Some properties of pseudo P-convex functions

In this note we study some properties of pseudo P-convex functions a class of generalized convex functions, recently introduced by Hackman and Passy, defined in product spaces of finite dimension. In particular we introduce some generalized monotone maps studying their relationships with the gradient of differentiable pseudo P-convex functions and a class of continuous P-connected functions that in a differentiable setting belongs to the class of pseudo P-convex functions.

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Sommario In questa nota si studiano alcune proprietà delle funzioni pseudo P-convesse, una classe di funzioni convesse generalizzate, recentemente introdotte da Hackman e Passy, definite nel prodotto cartesiano di spazi euclidei. In particolare si studiano alcune proprietà di monotonia del gradiente di funzioni pseudo P-convesse differenziabili e si evidenziano alcuni collegamenti con le funzioni P-connesse continue.

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This research is partially supported by the Italian Ministery of University and Scientific Research.     

Scelta tra alternative incerte con informazioni parziali sulle funzioni di utilità

In questo lavoro si considera la classe dei decisori avversi al rischio e per questa classe viene proposto un metodo per verificare la dominanza stocastica tra due possibilità in alternativa quando la funzione d'utilità sia nota soltanto in un numero finito di punti.

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This paper deals with the set of adverse to risk decision-makers. For this set a method to check stochastic dominance is proposed. The method works when utility function value is known only on a finite set of points.

     

Funzioni scalari affini generalizzate

In questo lavoro si estende il concetto di funzione affine a tutte le classi di funzioni che verificano sia una sorta di concavità generalizzata sia la corrispondente proprietà di convessità generalizzata. Di tali classi vengono studiate le relazioni di inclusione e le proprietà relative alle trasformazioni di funzione.

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Summary In this paper some different classes of functions, generalizing the concept of affine function, are introduced and studied. Properties and relationships among the classes are given and some properties about functions transformation are provided.

     

Alcune nuove nozioni di semicontinuità per multifunzioni

Si introducono nuove nozioni di semicontinuità per multifunzioni che estendono quelle classiche relative alle funzioni. Inoltre, utilizzando tali generalizzazioni si studia la semicontinuità superiore di una funzione del tipo inf _v∈N(u) f(u, v). Infine, si applicano i risultati ottenuti ad un problema di scelta del prezzo.

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Summary In this paper new notions of semicontinuity for multifunctions are introduced; this definitions extend the classical notions concerning the functions. Moreover, using this generalizations, the upper semicontinuity of a function like inff(u, v) is studied. In the last section the results obtained are applied to av∈N(u) problem of selection price.

     

Funzioni di utilità di gruppo ed avversione al rischio multivariata

In questo lavoro si studia l'impatto che l'avversione al rischio multivariata ha in un problema di decisione di gruppo, note le misure di avversione al rischio relative alle funzioni di utilità dei singoli individui. Supponendo che tali funzioni siano aggregate in accordo al principio di Pareto e che ad ogni decisione di gruppo sia associato un profitto che deve essere suddiviso tra gli individui del gruppo stesso, si analizzazo i legami tra l'avversione al rischio degli individui e quella del gruppo, soprattutto nei casi in cui le funzioni di utilità sono additive e multilineari.

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In this paper, a methodology for modeling group decision-making problem is presented and links between group and individual multivariate risk aversion are studied.After a decision, a group will recive a payoff which must be devided among the members of the group itself: properties of the group utility functions and the sharing rule are investigated in connection with individual and collective risk aversion, under different assumptions concerning the form of the group utility function.

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Versione definitiva pervenuta il 27-7-1981

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNAFA-CNR.     

Nuove classi di funzioni scalari concave generalizzate

In questo lavoro si introducono cinque nuove classi di funzioni concave generalizzate; di esse si studiano le proprietà e le interrelazioni con le classi più note in letteratura. Più precisamente, dopo aver evidenziato che le nuove classi sono distinte tra loro e da quelle già note in letteratura, se ne analizzano organicamente le differenze e si studia il loro comportamento dapprima in ipotesi di semicontinuità superiore e poi in ipotesi di continuità. Nel lavoro si dimostra inoltre il mantenimento di alcune proprietà strutturali come pure la conservazione delle principali proprietà relative all'ottimizzazione.

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Summary In this paper five new classes of generalized-concave functions are introduced and studied. In particular, it is firstly pointed out that the new classes are different from the known ones, then their relationships are stressed both in general and under hypothesis of upper semicontinuity and continuity.Also some properties about optimization and functions transformation are provided.

     

Trasformata inversa di laplace per funzioni positive e problema dei momenti

Si propone un nuovo metodo per l'inversione numerica della transformata di Laplace per funzioni positive, tipicamente densità di probabilità. La funzione approssimante è ottenuta ricorrendo al principio di Massima Entropia, assumendo come informazione limitata i momenti della funzione da ricostruire, a loro volta legati da ben note relazioni alle derivate della funzione transformata. Dopo aver richiamato alcuni risultati teorici noti in letteratura concernenti l'esistenza dell'approssimante e la convergenza in entropia (e di conseguenza in normaL ₁), si presentano alcuni risultati teorici originali sul condizionamento del problema e alcuni risultati numerici che illustrano la bontà dell'approssimante.

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Summary A new method for the numerical Laplace transform inversion of positive functions, tipically probability density functions, is proposed. The approximating function is obtained resorting to the maxientropic approach, by assuming its moments as partial available information. Some known theoretical results concerning the existence and entropy convergence are reviewed. New theoretical results about the conditioning of the problem and some numerical simulations are illustrated.

     

Una classe di funzioni monotone generalizzate

Si considera la classe delle funzioni realiF(x,y) definite inS×S, conSR ^N , che soddisfano per ognix,yS la condizione di monotoniaF(x,y)+F(y,x)0. Indebolendo la precedente disuguaglianza si introducono classi di funzioni monotone generalizzate e, supponendo soddisfatta una opportuna condizione di omogeneità, si caratterizzano tali funzioni in base alla struttura del segno delle funzioni _{x, v} (t, s) = F(x + tv, x + sv), x S, v R ^N \{0}. Infine dopo aver definite le funzioni F-differenziabili, si introducono classi di funzioni conversse generalizzate, rispetto ad F, e si studiano i collegamenti tra queste classi e la monotonia generalizzata diF.

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Summary We consider the class of real valued functionF(x,y) defined inS×S, withSR ^N , satisfying x,yS the monotone conditionF(x,y)+F(y,x)0. Weakening the previous inequality we introduce the class of quasi-monotone, pseudo-monotone and strictly pseudo-monotone functions. Under a suitable assumption of homogeneity we characterize the generalized monotone functions studying the sign structure of the functions _{x, v} (t, s) = F(x + tv, x + sv), x S, v R ^N \{0}.Finally by means of the notion ofF-differentiability we introduce new classes of generalized convex functions (with respect toF) and we study the relationship between these classes and the generalized monotonicity ofF.

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Questa ricerca è stata parzialmente finanziata dal Ministero per l'Università e la Ricerca Scientifica.     

Una successione di approssimanti per difetto della probabilita' di rovina

In[1] abbiamo stabilito un confine inferiore della probabilità di rovina ψ (u) cioè, psstoR=1-ψ si è mostrato che (*) $$R(u) \leqslant \frac{{1 - \tfrac{a}{c}}}{{1 - \tfrac{{a\mu }}{c}\int_0^u {(1 - F(x)) d x} }} = R(0)k_1 (u), u \geqslant 0$$ dovele costantia, c e μ e la funzioneF hanno il significato che è precisato nel seguito. Noi mostreremo l'esistenza, nella classeC _b delle funzioni continue e limitate, della soluzione dell'equazione integrale (2), cui soddisfa la funzioneR, prescindendo dalla continuità dell'operatore associato all'equazione, ma facendo ricorso soltanto a condizioni di monotonia e alla scelta diR(0)k ₁ quale funzione da cui fare partire il processo iterativo; processo che, ad ogni stadio, porge un confine superiore diR migliore del precedente, e che converge uniformemente sui limitati di [0,+∞) verso la soluzione di (2).     

Some remarks on stochastic dominance

The present work proposes a definition of dominance (dominance in the strict sense), which is weaker than first order stochastic dominance, stating precisely that the r.v.Y dominatesX (XY) if Pr(YX)=1.Such a dominance in the strict sense is then compared with first and second order stochastic dominance and with dominance between descisions of the same decision problem summarised in a table of results, arriving at certain general remarks about decision problems and the choice between r.v.'s. Indications are also given about how it is possible to obtain simple and useful bounds for Pr(YX).

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Riassunto Nel presente lavoro si propone una definizione di dominanza (dominanza in senso stretto) più debole della dominanza stocastica del prim'ordine, precisamente dicendo che la v.a.Y dominaX (XY) se Pr(YX)=1.Si confronta poi tale dominanza in senso stretto con le dominanze stocastiche del primo e del secondo ordine e con la dominanza tra decisioni di uno stesso problema di decisione sintetizzato in una tabella dei risultati giungendo ad alcune precisazioni generali sui problemi di decisione e di scelta tra v.a. Si danno anche indicazioni su come sia possibile ottenere limitazioni per la Pr(YX).

     

Dini derivatives in optimization — Part I

This paper, published in two parts, is mainly concerned with general properties of Dini derivatives of functions of one and several variables and with some applications of this topic to the study of generalized convexity and generalized optimality conditions for mathematical programming problems.In part I the basic definitions and properties are given, with reference both to functions of one real variable and to functions of several real variables. In this part special attention is given to the restatement of the basic theorems of the classical analysis to nondifferentiable functions, in terms of Dini derivatives.In part II we use these derivatives in order to define some classes of nondifferentiable generalized convex functions and the class of generalized upper quasidifferentiable functions. This part concludes with the development of optimality conditions for a nonsmooth programming problem, expressed in terms of the tools prevously introduced.

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Riassunto Il presente lavoro, pubblicato in due parti, riguarda le principali proprietà dei numeri derivati di Dini (o derivate direzioni di Dini), sia di funzioni di una variablile che di più variabili, nonché alcune loro applicazioni allo studio della convessità generalizzata ed a problemi di ottimizzazione vincolata.Nella prima parte del lavoro si forniscono le definizioni e le proprietà fondamentali dei numeri derivati di Dini e vengono riformulati alcuni classici teoremi dell'an alisi, con riferimento a funzioni non differenziabili.Nella seconda parte tali derivate direzionali vengono applicate nello studio di alcune classi di funzioni convesse generalizzate non differenziabili e nell'ottenimento di condizioni di ottimalità per problemi (non differenziabili) di programmazione matematica.

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This research was supported by the Italian Ministry of University and Scientific Research and by the National Science Foundation of the Hungarian Academy of Sciences and Arts (grant OTKA 354/86). The authors have shared their work as follows: Chapters 1 and 3 are attributed to the first author, whereas Chapters 2 and 4 are attributed to the second author. The Introduction and Chapter 5 is common.     

Dini derivatives in optimization — Part II

This paper, published in two parts, is mainly concerned with general properties of Dini derivatives of functions of one and several variables and with some applications of this topic to the study of generalized convexity and generalized optimality conditions for mathematical programming problems.In part I the basic definitions and properties are given, with reference both to functions of one real variable and to functions of several real variables. In this part special attention is given to the restatement of the basic theorems of the classical analysis to nondifferentiable functions, in terms of Dini derivatives.In part II we use these derivatives in order to define some classes of nondifferentiable generalized convex functions and the class of generalized upper quasidifferentiable functions. This part concludes with the development of optimality conditions for a nonsmooth programming problem, expressed in terms of the tools prevously introduced.

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Riassunto presente lavoro, pubblicato in due parti, riguarda le principali proprietà dei numeri derivati di Dini (o derivate direzioni di Dini), sia di funzioni di una variabile che di più variabili, nonché alcune loro applicazioni allo studio della convessità generalizzata ed a problemi di ottimizzazione vincolata.Nella prima parte del lavoro si formiscono le definizioni e le proprietà fondamentali dei numeri derivati di Dini e vengono riformulati alcuni classici teoremi dell'analisi, con riferimento a funzioni non differenziabili.Nella seconda parte tali derivate direzionali vengono applicate nello studio di alcune classi di funzioni convesse generalizzate non differenziabili e nell'ottenimento di condizioni di ottimalità per problemi (non differenziabili) di programmazione matematica.

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This research was supported by the Italian Ministry of University and Scientific Research and by the National Science Foundation of the Hungarian Academy of Sciences and Arts (grant OTKA 354/86). The authors have shared their work as follows: Chapters 1 and 3 are attributed to the first author, whereas Chapters 2 and 4 are attributed to the second author. The Introduction and Chapter 5 is common.     

On certainty equivalent

Riassunto Come noto, una funzione continua e strettamente monotona individua una media associativa di una variabile aleatoria (v.a.)X.Nel presente lavoro si confrontano due medie associativeM _f eM _g , indotte da due diverse funzionif eg, allo scopo di individuare, nella classe delle v.a.X limitate, l'estremo superiore della loro differenza in modulo.Sotto alcune ipotesi, in particolare chef sia una trasformazione crescente e concava dig, si forniscono condizioni necessarie e/o sufficienti di estremo superiore della differenza in questione.Da un punto di vista applicativo, qualoraf eg siano interpretabili come funzioni di utilità e quindi le medie associative considerate assumano il significato di certi equivalenti, l'estremo superiore della loro differenza può rappresentare il margine di contrattazione (sul prezzo) che un venditore ed acquirente potenziali hanno a disposizione. Se poig è lineare ef è concava allora la differenza considerata è il premio di rischio.

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Partially supported by M.U.R.S.T. and C.N.R.     

Un modello di controllo ottimo per i margini finanziari

In questo lavoro viene affrontato un problema di decisioni sui margini finanziari che può essere inquadrato nell'ambito dei problemi di controllo outimo governati da equazioni integrali di Volterra. Dopo una descrizione del problema economico e delle operazioni finanziarie coinvolte, si schematizza il modello nell'ambito del controllo ottimo regolato da equazioni di tipo integrale che ammettono controlli discontinui di tipo bang-bang. Si danno condizioni necessarie per l'esistenza di soluzioni ottime e, infine, si esamina un caso particolare per evidenziare come il metodo considerato consenta di analyzzare e di individuare le strategie adeguate qualora si specifichino le funzioni in questione.

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Summary In this paper a decision problem for financial margins is investigated. The scheme of the model is a particular control problem governed by a Volterra integral equation, where the optimal control is usually discontinuous (bang-bang control).We provide necessary conditions in order to have optimal solutions and we solve the problem in a particular case.

     

Processi stocastici semi-markoviani non-omogenei conservativi

In questo lavoro si introduce il concetto di non-omogeneità nei processi stocastici semi-markoviani conservativi. Si dimostra un teorema di esistenza per la soluzione dell’equazione integrale associata al processo. Si studia infine in un caso particolare il comportamento asintotico di tale soluzione.

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Aim of this paper is to state an existence theorem for the integral equation imbedded with a non-homogenous semi-markov process. If some stochasticity conditions are satisfied, the solution is sole. Finally we study the asymptotic behaviour of this solution in a particular case, that is for a class of birth-and-death linear non-homogenous process.

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Lavoro svolto nell’ambito del GNIM-CNR, Sezione problemi non numerici.     

Rovina,assicurazione e scambi di attività finanziarie

Viene fornita la soluzione in forma chiusa di un problema di ottimizzazione dinamica stocastica, consistente nella scelta ottimale tra consumo e risparmio e nella composizione ottimale di portafoglio, in presenza di possibilità di rovina assicurabile.Dal punto di vista della teoria assicurativa, il lavoro amplia alcuni modelli recenti sull'assicurazione ottima, poiché segue un approccio del tipo «equilibrio generale» con due tipi di agenti eterogenei anziché parziale.Dal punto di vista della teoria di portafoglio, esso si discosta dai modelli tradizionali perché giustifica l'esistenza di scambi sui mercati finanziari e ne spiega l'entità.In questo senso il lavoro amplia alcuni contributi recenti sui flussi di capitale includendovi la possibilità di rovina e l'esistenza di una assicurazione contro di essa.

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Summary This paper provides an analytical solution for a multiperiod stochastic optimization problem, namely consumption and portfolio choice with partial risk insurance.An opposed to some recent optimal-insurance models a general-equilibrium approach —with two classes of heterogeneous agents—is adopted.Furthermore, the paper departs from traditional portfolio analysis in that it emphasises the dynamics of financial markets and justifies the existence of market trading.In this sense, it widens some recent general-equilibrium results on capital flows by including bankruptcy risk and insurance.

     

New aspects of risk aversion some applications in portfolio theory

In the paper the demand for a risky asset is considered as a function of additional random effects on wealth. For special structures of stochastic dependency between the rate of return of the risky asset and additional random wealth it is demonstrated that expected utility theory is a too inflexible instrument to analyze these effects. Expected local utility theory is shown to be more flexible. In case of independency absolute risk aversion is a proper criterion to give intuitive results in this case, too.

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Sunto La domanda di un titolo aleatorio è assunta come funzione di effetti aleatori addizionali sulla ricchezza.Per tipi speciali di dipendenza stocastica tra tasso di rendimento del titolo aleatorio e effetti aleatori addizionali si dimostra che la teoria dell'utilità attesa è troppo rigida come strumento di analisi efficace.Si mostra la maggior flessibilità della teoria dell'utilità attesa locale. Inoltre, in caso di indipendenza, l'avversione al rischio assoluta è un criterio adatto per dare risultati intuitivi.

     

Market economies with many commodities

In this survey problems from the consideration of infinite dimensional commodity spaces in the Arrow-Debreu-McKenzie model are discussed. It has become clear in the last couple of decades that in order to address real policy questions, economic models that are both stochastic and dynamic have to be employed. These models lead naturally to infinite dimensional commodity spaces.

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Riassunto In questo lavoro si discutono i problemi che si presentano quando, in connessione all'esistenza e all'efficienza di equilibri Walrasiani nel modello di Arrow-Debreu-McKenzie, si ammette che lo spazio dei beni sia di dimensione non finita. è diventato chiaro nei due ultimi decenni che per affrontare questioni reali è necessario usare modelli sia dinamici che stocastici e ciò conduce in modo naturale alla considerazione di spazi infinito-dimensionali. Si rimane principalmente confinati alle economie di puro scambio al solo scopo di semplificare la trattazione.

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This paper has been presented atWorkshop in Economic Theory, Venice-June 2–7, 1997 organized by Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti and atXXI Convegno AMASES, Rome-September 10–13, 1997. It is an expanded version of our paper [5] that appeared inJournal of Economic Theory, vol. 74, n. 1, 1997, pp. 62–105. We are grateful to Karl Shell and Academic Press for permission to include that portion of the material here. The research of C. D. Aliprantis was supported in part by the NATO Collaborative Research Grant #941059.     

Linear operators,time dominance and IRR

This paper studies the duality underlying the notion of time dominance among cash flows, by providing a dual characterization which is based on linear structures. This approach is prone to meaningful interpretations of both the same notion of time dominance and the well known results concerning it. In particular, we provide a general outline of the links interconnecting time dominance and the internal rate of return by following an alternative course as against other authors.

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Sommario Questo lavoro studia la dualità che sottende alla nozione di dominanza temporale per flussi di cassa, fornendo una caratterizzazione duale di tale relazione d'ordine. L'approccio proposto, basato sull'uso di strutture lineari, permette interpretazioni significative sia del concetto stesso di dominanza temporale, sia di alcuni noti risultati attinenti ad essa. In particolare, con riferimento a quest'ultimo aspetto, si fornisce, seguendo una via alternativa rispetto alla letteratura, un quadro generale dei legami intercorrenti tra dominanza temporale e tasso interno di rendimento.

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Financial support from M.U.R.S.T. and Bocconi University is gratefully acknowledged.     

Preferenza sociale non transitiva e teorema di Arrow

Questo lavoro estende il teorema di impossiblità di Arrow al caso di preferenza sociale stretta non transitiva. In particolare, si dimostra che se una Funzione di Decisione Sociale (FDS) soddisfa le condizioni di dominio universale, indipendenza dalle alternative irrilevanti, transitività della relazione di indifferenza sociale, il principio di Pareto forte e la regola di indifferenza paretiana, allora la FDS deve essere dittatoriale. Vengono inoltre illustrate le implicazioni di tale risultato per il caso in cui la FDS soddisfa la condizione di dualità.

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Summary This paper extend's Arrow's impossiblity theorem to the case where strict social preference may be intransitive. The main result of the paper is that if a Social Decision Function satisfies Unrestricted Domain, Independence of Irrelevant Alternatives, Transitivity of Social Indifference, the Strong Pareto Principle, and the Pareto Indifference Rule, then there exists a dictator. An application of this result is a new impossibility theorem concerning SDF obeying the condition of Duality. As a by-product of this analysis, the relationships between Neutrality and Duality are somewhat clarified.