La théorie des chaînes de Markoff

§ 1. Position du problème.

1. La notion d'événements en chaîne fut introduite par Markoff en 1907; elle étudie des suites d'événements dépendants.     

Litteraturanmälningar

Summary

In § 2 the least square estimatcs are derived for a common factor structure. §§ 3–4 are devoted to further discussion of the estimation and test problems, while the asymptotic variances and covariances of the loading estimates are evaluated in § 5.     

Eine Anwendung des mittleren Fehlers

Abstract

Die Gesetzgebung Dänemarks auf dem Aufsichtsgebiete ist im Jahre 1935 mit einem Pensionskassen AufsichtsGesetz vermehrt worden. Es ist doch nicht die Meinung hier das Gesetz näher zu besprechen. Ich werde nul' einen ganz speziellen Punkt el'wahnen, nämlich die Zahl ?50?, die im § 6 des Gesetzes als Minimum der Mitgliederanzahl einel' Kasse festgesetzt ist, nebst die Betrachtungen, die daran gekniipft sind, in dem Gutachten, das der Ausal'beitung des Gesetzes voranging. Von dieser Zahl 50 heisst es dort: ? Wo die Greenze gesetzt werden kann, muss auf einer Schatzung beruhen, wobei Rllcksicht genommen werden muss dazu, dass die Mitglieder einer Pensionskasse oft sehr verschieden gelohnt und pensioniert sind … ?.     

Martingales in life insurance

Abstract

This paper presents a general probabilistic model, including stochastic discounting, for life insurance contracts, either a single policy or a portfolio of policies. In § 4 we define prospective reserves and annual losses in terms of our model and we show that these are generalisations of the corresponding concepts in conventional life insurance mathematics. Our main results are in § 5 where we use the martingale property of the loss process to derive upper bounds for the probability of ruin for the portfolio. These results are illustrated by two numerical examples in § 6.     

Application de la théorie collective du risque à la réassurance « Excess-Loss »

Abstract

Introduction.

Les méthodes de calcul de la prime de réassurance Excess-Loss utilisées jusqu'à présent ou bien avaient un caractère purement empirique, ou bien présumaient que les écarts entre le montant des sinistres constatés et le montant des sinistres attendus se répartissent suivant la loi de Laplace-Gauss.     

Can Losses Caused by Wind Storms be Predicted from Meteorological Observations?

This paper contains a study of the extent to which aggregate losses due to severe wind storms can be explained by wind measurements. The analysis is based on 12 years of data for a region, Ska § ne, in southern Sweden. A previous investigation indicated that wind measurements from six recording stations in Ska § ne was insufficient to obtain accurate prediction. The present study instead uses geostrophic winds calculated from pressure readings, at a regular grid of size 50 kilometres over Ska § ne. However, also this meteorological data set is seen to be insufficient for accurate prediction of insurance risk. The results indicate that currently popular methods of evaluating wind storm risks from meteorological data should not be used uncritically by insurers or reinsurers. Nevertheless, wind data does contain some information on insurance. risks. There is a need for further research on how to use this information to improve risk assessment.     

Sur le problème d'interpolation

Abstract

Dernièrement quand il était mis en question d'introduire dans la pratique de la technique des assurances sur la vie des primes continues, j''ai fait l'épreuve de calculer d'une manière la plus simple qu'il était possible, des valeurs approximatives mais d'une grande précision des nombres fondamentals      

Le calcul de la prime en réassurance d'excédent de sinistres

Abstract

Deux des rapports traitant la réassurance en excédent de sinistres présentés au XI^ème Congrès International d'Actuaires à Paris, par M. I var Hesselberg et par M. P. Dubois, ont abouti à des conclusions si divergentes au sujet de l'applicabilité de la méthode qu'il peut y avoir intérêt à les examiner de plus près.     

Über die versicherten-sterblichkeit in Finnland. 1920–1930

Abstract

Ende des Jahres 1932 trafen die finnischen Lebensversicherungsgesellschaften Massnahmen für eine gemeinsame Untersuchung über die Sterblichkeit ihrer Versicherten während des J ahrzehntes 1920–1930. In dieser Absicht gab en die Aktuare der verschiedenen Gesellschaften den Herren Dr. Emil Wessel, Dr. E. A. Hintikka und Professor Dr. R. Nevanlinna in Auftrag einen Entwurf zur Ausführung einer solchen Untersuchung zu machen. Anfang Dezember war der Vorschlag des Dreier-Komitees fertig, der auch genehmigt wurde, sodass die Arbeit im Anfang des folgenden Jahres beginnen konnte.     

Einige numerische Untersuchungen auf Grund der kollektiven Risikotheorie

Abstract

Wir gehen nun zu einem Bericht betreffs der Berechnungen über, die unter Annahme einer Maximierung des Versicherungsbetrages (Methode 2, Seite 93) und zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeitszahl φ₁ gemacht worden sind.     

A synthesis of pure demand analysis

Abstract

§ 1. Summary and comments. Since Augustin Cournot, the pure theory of economic equilibrium consists in a separate analysis of demand and supply, the chief problem being- to prove the existence of a price constellation for which demand equals supply. In the theory of demand involved, it is a fundamental principle that demand is uniquely determined by income and prices. This principle is the central theme of the present paper.     

Remarks on risk theory

§ 1. The Scheme U(n).

Following remarks are the result of some deliberations which I have made in order to find a simple starting point for rough estimates of the risk reserves necessary under given conditions. They do not appear with any pretensions. The idea, upon which my thoughts were based, is far from original: I have hoped to be able to simplify the theory by simplifying in a high degree the hypotheses and by confining myself to small numbers and arithmetical methods.     

Deux conférences sur la théorie des probabilités

Abstract

Dans les pages suivantes, nous nous occuperons de quelques questions qui concernent Ie problème général de l'addition des variables éatoires independantes.     

Note sur quelques inégalités et formules d'approximation

Abstract

Les calcuis pénibles et laborieux que nécessitent trop souvent les opérations d'assurance sur la vie, rendent fort désireux de trouver des formules d'approximation ou bien des inégalités générales, faisant connaître en chaque cas particulier, et avec le moins de travail possible, une limite supérieure ou inférieure des expressions dont on cherche la valeur numérique. Cela est évident surtout au cas où l'on désire senlement faire une évaluation “à peu près”. Les exemples en abondent.     

Les potentiels à n dimensions et la fonction de probabilité

Abstract

Je me suis proposé, il y a plusieurs années, d'étudier quelques questions de l'Analyse qui doivent avoir, quoique peut-être pas trop directement, une grande importance pour la théorie des probabilités. J'ai voulu pénétrer les énigmes qui enveloppent encore les connections qui existent certainement entre les formules fondamentales de cette théorie, d'une part, et les créations de la physique mathématique, d'autre part. J'ai surtout pensé aux résultats qui se rap portent aux équations à dérivées partielles, contenant l'expression différentielle de Laplace. Sans doute, la dénudation des secrets les plus intimes d'une théorie, la révélation des analogies frappantes des domaines différents, dans l'esprit de Riemann et Klein, abstraction faite de la beauté brillante de ces recherches, a aussi une grande valeur pratique pour la science. Je crois donc qu'on do it être reconnaissant quand on parvient à des résultats de cette espèce, si peu importants qu'ils peuvent apparaître.     

Erwiderung auf die Antwort Dr. Weinbergs

Abstract

Die Redaktion dieser Zeitschrift hat dem Verfasser gütigst die Antwort des Herrn Dr. W. Weinberg zwecks einer Erwiderung übergeben. Dadurch zu direkter Verbindung mit dem Autor veranlasst, verdanke ich ihm noch einige Bernerkungen und Literaturhinweise.     

Randbemerkungen über den Verlauf der Deckungskapitalien; ihre differentialgleichungen und gewisse ihnen angeknüpfte identitäten

Abstract

Es kann in der Lebensversicherung mitunter von Interesse sein eine gewisse Übersicht darüber zu gewinnen wie sich das Deckungskapital irgend eines vorgelegten Versicherungsbestandes (unter bestimmter Voraussetzung der Sterblichkeit und des Zinsfusses) mit den Jahren ändern wird. Es handelt sich dabei oft um die Abschätzung des Zeitspunktes für den Eintritt des Maximums des Deckungskapitals eines solchen Bestandes, und um die Höhe dieses Kapitals zu diesem Zeitpunkte. Solche Fragen entstehen z. B. bei aussterbenden Versicherungseinrichtungen und namentlich bei Übertragungen von ganzen Versicherungsbeständen, wie sie in dieser Zeit so häufig vorkommen. Der Gegenstand bietet kaum Schwierigkeiten, ist vielmehr theoretisch einfach; jedoch aber nicht ohne Interesse, weshalb eine ganz kurze Auseinandersetzung angepasst sein dürfte. Wir werden dann bei derselben Gelegenheit, obwohl es für die so gestellte Aufgabe nicht nötig war, einige allgemeine Differentialgleichungen und Identitäten ableiten, die mit derselben Aufgabe in enger Verbindung stehen.     

Ein weg zur analyse der invaliditätsanwartschaften

Abstract

Ausgehend von der Fiktion, es sei formell eine vollständige Trennung des Invalidisierungs- und Sterbeprozesses möglich, kann man weitgehende Analogien zwischen allen Arten von Versicherungen auf den Invaliditätsfall einerseits und entsprechend bestimmten Überlebensansprüchen andererseits feststellen und dadurch zu einer einheitlichen und übersichtlichen Darstellung der Invaliditätswerte gelangen.     

Über Chr. Kramp's versicherungsmathematische Arbeiten und seine Formel zur Darstellung der Sterblichkeit,nebst einigen Bemerkungen über die Bestätigung seiner Ansichten durch neuere Untersuchungen

Abstract

Christian Kramp, geb. am 10. 7. 1760, gest. am 13. 5. 1826, war einer der berühmtesten Mathematiker seiner Zeit. Seine Hauptwerke, die »Analyse des refractions astronomiques et terrestres» (die sehr viel mehr hält, als der bescheidene Titel verspricht) und die »Arithmétique universelle» werden sogar heute noch manchmal in Schriften zitiert, die sich mit dem Wahrscheinlichkeits-Integral und mit der Theorie der Fakultäten beschäftigen. Um so auffallender ist es, dass zwei Beiträge Kramp's zur Versicherungs-Mathematik in den Jahrgängen 1787 und 1788 des »Leipziger Magazins für reine und angewandteMathematik» bis heute ganz unbeachtet geblieben sind. Die erste Abhandlung ist betitelt: Versuch, die Natur der bisher bekannt gewordenen Sterblichkeitstafeln durch einfache Gleichungen zu bestimmen», die zweite: »Entwurf einer Einrichtungöffentlicher Leibrentenkassen». Auch der Hinweis NEUMANN's in seiner grossen Übersicht über die VersicherungsLiteratur des 18. Jahrhunderts im Jahrgang 1912 der Zeitschr. f. d. gesamte Versich.-Wissensch. hat nicht vermocht, die Aufmerksamkeit der Fachwelt auf die Aufsätze KRAMP's zu lenken.     

Sur une méthode d'approximation applicable à certains probèmes actuariels

Abstract

Il arrive souvent que l'on désire connaître le changement approximatif que subit une prime ou nne autre quantité, employée dans les opérations d'assurances sur la vie, en augmentant ou diminuant le taux d'intérêt appliqué, mais sans faire le calcul détaillé des nombres cardinaux, nécessaires pour le calcul exact. La plupart des expressions, d'où l'on se sert dans les mathématiques d'assurances sur la vie, pouvant se ramener à des rentes viagères, il suffit pour ce but à calculer les changements que subissent ces quantités en variant le taux d'intérêt.