r-te Momente von Punktprozessen

Zusammenfassung {X (t): tR ⁺} sei ein Punktprozeß,H (x) eine konvexe nicht-negative Funktion. Mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeitenp _n (t) für genaun Ereignisse (Punkte) im Zeitpunkt punktt unter der Bedingung, daß im Zeitpunktt mindestens ein Ereignis eintritt, wird eine Beziehung formuliert, die für die Existenz des ErwartungswertesE (H (X (t ₀))) notwendig ist. Hat der Punktprozeß unabhängige Zuwächse, und erfüllt die FunktionH (x) einige weitere Bedingungen, so ist die angegebene Beziehung auch hinreichend für die Existenz dieses Erwartungswertes. Für Punktprozesse mit unabhängigen Zuwächsen ergibt sich als unmittelbare Anwendung dieser Aussagen eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz vonE X (t ₀) ^r für reellesr1.

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Summary Let {X (t): tR ⁺} be a point process andH (x) a convex non-negative function. Using the conditional probabilitiesp _n (t) thatn events (points) occur at timet given that at least one event occurs att a condition is formulated which is necessary for the existence ofE (H (X (t ₀))). This condition is sufficient, too, if the point process has independent increments and the functionH (x) fulfils some further conditions. Using these statements one gets a necessary and sufficient condition for the existence ofE X (t ₀) ^r for realr1.

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Herrn ProfessorWeissinger zum 65. Geburtstag am 12. Mai 1978 gewidmet     

Loss functions and admissible estimators in survey sampling

Summary Consider simple random sampling (without replacement) of a fixed size and lett ₀ be the sample mean, i.e. the arithmetic mean of all variate values observed in the sample. The class {t ₀: real} of estimators for the population mean (i.e. The arithmetic mean of all variate values) then surely is of interest.We discuss different types of variates, in particular variates with positive values only. For these variates the usual square error loss gives rise to a strange class of admissible estimators. An other type of loss functions seems far more appropriate. For this (logarithmic) type, t ₀ is admissible iff =1. We prove that there exists no other type of loss functions with the property that the unbiased estimatort ₀ is the only admissible element of the class {t ₀: >0}.

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Zusammenfassung Bei fest vorgegebenem Stichprobenumfang werde uneingeschränkt zufällig ausgewählt (ohne Zurücklegen);t ₀ bezeichne das Stichprobenmittel, d.h. das arithmetische Mittel aller Stichprobenbeobachtungen des Untersuchungsmerkmals. Von besonderen Interesse ist dann zweifellos die Klasse {t ₀: reell} von Schätzfunktionen für das Gesamtmittel, d.h. für das arithmetische Mittel aller Ausprägungen des Untersuchungsmerkmals.Wir betrachten verschiedene Typen von Untersuchungsmerkmalen, insbesondere Merkmale, die nur positive Ausprägungen besitzen. Für diese Merkmale führt die Verwendung der üblichen quadratischen verlustfunktion zu einer sehr merkwürdigen Klasse zulässiger Schätzfunktionen. Ein anderer Typ von Verlustfunktionen erscheint weit eher angebracht. Für diesen (logarithmischen) Typ ist t ₀ genaudann zulässig, wenn =1 gilt. Wir beweisen, daß für keinen anderen Typ von Verlustfunktionent ₀ das einzige zulässige Element der Klasse {t ₀:>0} ist.

     

Die asymptotische Verteilung des Prognosefehlers bei Prognosen mit Hilfe eines dynamischen ökonometrischen Modells höherer als erster Ordnung

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die asymptotische Verteilung des Prognosefehlers, wie er sich im Rahmen einer dynamischen Simulation eines allgemeinen autoregressiven ökonometrischen Modells der Ordnungp (einschließlich verzögerter exogener Variabler der Ordnungq) ergibt, abgeleitet. Daran anschließend werden einige Fragestellungen, die damit in unmittelbarem Zusammenhang stehen, diskutiert: Die Frage der relativen Effizienz der Prognoseschätzung, basierend auf der unrestricted- bzw. der derived reduced form, die Verwendung der asymptotischen Verteilung des Prognosefehlers für einen predictive test des Modells. Außerdem werden asymptotische simultane Prognoseintervalle abgeleitet.

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Summary The asymptotic distribution of the forecast error in the dynamic simulation of a higher than first order linear dynamic econometric model is derived and related topics are discussed.

     

Über die Existenz überall trennscharfer Tests im nicht-dominierten Fall

Einleitung Es sei (,A) ein Meßraum undP eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf . IstP durch ein -endliches Maß dominiert, so ist nachPfanzagl [1960] für die Existenz eines überall trennscharfen Tests zu jedem Niveau für die HypotheseP=P _o (P, P _o P) gegen die AlternativePP ₀ notwendig und hinreichend, daßP/{P ₀} isotonen Likelihood-Quotienten bzgl.P ₀ besitzt. Für den Fall, daßP total geordnet und dominiert ist, gilt nach [Pfanzagl, 1963] eine entsprechende Aussage: Genau dann existiert zu jedem Niveau ein überall trennscharfer Test, wennP isotonen Likelihood-Quotienten besitzt.Die vorliegende Arbeit zeigt, daß auf die Annahme der Dominiertheit verzichtet werden kann, und liefert darüber hinaus einen einheitlichen Beweis für die beiden oben zitierten Sätze vonPfanzagl.

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Summary Two theorems ofPfanzagl [1960, 1963] about necessary and sufficient conditions for the existence of uniformly most powerful tests are generalized to the undominated case. Moreover a unified proof for the two theorems ofPfanzagl is given.

     

Inference ony>y o by using a correlated variable: A three decision approach

Summary In an extension of the two decision approach [Bauer, Scheiber andWohlzogen, 1975] a Bayes solution is aimed at for the three decisiony>y _o,yy _o or no classification on the basic of the measurement of a positively correlated random variableX, which can be measured more easily and/or with smaller expense. Assuming a bivariate normal distribution forX andY optimal decision regions for the measuredx are derived in the case of constant or exponentially increasing losses.

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Zusammenfassung In Erweiterung des Zwei-Entscheidungsproblems [Bauer, Scheiber undWohlzogen, 1975] wird eine Bayes-Lösung für die drei Entscheidungeny>y ₀,yy ₀ oder keine Zuordnung aufgrund der Messung einer mitY positiv korrelierten, einfacher und/oder billiger zugänglichen ZufallsvariablenX angestrebt. Optimale Entscheidungsbereiche für die Messungenx werden bei Voraussetzung einer bivariaten Normalverteilung fürX undY unter der Annahme konstanter oder exponentiell wachsender Verluste bestimmt.

     

Nichtparametrisches Schätzen in Lebensdauer-Untersuchungen bei reduzierter Information

Zusammenfassung Es wird ein Verfahren angegeben, das die Schätzung von Sterbetafel-Parametern aus beschränkter, Information gestattet. Den verschiedenen Altersklassen sind Populationen mit unterschiedlichen Parametern zugeordnet. Aus diesen Populationen seien Stichproben gegeben, wobei jeweils der Umfang der Stichprobe und der Anteil der Stichprobenelemente bekannt ist, für die zum Beobachtungszeitpunkt das interessierende Ereignis noch nicht eingetreten ist. Auf der Basis dieser Informationen werden Maximum-Likelihood Schätzer der altersspezifischen Sterbewahrscheinlichkeiten und ihre Kovarianzmatrix abgeleitet. Als Restriktion werden Ordnungsrelationen zwischen den zu schätzenden Parametern berücksichtigt. In einem Monte Carlo Experiment werden Schätzwerte mit den tatsächlichen Werten der altersspezifischen Sterbewahrscheinlichkeiten verglichen. Ein Beispiel illustriert die Anwendung.

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A procedure is designed for estimating life-table-parameters on the basis of limited information. The age-intervals are assumed to correspond to populations with different parameters. Samples of known sizes are given from these populations, where the number of individuals is known for which the interesting event has not happened up to the time of observation. On the basis of these data, maximum likelihood estimates of age-specific probabilities of dying and their variance-covariance-matrix are derived. Order restrictions on parameters to be estimated are taken into account. Monte Carlo estimates are compared with actual values of age-specific probabilities of dying. The methods proposed are demonstrated on an example.

     

Zur Entscheidung y>y0 aufgrund der Messung einer korrelierten Variablen

Zusammenfassung Es wird eine optimale Strategie im Sinne des minimalen erwarteten Verlustes für die beiden Entscheidungeny>y _o undyy _o aufgrund der Messungen einer mitY positiv korrelierten, einfacher und/oder billiger zugänglichen ZufallsvariablenX abgeleitet. Dabei wird angenommen, daßX undY nach einer bivariaten Normalverteilung mit bekannten Parametern verteilt sind und die Entscheidungyy _o getroffen wird, wennx größer ist als ein zu bestimmendesx _o, und die Entscheidungy>y _o, wennx gleich oder kleiner als diesesx _o ist. Für die Bestimmung des optimalenx _o werden zunächst die Kosten für die beiden Fehlentscheidungen jeweils als konstant vorausgesetzt, in einem weiteren Ansatz wird jedoch für die Mißklassifikationyy _o eine mity exponentiell wachsende Risikofunktion angenommen. Um die relative Häufigkeit der zu erwartenden Fehlklassifikationen abschätzen zu können, wird schließlich die bedingte WahrscheinlichkeitP(x>x _o,y) errechnet.

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Summary An optimal strategy, with minimum expected risk, for the decisionsy>y _o oryy _o is constructed on the basis of the measurement of a variableX, which is positively correlated withY and can be measured more easily and/or with smaller expense. A bivariate normal distribution with known parameters is assumed forX andY. For the observationsx a limitx _o is aimed at, so that the decisionsy>y _o oryy _o are taken ifx>x orxx _o respectively. Optimal values ofx _o are first calculated under the assumption of constant losses for the two misclassifications (x>x _o ifyy _o andxx _o ify>y _o). In a further approach the loss for a wrong decisionyy _o is assumed to increase exponentially withy. Finally the conditional probabilityP (x>x _o\y) is calculated to get an assessment of the relative frequencies of wrong decisions to be expected.

     

Relationship between generalizedh-Statistics and polykays

Summary In this paper, relationships between generalizedh-statistics which estimate powers and products of central moments unbiasedly and the polykays by using ordered partitions are established. A table expressing generalizedh-statistics of weight 12 in terms of polykays and vice versa is presented. Expressions of weight less than 12 are obtained from this table.

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Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird mittels geordneter Zerlegungen eine Beziehung zwischen verallgemeinerterh-Statistik, welche Potenzen und Produkte von zentralen Momenten erwartungstreu abschätzt, und polykays hergestellt. Eime Tabele mit verallgemeinerterh-Statistik vom Gewicht 12 in polykay-Termen, und umgekehrt, wird gegeben. Gewichtsausdrücke kleiner als 12 werden aus dieser Tabelle gewonnen.

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This research has been supported by a grant from FINEP/Ministério do Planejamento e Coordenacão Geral to the IMUFRJ.     

Das Gesetz des iterierten Logarithmus für kumulative Prozesse

Summary Smith [1955] defined cumulative processes. He proved a strong law of large numbers and a central limit theorem for such processes. This paper deals with the Hartman-Wintner law of the iterated logarithm for cumulative processes using that one for sums [Hartmann/Wintner] and that one for renewal counting processes [Neffke, 1980; cf. alsoWalk].

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Für identisch verteilte Zufallsvariablen wird der Index in Ausdrücken wieE (),P fortgelassen, alsoP , steht fürP _i,i2.

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Im folgenden beschränkt man sich aufv _t()< für allet, also P. Dieses ist mit Wahrscheinlichkeit Eins erfüllt.     

Exponential convergence properties of linear estimators under exponential and uniform distribution

Summary Certain measures of asymptotic efficiency of test statistics are based on exponential convergence properties of the underlying error probabilities (Bahadur-, Hodges-Lehmann-efficiency). From a general large deviation theorem, that is specified to weighted sums of independent identically distributed (i.i.d.) random variables, such exponential convergence properties are derived for test statistics which are linear functions of order statistics of i.i.d. random variables under exponential and uniform distribution. For that purpose some smoothness-conditions for the weights have to be established. In a series of examples it is shown that these conditions are fulfilled for certain robust linear estimators of location or scale parameters. With the help of some numerical results two of them, namely Winsorized and trimmed mean, are compared with regard to the asymptotic relative efficiency against each other.

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Zusammenfassung Bestimmte asymptotische Effizienzbegriffe für Tests basieren auf einem exponentiellen Konvergenzverhalten der zugrundeliegenden Fehlerwahrscheinlichkeiten (Bahadur-, Hodges-Lehmann-Effizienz). Mit Hilfe eines allgemeinen Satzes üver Wahrscheinlichkeiten großer Abweichungen, der spezialisiert wird auf gewichtete Summen unabhängiger, identisch verteilter (i.i.d.) Zufallsvariablen mit momenterzeugenden Funktionen, wird ein solches exponentielles Konvergenzverhalten nachgewiesen für Linearkombinationen von order statistics von i.i.d. Zufallsvariablen unter Exponential- und Rechteckverteilung. Dazu sind bestimmte Bedingungen an die Gewichte zu stellen. In einigen Beispielen wird gezeigt, daß solche Gewichtsbedingungen für eine Reihe von robusten Schätzern erfüllt sind. Zwei spezielle, nämlich das Winsorisierte und getrimmte Mittel, werden mit Hilfe einiger numerischer Ergebnisse hinsichtlich ihrer asymptotischen Effizienz miteinander verglichen.

     

Eine zweifache Verallgemeinerung der Pólya-Verteilung und ihre verschiedenen Deutungen

Zusammenfassung Die erste Verallgemeinerung der Pólya-Verteilung durch Ziehungen aus einer Urne, die Kugeln ins verschiedenen Farben enthält, wird aufr Ziehungsgruppen verallgemeinert und entspricht damit einer Überschreitungswahrscheinlichkeit beir+1 Serien von Stichproben und einer Wartezeitverteilung (Gruppe vons–1 Warteperioden) bei einer geeignet gefüllten Urne mit Kugeln inr Farben sowie der Transponierungswahrscheinlichkeit bei einem Kugelziehungsproblem und weiteren Deutungen; die interessierenden Varianzen und Kovarianzen werden angegeben und mit denen einer verallgemeinerten hypergeometrischen Verteilung verglichen.

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Summary The first generalization ofPólya's distribution by taking balls from an urn with balls ins colours is generalized tor series of takings and thus corresponds to a generalized distribution of exceendances, a certain waiting-problem, to a law of succession and certain other interpretations. Variances and covariances are calculated and compared with those of a generalized hypergeometric distribution.

     

Lineare Modelle und Hochrechnung von Wahlergebnissen

Zusammenfassung In dieser Note betrachten wir lineare statistische Modelle mit singulärer Kovarianzmatrix. Es wird gezeigt, daß die Singularität der Kovarianzmatrix gewisse Einschränkungen für den Erwartungswert impliziert. Es wird aber weiter gezeigt, daß man diese Einschränkungen vergessen kann, wenn man die beste lineare unverfälschte Schätzung des Erwartungswertes berechnet. Diese Ergebnisse werden dann angewandt auf multivariate Regressionsmodelle und die Hochrechnung von Wahlergebnissen aus Teilergebnissen.

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Summary In this note we consider linear statistical models with singular convariance-matrix. It is shown that the singularity of the covariance-matrix implies certain restrictions on the expectation value but it is moreover shown that these restrictions can be forgotten when computing best linear unbiased estimators of the expectation-value. These results are then applied to multivariate regressionmodels and the Hochrechnung of election results, i. e., the prediction of elections from partial results.

     

Eine Verallgemeinerung des „Gesetzes seltener Ereignisse”

Zusammenfassung Beim bekannten Gesetz seltener Ereignisse betrachtet mane große Zahl unabhängiger Ereignisse, die jeweils mit der gleichen kleinen Wahrscheinlichkeit eintreten können. Unter geeigneten Annahmen ist die Zahl der eingetretenen Ereignisse näherungsweise poissonverteilt. [Vgl. z.B. Morgenstern, p. 39, 1968;Waerden, p. 47, 1957].Ein oft angegebenes Beispiel hierfür ist die Häufigkeitsverteilung von Unfällen, die jeweils nur eine Person oder ein Fahrzeug betreffen. In dieser Arbeit gehen wir von Unfällen mit zwei Beteiligten aus. Auf diese Weise erhält man eine Verallgemeinerung des Gesetzes seltener Ereignisse auf gewisse abhängige Ereignisse.Außerdem wird ein neuer Beweis für die allgemeine Formel der Momente der Poissonverteilung gegeben.Damit ist ein Grenzwertsatz für eine spezielle Folge schwach abhängiger Zufallsgrößen bewiesen.

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Summary The well-known law of rare events deals with a large number of independent events, each of which can occur with the same probability. Under suitable assumptions the number of events which occur has approximately a Poisson distribution. [CompareMorgenstern, p. 39, 1968;Waerden, p. 47, 1957].An example which is often used for illustration is the frequency distribution of accidents, in which only one car or one person is involved. In this paper we refer to accidents in which two parties are involved. This leads to a generalization of the law of rare events where cases of dependent events are concerned.In addition a new proof of the general formula as to the moments of Poisson distribution is given.This proves a limit theorem of weakly dependent random variables of a certain sequence.

     

A numerical representation of semiorders on a countable set

Let be a semiorder on a countable setX and letx⁰ y if and only if either there existsx withxxy or there existsx withxxy. Then ⁰ is a preference relation with transitive indifference, which can be represented by a utility functionf of the usual sort. It is well known that is represented by a pair of real-valued functionsu, v, in the sense thatxy if and only ifu(x)>v(y). We prove that there exists a pair of functionsu, v, representing , such thatu+v is the utility function which represents in the usual sense. Moreover it is easily seen that, for such a pair of functionsu, v, we havex⁰ y if and only if eitheru(x)>u(y) or (u(x)=u(y) andv(x)>v(y)).

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Sommario Consideriamo unsemiordine su un insiemeX numerabile e poniamox⁰ y se e solo se esistex tale chexxy, oppure esistex tale chexxy. In questo caso ⁰ è unordine debole, che può essere rappresentato da una funzione di utilitàf nel senso usuale. D'altra parte è rappresentato da una coppia di funzioniu, v, nel senso chexy se e solo seu(x)>v(y). In questo lavoro si prova che ammette una rappresentazioneu, v tale chex⁰ y se e solo seu(x)+v(x)>u(y)+v(y). Si dimostra altresì che, con riguardo ad una siffatta rappresentazioneu, v di , riescex⁰ y se e solo seu(x)>u(y) oppure (u(x)=u(y) ed anchev(x)>v(y)).

     

Vergleich des verallgemeinerten nichtzentralent-Tests mit dem Binomialtest

Zusammenfassung Es sei {F _,(x); –<<, >0} mitF _,(x)=F((x–)/)–F(x) eine standardisierte Verteilungsfunktion — die Familie der zulässigen Verteilungsfunktionen. Der (früher eingeführte) verallgemeinerte nichtzentralet-Test für die Hypothese {PP ₀} mitP:=F _,(x ₀) gegen die Alternative {P>P ₀} zum Niveau wird mit dem entsprechenden nichtparametrischen Test (Test für die Hypothese {pP ₀} über den Parameterp einer Binomialverteilung gegen die Alternative {p>P ₀}) verglichen. Für dent-Test wird die relative asymptotische Effizienz bestimmt.Beide Tests lassen sich als Tests für das zur WahrscheinlichkeitP ₀ gehörende Quantil einer Verteilungsfunktion interpretieren. Der klassische zentrale Student-Test ergibt sich als Spezialfall (F(x)=(x),P ₀=0,5).

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Summary Let {F _,(x);–<<, >0} withF _,(x ₀):=F((x–)/–F(x) a standarized distribution function — the family of admissible distribution functions. The (earlier introduced) generalized noncentralt-test for the hypothesis {PP ₀} withP:=F _,(x ₀) against the alternative {P>P ₀} at level of significance is compared with the corresponding nonparametric test (Binomial test). The relative asymptotic efficiency of thet-test is determined. Both kinds of tests can be interpreted as quantiltests. In caseF(x)=(x),P ₀=0,5 one gets the classical central Student-test.

     

On UMV-EStimators in survey sampling

Summary The existence of uniformly minimal variance estimators in the class of all linear unbiased estimators of the population total is discussed. Some remarks are given on the concept of necessary bestness.

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Zusammenfassung Es wird die Existenz von Schätzungen mit gleichmäßig minimaler Varianz in der Klasse aller linearen erwartungstreuen Schätzungen des Populationstotales besprochen. Einige Bemerkungen werden zum Begriffi necessary bestness gemacht.

     

Die Nichtkonsistenz der M.-L. Schätzer im „Switching Regression” Problem

Zusammenfassung In letzter Zeit werden in der ökonomischen und ökonometrischen Literatur verstärkt Ungleichgewichtsmodelle betrachtet.Bei der Behandlung von methodischen Problemen in Ungleichgewichtsmodellen tritt das switching regression Problem auf.Im switching regression Problem beobachtet man eine Zufallsvariabley, die Regressand in einem vonm möglichen Regressionsansätzen ist; dabei liege keine weitere Information vor, aus welchem Regressionsansatzy beobachtet wird.Es wird gezeigt, daß die Maximum-Likelihood-Schätzer der Parameter der Regressionsansätze im allgemeinen nicht konsistent sind. Damit wird eine Behauptung vonFair/Jaffee [1972] widerlegt.     

Transformationen,die die Normalverteilung charakterisieren

Zusammenfassung Es sei A: R ⁿ R ⁿ eine Abbildung mit für jedes sei einn-dimensionaler Zufallsvektor. Wir beschreiben die Klasse aller TransformationenA, für die unabhängige, nachN(0, 1) verteilte Komponenten hat, sofern nur die KomponentenX ₁,...,X _n des Zufallsvektors ebenfalls unabhängig und identish Gaußisch verteilt sind mit Erwartungswert Null und Varianz 1. Weiter sind Bedingungen angegeben, die sicherstellen, daß nachN(O, ²) verteilte KomponentenX ₁,...,X _n hat, sofern dieX ₁,...,X _n unabhängig und und identisch verteilt sind. Zwei vonBeer undLukacs behandelte Transformationen sind Spezialfälle der hier untersuchten Transformationen.

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Summary Let A: R ⁿ R ⁿ be a transformation with the property for every . We consider a random vector and characterize the class of all transformationsA such that has independentN (0, 1) distributed componentsY ₁,...,Y _n if has the same distribution. Furthermore in the paper there are given conditions which ensure that hasN(O, ² distributed components if and are identically distributed and the componentsX ₁,...,X _n are independent, identically distributed random variables. Two of the transformations tried byBeer andLukacs are special cases of our transformations.

     

Estimating matrices

Assume that there is an unknown nonnegative (m, n) matrixB which represents the input-output relations of some economy. Given the row and column sums ofB, an approximationA ofB and some information about the relation ofA andB then the input-output estimating problem is to find a matrixX which has the same row and column sums asB and which is a good estimate for the actual but unknown input-output matrixB. Here we are going to clarify the different meanings of good in the literature and especially develop primal and dual estimating problems. Additionally we present several efficient algorithms solving the estimating problem.Supported by SFB 21 (DFG), Institut für Operations Research, Universität Bonn, W. Germany.     

Proprietà degli operatori monotoni per problemi di ottimizzazione vettoriale

In questa nota si assegnano condizioni per la monotonia della funzione di ottimo e si dimostrano alcune relazioni fra problemi reciproci, sia nel caso in cui si considera un problema di ottimizzazione scalare vincolata, che in quello in cui si introduce una funzione obiettivo vettoriale, in presenza di uno o piu vincoli. Si formulano infine alcune applicazioni economiche.

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First of all we consider a scalar problem withk inequality constraints max {f(x):g _i (x)b _i ,i=1, ...,k, xD} and analyze the conditions under which the optimal solution is not strictly dominated with respect to the constraint operatorG(x)=[g ₁(x),...,g _k (x)] in the sense of the vector programming. Furthermore we link optimal solutions for reciprocal problems such as and min {G(x):f(x)=(b), xD}. Since the minimization problem is a vector one we pass to study monotonicity properties for the optimum-value correspondence individuated by a vector optimization problem with one or more constraints in order to establish on one hand that the constraint is active at the solution point, on the other hand that the optimal solution is not strictly dominated with respect to the constraint operator.These results allow us to give an interesting interpretation to some economic problems.

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Lavoro eseguito nell'ambito del Gruppo G.N.A.F.A. del C.N.R. per l'anno 1979.

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Presentato alle Giornate Attuariali Triestine e della A.M.A.S.E.S., Trieste, 14–16 Giugno 1979.