On the sum or integral of the product of two functions

Abstract

The present paper is a sequel to an earlier paper of mine¹ which will be quoted below as \>2First Paper\>2. Since then, several important contributions to the subject have appeared, in particular papers by RAGNAR FRISCH ², A. W. JOSEPH ³, and G. J. LIDSTONE ⁴ whereby the problem of expanding the product-sum or product-integral in what may be termed Tchebychef and Legendre Moments of the two functions may be considered to have been solved. Also certain valuable papers on orthogonal polynomials by A. C. AITKEN ⁵, G. J. LIDSTONE ⁶, DUNCAN C. FRASER ⁷, and L. TRUKSA ⁸ have a bearing on the subject. — Since this was written a further paper by A. W. JOSEPH has appeared.⁹     

De skandinaviske aktuarforeningers virksomhed i 1934

Abstract

17. Januar 1934. Generalforsamling. Til Medlemmer af Bestyrelsen valgtes: Direktør, cando mag. BJ. Drachmann (Formand), Underdirektør, Beregner, cando act. E. Hude (Næstformand), Aktuar A. Kousgaard Nielsen (Sekretær), Overassistent, cando act. Frk. Margarethe Bjerregaard og Fuldmægtig, cando act. Børge Sørensen.     

On certain inequalities by Steffensen

Abstract

Extract

In this note we are concerned with the inequalities published by Steffensen in this Journal under the title: ?On a generalization of certain inequalities by Tchebycheff and Jensen?. I will show how these inequalities are represented in one form by the integrals of Stieltjes. These integrals have the advantage of containing both sums and the integrals of Riemann. The proof of this generalized theorem is also more simple, which shows that this theorem appears only in this generalization in its most natural form.     

Mortality experience of life annuitants insured with thirteen Swedish offices during the period 1900–1924.

Abstract

To the Scandinavian Life Insurance Congress in Oslo 1926 an investigation into the mortality of annnitants was presented by thirteen Swedish Life Insurance Companies1 The investigation was executed by a committee consisting of Harald Cramér, Reinh. Palmqvist and Iwar Sjögren.      

Edvard Jäderin

Abstract

Im Jahre 1928 hat Frau Dr. H. Pollaczek-Geiringer ² H. Pollaczek-Geiringer: Die Charliersche Entwicklung willkür licher Funktionen, Skandinavisk Aktuarietidskrift 1928, p. 98–111. in dieser Zeitschrift einen Konvergenzbeweis für die Charlier'sche B-Reihe unter der folgenden Voraussetzung bewiesen:     

De skandinaviske Aktuarforeningers Virksomhed i 1939

Abstract

Der er afholdt 7 Møder. 11. Januar. Generalforsamling. Aktuar W. Simonsen valgtes til Sekretær og Aktuar F. Howitz og Fuldmægtig H. P. Rasmussen til Medlemmer af Bestyrelsen.     

Die sterblichkeit der versicherten in schwedischen lebensversicherungsgesellschaften während der Zeit vom 1. Juli 1918–30. Juni 1919

Abstract

Die grossen Influenzaepidemien von 1918 und den folgenden Jahren haben aus natürlichen Gründen das Interesse der Lebensversicherungsstatistiker der ganzen Welt auf sich gelenkt. Statistische Ergebnisse über den Einfluss dieser Epidemien auf die Sterblichkeit von Lebensversicherten findet man so z. B. in folgenden Abhandlungen: Dr. A. WINTER, De sterfte in de laatste jaren. Het Verzekerings-Archief, Jaargang II, No. 2; JAMES D. CRAIG and LOUIS I. DUBLIN, The influenza Epidemic of 1918. Transactions of the Actuarial Society of America, vol. 20, No. 61; R. J. BACKLUND, Dödligheten i spanska sjukan i Kaleva 1918–1920. Nordisk Försäkringstidskrift, Årg. I, n:r 4.     

Measures of departure from symmetry

Abstract

1. Many different measures of skewness have been proposed. The textbook of Albert Waugh ¹ Elements of Statistical Method. New York and London 1938. for instance presents six different measures of skewness. Other measures of skewness have been proposed by Lindeberg ² Skandinavisk Aktuarietidsskrift. Vol. 7. (1925) p. 106. and Lenz ³ Erna Weber: Einführung in die Variations- nnd Erblichkeitsstatistik. München 1935. p. 92. . All these measures are zero when the distribution is symmetric, but any of them may be zero also when the distribution is unsymmetric. I shall here present some measures of skewness which are zero when and only when the distribution is symmetric.     

Functions of measurements under general laws of error

Abstract

The first object of this paper is to extend somewhat a theorem of MISES ¹ (1) Fundamentalsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung, (2) Grundlagen der Wahr. Mathematische Zeitschrift (1919) vol. 4, pp. 1–97; vol. 5, pp. 52–99. , who by the use of the STIELTJES integral ² Bliss, Integrals of Lebesgue, Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 24 (1917), pp. 1–47. Bliss, A necessary and sufficient condition for the existence of a Stieltjes integral, Proceedings of the National Academy of Sciences vol 3 (1917), pp. 633–637. HILDEBRANDT, On Integrals related to and Extensions of the Lebesgue Integrals, Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 24 (1917), pp. 113–144; Ibid., pp. 177–202. CARMICHEAL, Conditions necessary and sufficient for the existence of the STIELTJE'S Integral, Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 5 (1919), pp. 551–555. treats as a single subject continuous (geometric) and discontinuous (arithmetic) probability. Laplace ³ Oeuvres complete de LAPLACE, 3rd Ed., vol. 7, p. 266. , indeed, used a probability function which was in general continuous but had finite jumps, but he left no systematic treatment of the whole field of probability under such general conditions.     

Formulae of recurrence for the semiinvariants at a class of frequency functions of more variables

Abstract

In a paper in this journal¹ Mr. Paul Qvale has proved following theorem:     

Zum Markoffschen Lemma

Abstract

Der Sechste Skandinavische Mathematiker-Kongress (Kopenhagen 1925) hat sich unter anderem mit dem Markoffschen Lemma ¹ A. A. Markoff, Wahrscheinlichkeitsrechnung, deutsch von H. Liebmann, 1912, S. 54–56. Vgl. E. Czuber, Wahrscheinlichkeitsrechnung, I, 3. Aufl., 1914, S. 232–233. beschäftigt, und auf diesem Kongress hat Dr. phil. RAGNAR FRISCH im Anschluss an ein Referat von Prof. Alf Guldberg in einem besonderen Referat den Beweis geliefert, dass die in Frage stehende Ungleichung im allgemeinen Fall keine »Einengung» zulasse. ² Ragnar Frisch, Impossibilité de resserrer l'inégalité de Markow dans le cas général. Kongressbericht, S. 203–206. Der Beweis ist schlüssig, aber er kann, wie mir scheint, einfacher erbracht werden.     

A. Palmström

Abstract

1. Mr R. Frisch has recently ¹ Ragnar Frisch: Sur les semi-invariants et moments employés dans l'étude des distributions statistiques, Oslo, 1926 (Det Norske VidenskabsAkademis Skrifter, II N:o 3), p. 26. established the interesting identity     

Sur le problème des moments et le théorème de Parseval correspondant

Abstract

On connaît le rôle que joue le théorème de Parseval. dans la théorie des séries de Fourier et, plus généralement, dans celle des développements suivant des fonctions orthogonales. On sait aussi qu'on peut généraliser la notion d'orthogonalité ainsi que le théorème de Parseval de différentes manierès, p. ex. en se servant de l'intégrale de Stieltjes correspondant à, une distribution de masses positives.     

An extension of the validity of »Student»-Fisher's law of distribution

Abstract

One of the fundamental laws of the distribution of errors within modern theoretical statistics is the »Student»-Fisher law of distribution, which answers the question:     

A remark on the Pearsonian frequency curves

Abstract

In the well-known volume:»Frequency curves and correlation » Mr. W. PALIN ELDERTON gives an exposition of the Pearsonian frequency curves.     

Über die versicherten-sterblichkeit in Finnland. 1920–1930

Abstract

Ende des Jahres 1932 trafen die finnischen Lebensversicherungsgesellschaften Massnahmen für eine gemeinsame Untersuchung über die Sterblichkeit ihrer Versicherten während des J ahrzehntes 1920–1930. In dieser Absicht gab en die Aktuare der verschiedenen Gesellschaften den Herren Dr. Emil Wessel, Dr. E. A. Hintikka und Professor Dr. R. Nevanlinna in Auftrag einen Entwurf zur Ausführung einer solchen Untersuchung zu machen. Anfang Dezember war der Vorschlag des Dreier-Komitees fertig, der auch genehmigt wurde, sodass die Arbeit im Anfang des folgenden Jahres beginnen konnte.     

Least squares,and a generalisation of the »Student»-Fisher theorem

Abstract

1. Following the methods employed by Steffensen ¹ a simple analytical proof of a generalisation of the »Student»-Fisher theorem is obtained. Geometrical proof of this generalisation has been given by Sterne.²     

Über die Berechnung der Leibrente bei Veränderung des Zinsfusses

Abstract

1. In dieser Zeitschrift haben die Herren Steffensen ¹ 1918, Häft. 1–2, S. 82–97. , Meidell ² 1918, Häft. 3–4, S. 180–198. und Palmqvist ³ 1921, Häft. 3, S. 152–178. Näherungsformeln zur Berechnung der Veränderung der Leibrente bei der Veränderung des Zinsfusses veröffentlicht.     

Ein Beitrag zum Zinsfussproblem

Abstract

Zu den nachfolgenden Untersuchungen wurde der Verfasser veranlasst durch wertvolle Anregungen seines Lehrers, Prof. Dr. W. Friedli, sowie durch die schönen, das Zinsfussproblem berührenden Arbeiten der Herren Steffensen ¹ Skandinavisk Aktuarietidskrift: I. 1918. On certain inequalities between mean values, and their application to actuarial problems. , Meidell ² Skandinavisk Aktuarietidskrift: I. 1918. Note sur quelques inégalités et formules d'approximation. , Palmqvist ³ Skandinavisk Aktuarietidskrift: IV. 1921. Sur une méhode d'approximation applicable à certains problèmes actuariels. und Poukka ⁴ Skandinavisk Aktuarietidskrift: IV. 1923. Über die Berechnung der Leibrente bei Änderung des Zinsfusses. .     

Short notes on Charlier's method for expansion of frequency functions in series

Abstract

1. In 1905 Charlier outlined some methods for the expansion of functions in series. ¹ C. V. L. Charlier, Über die Darstellung willkürlicher Funktionen (Meddelanden från Lunds Observatorium, Ser. I, nr 27). Particularly he was dealing with frequency functions, but the method has a more general application. As is well known there were two kinds of developments considered, namely in terms of the differentials and in terms of the differences of a conveniently chosen developing function. The outstanding examples are — respectively — the expansions of the so called types A and B. The difference series has later gained a special attention by its deduction being attached to the theory for generating functions. ² I. V. Uspensky, On Ch. Jordan's Series for Probability (Annals of Mathematics, Vol. 32, 1931). The true pivotal function in this respect seems, however, to be the moment generating function. In the following notes it will be shown that the differential series as well as difference series built up by the advancing and the central differences are obtainable in a similar way. By employing some convenient cumulants the different expansions can be written down compactly in symbolic forms which reveal their mutual formal relations. It will further be observed that Charlier's method of expansion is the inversion of a method indicated by Abel.