N.R.

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Ringrazio il prof. E. Volpe di Prignano per i suggerimenti e le osservazioni critiche ad una precedente stesura di questo lavoro.     

Equivocations for transposition ciphers

In a transposition cipher the message sequence is subdivided into blocks of equal length and each block is shuffled according to a chosen key. To evaluate the performance of a transposition cipher we take a Shannon-theoretic standpoint and compute relevant equivocations. It is wellknown that transposition ciphers are strongly ideal for memoryless stationary sources (key and cryptogram are independent). We consider also message equivocation and key-appearance equivocation and do not assume that the length of the intercepted cryptogram is a multiple of the block-length. The index of coincidence of the source statistics is shown to be a relevant parameter, at least asymptotically.

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Riassunto Il principio della trasposizione è uno dei più antichi in crittografia, ma non è obsoleto: i cifrari a trasposizione vengono adoperati come blocchi costitutivi di alcuni dei più autorevoli cifrari attualmente in uso, come il DES dell'IBM che è stato adottato dal National Bureau of Standards americano. Il messaggio in chiaro che si vuol cifrare viene spezzato in blocchi di ugual lunghezza e ciascun blocco viene «trasposto» (anagrammato) secondo una permutazione fissa e segreta (la chiave del cifrario). In questo lavoro le prestazioni dei cifrari a trasposizione vengono valutate dal punto di vista della teoria di Shannon, calcolando certe «equivocazioni» pertinenti: tali equivocazioni quantificano l'incertezza di una spia che abbia intercettato il crittogramma; dopo l'intercettazione le equivocazioni a priori si trasformano in equivocazioni a posteriori secondo un meccanismo di tipo bayesiano. Se la sorgente dei messaggi è data da un processo stocastico stazionario senza memoria, è ben noto che per quanto concerne la chiave le equivocazioni a priori e a posteriori coincidono: i cifrari a trasposizione sono in questo caso «fortemente ideali».Noi consideriamo anche l'equivocazione sul messaggio e quella sulla «comparsa della chiave» (quest'ultima è significativa nel caso di «attacchi con testo in chiaro»). L'equivocazione sul messaggio si ottiene da quella sulla chiave, che è una costante indipendente dalla lunghezza del crittogramma intercettato, al modo seguente: si somma un contributo periodico che si annulla solo quando tale lunghezza è un multiplo della lunghezza di blocco, e si sottrae una correzione infinitesima (pari all'equivocazione sulla comparsa della chiave) la cui velocità di convergenza è asintoticamente determinata dall' «indice di coincidenza» della distribuzione di probabilità che regola la sorgente dei messaggi.

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Questo lavoro è parte del programma di ricerca del GNIM-CNR. È incluso nel programma dell'International Symposium of Information Theory, Brighton (Inghilterra), giugno 1985.     

Il mercto interbancario dei depositi: Previsione a breve e gestione della riserva obbligatoria

La capacità di fare previsioni sul mercato monetario è un punto cruciale nella gestione ottima di tesoreria di una banca, anche in virtú della possibilità di mobilizzare parte della riserva obbligatoria presso la Banca d’Italia. In questo studio viene mostrato come l’uso congiuuto di tecniche di previsione per i tassi a breve e la costruzione di un modello decisionale per la gestione della liquidità, basato sulle previsioni, permettano Alla banca di attnare una politica piu attiva con risultati globalmente positivi, in termini di interessi percepiti. A tal tine viene proposta una classe di previsori detti caolici e impostato un problema di decisione dinamica per la gestione ottima della riserva obbligatoria. Infine, si mostra un’applicazione di tale strategia sui tassiOvernight.     

Esistenza Di Un Equilibrio Concorrenziale Per La Teoria Generale Della Domanda Di Spazio E Della Rendita

Si dimostra l’esistenza di un equilibrio concorrenziale in un’economia in cui si tien conto esplicitamente della locazione dello scambio dei beni e si introducono domanda e offerta di spazio. A tale scopo si stabiliscono proprietà di continuità degli estremi per problemi in cui compaiono come incognite funzioni di punto ed insiemi. Nella prima parte si sviluppa una teoria matematica che viene applicata nell’esempio economico trattato nella seconda parte.     

Linear operators,time dominance and IRR

This paper studies the duality underlying the notion of time dominance among cash flows, by providing a dual characterization which is based on linear structures. This approach is prone to meaningful interpretations of both the same notion of time dominance and the well known results concerning it. In particular, we provide a general outline of the links interconnecting time dominance and the internal rate of return by following an alternative course as against other authors.

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Sommario Questo lavoro studia la dualità che sottende alla nozione di dominanza temporale per flussi di cassa, fornendo una caratterizzazione duale di tale relazione d'ordine. L'approccio proposto, basato sull'uso di strutture lineari, permette interpretazioni significative sia del concetto stesso di dominanza temporale, sia di alcuni noti risultati attinenti ad essa. In particolare, con riferimento a quest'ultimo aspetto, si fornisce, seguendo una via alternativa rispetto alla letteratura, un quadro generale dei legami intercorrenti tra dominanza temporale e tasso interno di rendimento.

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Financial support from M.U.R.S.T. and Bocconi University is gratefully acknowledged.     

A note on principal components and morse theorem

We consider a real random vector X with cumulant generating function ψ_X, non-singular covariance matrix and zero expectation and prove that a principal component transformation of X is the Jacobian at the origin of a Morse-transformation for ψ_X. Subsequently, a similar result is stated removing the nondegeneracy assumption. Finally, we discuss the possibility to apply our results in a statistical framework.

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Riassunto Si considera un vettore aleatorio a valori reali X con funzione generatrice dei cumulanti ψ_X, matrice di varianza-covarianza non singolare e valore atteso nullo e si dimostra che una trasformazione delle componenti principali di X è lo jacobiano nell'origine di una trasformazione di Morse per ψ_X. Successivamente un risultato simile viene stabilito rimuovendo l'assunzione di non singolarità. Infine si discute la possibilità di applicare il nostro risultato in ambito statistico.

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Partially supported by M.U.R.S.T.     

Un modello di controllo ottimo per i margini finanziari

In questo lavoro viene affrontato un problema di decisioni sui margini finanziari che può essere inquadrato nell'ambito dei problemi di controllo outimo governati da equazioni integrali di Volterra. Dopo una descrizione del problema economico e delle operazioni finanziarie coinvolte, si schematizza il modello nell'ambito del controllo ottimo regolato da equazioni di tipo integrale che ammettono controlli discontinui di tipo bang-bang. Si danno condizioni necessarie per l'esistenza di soluzioni ottime e, infine, si esamina un caso particolare per evidenziare come il metodo considerato consenta di analyzzare e di individuare le strategie adeguate qualora si specifichino le funzioni in questione.

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Summary In this paper a decision problem for financial margins is investigated. The scheme of the model is a particular control problem governed by a Volterra integral equation, where the optimal control is usually discontinuous (bang-bang control).We provide necessary conditions in order to have optimal solutions and we solve the problem in a particular case.

     

Sul problema del reimpiego dei margini in operazioni finanziarie

Si considerano, in versione discreta, tre forme di operazioni finanziarie con reimpiego dei margini, e, con ipotesi non molto restrittive, si dà una valutazione analitica e diretta di parametri finanziari coinvolgenti i margini, senza bisogno di conoscerne le espressioni esplicite. Sul risultato economico attualizzato (r.e.a.) (v) per l'investitore dell'operazione finanziaria, valutato con fattore di sconto periodalev, si trovano poi formule che danno sue limitazioni inferiori e superiori, e, in un caso particolare, il suo valore esatto: ad illustrazione di ciò vengono dati alcuni semplici esempi numerici.

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Summary Three kinds of discrete financial operations involving reinvestment of net margins are considered.With no restrictions a direct analytical evaluation of financial parameters involving margins is then given. This needs not to know their explicit expressions.Formulas are then given for the discounted cash flow (d.c.f.) of the financial operation. This allows to obtain simple lower and upper bounds, and, at least in onc case, its exact value.Some simple numerical examples are shown.

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La ricerca à stata finanziata con fondi M.U.R.S.T.     

Optimal control theory and the reelection problem: The rise of a political business cycle

Riassunto In questo lavoro gli autori si propongono di evidenziare, tramite tecniche di controllo ottimo, l'insorgere di un ciclo politico economico nell'andamento del sistema economico, cioè l'eventuale manipolazione da parte del governo della situazione economica al fine di essere rieletto per il successivo mandato.Il modello proposto prevede una funzione di costo-popolarità, che determina la rielezione, lineare-quadratica rispetto al reddito nazionale e all'inflazione. La formalizzazione quadratica sia rispetto alla variabile di stato che alla variabile di controllo è motivo di alcune complicazioni analitiche del tutto estranee alla letteratura esistente sul terna. Il modello, da un punto di vista economico, si presenta più ricco e completo rispetto a quelli riportati in letteratura: in esso infatti, oltre alla curva di Phillips, sono presenti anche le equazioni IS-LM. Questa caratteristica rende possibili alcune considerazioni riguardo al ruolo dei fattori monetari e della spesa pubblica all'interno del ciclo politico economico.Dall'analisi svolta nell'articolo risulta confermato l'insorgere, sotto alcune condizioni, di un ciclo politico economico. Per determinati valori dei parametri del modello il comportamento può comunque anche essere caratterizzato da oscillazioni smorzate o da una continua espansione economica.     

Sulla stima della media e del secondo momento di una popolazione tramite campioni con risposta casualizzata

Il campionamento con risposta casualizzata, introdotto da S. L. Warner per la stima di proporzioni ed in seguito applicato dallo stesso autore e da altri alla stima di quantità, è stato oggetto di un recente studio di D. Olivieri che, proposto un semplice metodo di casualizzazione, perviene ad una stima non distorta della media della popolazione oggetto d'indagine.Nel presente lavoro si sviluppa lo studio di Olivieri fornendo una stima non distorta del secondo momento della popolazione e si propone un'altra stima della media e della varianza della popolazione ottenuta tramite un metodo di casualizzazione di più semplice applicazione.

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The randomized response technique of sampling was proposed for the first time by S. L. Warner for the estimation of proportions and then applied, by Warner himself and other authors, to the estimation of quantities.This technique has been recently the object of an approach by D. Olivieri who suggests an easy randomization method and obtains an unbiased estimate of the population mean.In this paper the approach of D. Olivieri is implemented, reaching an unbiased estimate of the second moment of the population; moreover, an other estimate of the mean and of the variance of the population, obtained by an easier-to apply method of randomization, is proposed.

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Versione definitiva pervenuta il 12-1-81     

Sulle operazioni associative tra variabili casuali

Si mostra che, sotto condizioni di regolarità, seo è un’operazione associativa tra variabili casuali reali e indipendenti, è definibile una trasformata integrale ξ delle loro funzioni di ripartizione con la proprietà: ξx ₀ Y (t)=ξx(t)·ξ _y (t). Si indicano alcune proprietà di tale trasformata e si tratta della possibilità di estendere a un’operazione associativa risultati noti per l’addizione tra variabili casuali. In particolare ci si occupa dell’« infinita divisibilità » fornendo condizioni perché una variabile casualeX ammetta la rappresentazioneX=X _1O X _2O … _o X _n per ognin naturale con leX _i indipendenti e identicamente ditribuite.