Funzioni scalari affini generalizzate

In questo lavoro si estende il concetto di funzione affine a tutte le classi di funzioni che verificano sia una sorta di concavità generalizzata sia la corrispondente proprietà di convessità generalizzata. Di tali classi vengono studiate le relazioni di inclusione e le proprietà relative alle trasformazioni di funzione.

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Summary In this paper some different classes of functions, generalizing the concept of affine function, are introduced and studied. Properties and relationships among the classes are given and some properties about functions transformation are provided.

     

Dini derivatives in optimization — Part I

This paper, published in two parts, is mainly concerned with general properties of Dini derivatives of functions of one and several variables and with some applications of this topic to the study of generalized convexity and generalized optimality conditions for mathematical programming problems.In part I the basic definitions and properties are given, with reference both to functions of one real variable and to functions of several real variables. In this part special attention is given to the restatement of the basic theorems of the classical analysis to nondifferentiable functions, in terms of Dini derivatives.In part II we use these derivatives in order to define some classes of nondifferentiable generalized convex functions and the class of generalized upper quasidifferentiable functions. This part concludes with the development of optimality conditions for a nonsmooth programming problem, expressed in terms of the tools prevously introduced.

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Riassunto Il presente lavoro, pubblicato in due parti, riguarda le principali proprietà dei numeri derivati di Dini (o derivate direzioni di Dini), sia di funzioni di una variablile che di più variabili, nonché alcune loro applicazioni allo studio della convessità generalizzata ed a problemi di ottimizzazione vincolata.Nella prima parte del lavoro si forniscono le definizioni e le proprietà fondamentali dei numeri derivati di Dini e vengono riformulati alcuni classici teoremi dell'an alisi, con riferimento a funzioni non differenziabili.Nella seconda parte tali derivate direzionali vengono applicate nello studio di alcune classi di funzioni convesse generalizzate non differenziabili e nell'ottenimento di condizioni di ottimalità per problemi (non differenziabili) di programmazione matematica.

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This research was supported by the Italian Ministry of University and Scientific Research and by the National Science Foundation of the Hungarian Academy of Sciences and Arts (grant OTKA 354/86). The authors have shared their work as follows: Chapters 1 and 3 are attributed to the first author, whereas Chapters 2 and 4 are attributed to the second author. The Introduction and Chapter 5 is common.     

Dini derivatives in optimization — Part II

This paper, published in two parts, is mainly concerned with general properties of Dini derivatives of functions of one and several variables and with some applications of this topic to the study of generalized convexity and generalized optimality conditions for mathematical programming problems.In part I the basic definitions and properties are given, with reference both to functions of one real variable and to functions of several real variables. In this part special attention is given to the restatement of the basic theorems of the classical analysis to nondifferentiable functions, in terms of Dini derivatives.In part II we use these derivatives in order to define some classes of nondifferentiable generalized convex functions and the class of generalized upper quasidifferentiable functions. This part concludes with the development of optimality conditions for a nonsmooth programming problem, expressed in terms of the tools prevously introduced.

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Riassunto presente lavoro, pubblicato in due parti, riguarda le principali proprietà dei numeri derivati di Dini (o derivate direzioni di Dini), sia di funzioni di una variabile che di più variabili, nonché alcune loro applicazioni allo studio della convessità generalizzata ed a problemi di ottimizzazione vincolata.Nella prima parte del lavoro si formiscono le definizioni e le proprietà fondamentali dei numeri derivati di Dini e vengono riformulati alcuni classici teoremi dell'analisi, con riferimento a funzioni non differenziabili.Nella seconda parte tali derivate direzionali vengono applicate nello studio di alcune classi di funzioni convesse generalizzate non differenziabili e nell'ottenimento di condizioni di ottimalità per problemi (non differenziabili) di programmazione matematica.

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This research was supported by the Italian Ministry of University and Scientific Research and by the National Science Foundation of the Hungarian Academy of Sciences and Arts (grant OTKA 354/86). The authors have shared their work as follows: Chapters 1 and 3 are attributed to the first author, whereas Chapters 2 and 4 are attributed to the second author. The Introduction and Chapter 5 is common.     

La teoria HSSB e il concetto di certo equivalente

In questo lavoro si introduce il concetto di certo equivalente nell'ambito della teoria HSSB e si mostra come tale teoria riesca a spiegare il fenomeno del rovesciamento delle preferenze nei casi più comuni. Vengono poi illustrate alcune proprietà generali del nuovo concetto di certo equivalente.Summary In this paper a new concept of certainty equivalent, in the framework of HSSB theory, is introduced. It is shown that this new point of view can explain the preference reversal phenomenon in some cases. Finally, several properties of the HSSB certainty equivalent are explained in detail.     

An algorithm for resource allocation with constraints in an input-output framework

In a large corporation or at the national level, planning involves a large number of inter-related activities competing for the same resources. In spite of its rather restrictive assumptions, Leontief's Input-Output model is still one of the best tool for the study of physical and financial flows between activities or economic sectors. A simple algorithm to find its solution when the available resources are limited is presented in this paper. The properties of that algorithm that was incorporated in an inter-industrial model built in Venezuela are proven and are followed by examples of application.

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Riassunto In grandi imprese o in sistemi economici nazionali la pianificazione riguarda un numero elevato di attività interrelate che fanno uso delle stesse risorse. Nonostante le ipotesi di base piuttosto restrittive, il modelloinput-output di Leontief è ancora uno degli strumenti più efficaci per lo studio dei flussi fisici e finanziari tra attività o settori economici.In questo lavoro viene presentato un semplice algoritmo per individuare la soluzione d'un problema di pianificazione quando sono limitati gli ammontari delle risorse. Sono dimonstrate alcune proprietà di questo algoritmo, che fu impiegato su un modello di relazioni interindustriali costruito in Venezuela e sono fornite alcune applicazioni esemplificatrici.

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Versione definitiva pervenuta il 14-2-1983     

Optimal control theory and the reelection problem: The rise of a political business cycle

Riassunto In questo lavoro gli autori si propongono di evidenziare, tramite tecniche di controllo ottimo, l'insorgere di un ciclo politico economico nell'andamento del sistema economico, cioè l'eventuale manipolazione da parte del governo della situazione economica al fine di essere rieletto per il successivo mandato.Il modello proposto prevede una funzione di costo-popolarità, che determina la rielezione, lineare-quadratica rispetto al reddito nazionale e all'inflazione. La formalizzazione quadratica sia rispetto alla variabile di stato che alla variabile di controllo è motivo di alcune complicazioni analitiche del tutto estranee alla letteratura esistente sul terna. Il modello, da un punto di vista economico, si presenta più ricco e completo rispetto a quelli riportati in letteratura: in esso infatti, oltre alla curva di Phillips, sono presenti anche le equazioni IS-LM. Questa caratteristica rende possibili alcune considerazioni riguardo al ruolo dei fattori monetari e della spesa pubblica all'interno del ciclo politico economico.Dall'analisi svolta nell'articolo risulta confermato l'insorgere, sotto alcune condizioni, di un ciclo politico economico. Per determinati valori dei parametri del modello il comportamento può comunque anche essere caratterizzato da oscillazioni smorzate o da una continua espansione economica.     

Some properties of pseudo P-convex functions

In this note we study some properties of pseudo P-convex functions a class of generalized convex functions, recently introduced by Hackman and Passy, defined in product spaces of finite dimension. In particular we introduce some generalized monotone maps studying their relationships with the gradient of differentiable pseudo P-convex functions and a class of continuous P-connected functions that in a differentiable setting belongs to the class of pseudo P-convex functions.

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Sommario In questa nota si studiano alcune proprietà delle funzioni pseudo P-convesse, una classe di funzioni convesse generalizzate, recentemente introdotte da Hackman e Passy, definite nel prodotto cartesiano di spazi euclidei. In particolare si studiano alcune proprietà di monotonia del gradiente di funzioni pseudo P-convesse differenziabili e si evidenziano alcuni collegamenti con le funzioni P-connesse continue.

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This research is partially supported by the Italian Ministery of University and Scientific Research.     

Alcune proprietà ed applicazioni finanziarie della media antiarmonica

In questa Nota si ottengono alcune proprietà della media antiarmonica di ordine 2 utilizzando note leggi del pendolo composto e viene messo in evidenza che essa non è sempre una media interna.Si considera poi la media antiarmonica di ordineK ponderata con pesi di segno qualunque e ne viene infine illustrato l'uso e il significato in alcuni problemi di matematica finanziaria.

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Summary In this paper, an interpretation in terms of the reduced compound pendulum length for the second order antiharmonic means, as proposed by De Finetti, is given. By pendulum laws some properties mean are obtained. Finally this paper explains the meaning and the use for the antiharmonic weighted mean of orderk, with reference to some financial mathematics problems.

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Lavoro eseguito nell'ambito del gruppo GNAFA del C.N.R.

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Ringrazio il prof. E. Volpe di Prignano per i suggerimenti e le osservazioni critiche ad una precedente stesura di questo lavoro.     

Test di coerenza per indici statistici di proiezione

Un problema di interesse teorico ma anche applicativo consiste nello stabilire un ordinamento di merito fra vari vettori di proiezione a seconda della loro aderenza al vettore di realizzazione. La questione è risolta definendo degli indici detti di bontà di proiezione che informano sulla maggiore o minore vicinanza fra proiezione e realizzazione. In questo lavoro si esaminano le proprietà che tali indici dovrebbero soddisfare al fine di poter essere correttamente impiegati sul piano operativo.

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Summary An issue of theoretical and applied interest consists in establishing an ordering between different projection vectors according to their adherence to the realization vector. The problem can be solved by defining indices of the validity of projection with respect to realization vectors. In this work, we examine the properties that such indices should have to be correctly used in practice and hence to carry out their task effectively.

     

On certainty equivalent

Riassunto Come noto, una funzione continua e strettamente monotona individua una media associativa di una variabile aleatoria (v.a.)X.Nel presente lavoro si confrontano due medie associativeM _f eM _g , indotte da due diverse funzionif eg, allo scopo di individuare, nella classe delle v.a.X limitate, l'estremo superiore della loro differenza in modulo.Sotto alcune ipotesi, in particolare chef sia una trasformazione crescente e concava dig, si forniscono condizioni necessarie e/o sufficienti di estremo superiore della differenza in questione.Da un punto di vista applicativo, qualoraf eg siano interpretabili come funzioni di utilità e quindi le medie associative considerate assumano il significato di certi equivalenti, l'estremo superiore della loro differenza può rappresentare il margine di contrattazione (sul prezzo) che un venditore ed acquirente potenziali hanno a disposizione. Se poig è lineare ef è concava allora la differenza considerata è il premio di rischio.

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Partially supported by M.U.R.S.T. and C.N.R.     

Dini derivatives in optimization — Part III

This note is a sequel to the analysis of the main properties and applications of Dini derivatives, discussed by the authors in their previous papers [10,11].In particular we show how the generalized convexity of nonsmooth maps could be characterized by the generalized monotonicity of the Dini derivatives.

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Sommario Questa nota è la continuazione di due precedenti lavori degli stessi autori, publicati sulla Rivista di Matematica per le Scienze Economiche e Sociali e riguardanti le principali proprietà ed applicazioni nella teoria dell'ottimizzazione delle derivate direzionali (o numeri derivati) di Dini. Nel presente lavoro tale strumento matematico viene utilizzato al fine di estendere al caso non differenziabile i vari concetti di convessità generalizzata e di monotonia generalizzata proposti soprattutto da Karamardian e Schaible per il caso di funzioni differenziabili.

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Research supported by M.U.R.S.T. and CARIPLO.

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Partially supported by Hungarian National Research Fund (Grant # T 013967).     

Funzioni di utilità di gruppo ed avversione al rischio multivariata

In questo lavoro si studia l'impatto che l'avversione al rischio multivariata ha in un problema di decisione di gruppo, note le misure di avversione al rischio relative alle funzioni di utilità dei singoli individui. Supponendo che tali funzioni siano aggregate in accordo al principio di Pareto e che ad ogni decisione di gruppo sia associato un profitto che deve essere suddiviso tra gli individui del gruppo stesso, si analizzazo i legami tra l'avversione al rischio degli individui e quella del gruppo, soprattutto nei casi in cui le funzioni di utilità sono additive e multilineari.

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In this paper, a methodology for modeling group decision-making problem is presented and links between group and individual multivariate risk aversion are studied.After a decision, a group will recive a payoff which must be devided among the members of the group itself: properties of the group utility functions and the sharing rule are investigated in connection with individual and collective risk aversion, under different assumptions concerning the form of the group utility function.

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Versione definitiva pervenuta il 27-7-1981

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNAFA-CNR.     

Learning non-rational expectations equilibria

A hyperinflation model is analyzed under bounded rationality learning. Agents believe in a misspecified model which is correctly specified at theRational Expectations Equilibrium of the model and they adjust their beliefs by means of theLeast Mean Squares algorithm. Convergence of the bounded rationality learning activity to anon-Rational Expectations Equilibrium point is obtained for any set of parameters of the model.

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Sommario In questo lavoro gli autori analizzano il modello di iperinflazioneà la Cagan sotto l'ipotesi di razionalità limitata. Gli agenti non formano le loro aspettative coerentemente con la struttura completa del modello economico, essi si basano su un modello lineare non correttamente specificato che risulta essere corretto soltanto in corrispondenza dell'equilibrio con aspettative razionali. Si ipotizza che i soggetti aggiornino le loro aspettative tramite un algoritmo di apprendimento. Nel caso specifico, l'algoritmo adottato è ilLeast Mean Squares. Il principale risultato del lavoro è che l'apprendimento con razionalità limitata da parte dei soggetti economici può convergere ad un punto che non è un equilibrio con aspettative razionali. Il risultato è particolarmente interessante poiché la maggior parte degli studi noti in questa letteratura, nonostante non assicurino la convergenza ad un equilibrio con aspettative razionali, assicurano la non convergenza ad un equilibrio che non sia di aspecttative razionali. La convergenza ad un equilibrio non di aspettative razionali è dovuta ad una non corretta specificazione del modello secondo cui i soggetti formano le loro aspettative. In particolare, la convergenza ad un equilibrio non di aspettative razionali si verifica allorché i soggetti non tengono conto nel loro apprendimento di una variabile rilevante che essi classificano come rumore bianco.

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Authors would like to thank an anonymous referee and all of those who gave comments and suggestions at theSociety of Economic Dynamics and Control Conference (SEDC) '94 (Los Angeles, CA-USA);International Conference on Artificial Neural Networks (ICANN) '94 (Salerno, Italy);World Conference on Neural Networks (WCNN) '94 (San Diego, CA-USA);AMASES '94 Conference (Modena, Italy). The usual disclaimers apply.     

A characterization for solutions of stochastic discrete time optimization models

A notion of finitely optimal plan for intertemporal optimization problems as a necessary condition for optimality is introduced. Under interiority of a feasible plan and differentiability of the return function, such a plan satisfies the stochastic analogue of deterministicEuler-Lagrange conditions, which become also sufficient conditions under concavity of the return function. Then, under more general assumptions, a sufficient criterion of optimality based on competitive plans supported by price systems and transversality conditions is discussed. Differently from the current literature, no restrictive hypotheses on the probability measure of the random shocks are assumed.

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Sommario Nella prima parte del lavoro si studiano le soluzioni dettefinitamente ottime che costituiscono una condizione necessaria per l'ottimalità di un piano ammissibile . Sotto ipotesi di interiorità del piano ammissibile e di differenziabilità della funzione obiettivo uniperiodaleF, vengono formulate le condizioni necessarie diEuler-Lagrange in ambito stocastico; aggiungendo l'ulteriore ipotesi di concavità perF, tali condizioni diventano anche sufficienti per l'ottimalità finita.La teoria viene poi estesa al caso sopradifferenziabile ottenendo una generalizzazione delle condizioni di Euler-Lagrange stocastiche che consente di individuare i piani finitamente ottimi mediante la nozione dicompetitività, ovvero supportabilità di un sistema di prezzi aleatori. Con una condizione di trasversalità all'infinito, la competitività diventa condizione sufficiente anche per l'ottimalità propria (cioè non solo finita).La peculiarità della presente trattazione è che tali condizioni sono formulate sotto ipotesi molto generali per quanto riguarda il processo degli shocks esogeni.

     

L'approccio di B. De Finetti per la riassicurazione individuale proporzionale. Modelli semplificati e considerazioni operative

Viene studiato il problema della determinazione della strategia riassicurativa ottima in caso di riassicurazione individuale proporzionale, secondo l'approccio media-varianza. In particolare si analizzano alcuni modelli semplificati nei quali si raggruppano le polizze di un portafoglio sulla base di certe caratteristiche di omogeneità; ciò consente di ridurre in maniera sensibile la complessità dei calcoli previsti nella procedura generale. Completano il lavoro considerazioni di carattere operativo.

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Summary The optimal reinsurance strategy for the proportional reinsurance problem in a meanvariance framework is investigated. In order to simplify the algorithmic complexity, simple models based on the aggregation of portfolio policies are studied. Some operational remarks are added.

     

Considerazioni generali sull’impostazione bayesiana di problemi non parametrici

Si fanno alcune considerazioni di natura generale sui problemi statistici non parametrici e sulla loro risoluzione dal punto di vista bayesiano. Dopo aver posto in evidenza l’importanza delle medie associative come strumenti di analisi statistica dei suddetti problemi, ci si propone di determinare la distribuzione iniziale e finale di una generica media associativa nell’ipotesi che le misure di probabilità assegnabili al fenomeno in esame siano rette da un processo di Dirichlet. Ricordate le proprietà fondamentali di tale processo, si rinvia la risoluzione del problema posto alla seconda parte del lavoro.     

Preferenza sociale non transitiva e teorema di Arrow

Questo lavoro estende il teorema di impossiblità di Arrow al caso di preferenza sociale stretta non transitiva. In particolare, si dimostra che se una Funzione di Decisione Sociale (FDS) soddisfa le condizioni di dominio universale, indipendenza dalle alternative irrilevanti, transitività della relazione di indifferenza sociale, il principio di Pareto forte e la regola di indifferenza paretiana, allora la FDS deve essere dittatoriale. Vengono inoltre illustrate le implicazioni di tale risultato per il caso in cui la FDS soddisfa la condizione di dualità.

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Summary This paper extend's Arrow's impossiblity theorem to the case where strict social preference may be intransitive. The main result of the paper is that if a Social Decision Function satisfies Unrestricted Domain, Independence of Irrelevant Alternatives, Transitivity of Social Indifference, the Strong Pareto Principle, and the Pareto Indifference Rule, then there exists a dictator. An application of this result is a new impossibility theorem concerning SDF obeying the condition of Duality. As a by-product of this analysis, the relationships between Neutrality and Duality are somewhat clarified.

     

Alcune osservazioni su indici di durata per operazioni finanziarie di scadenza finale aleatoria

In questa nota si propone una definizione didurata media finanziaria per operazioni finanziarie il cui numero di poste è aleatorio. Dopo aver fornito alcune proprietà di tale indice, si introducono ulteriori indici di durata studiandone le relazioni intercorrenti. Infine, si considera il caso di un'emissione obbligazionaria (dal punto di vista del sottoscrittore) e, dopo aver verificato alcuni dei risultati precedentemente ottenuti, si dimostrano particolari proprietà della durata media finanziaria.

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Summary In this paper, we define duration for a financial operation with a random number of cash-flows and prove some general results. Then, we introduce other duration indices and prove some appealing relationships among them. Finally, we consider a bond issue and prove further results about duration in this particular case.

     

Funzioni di Green per equazioni differenziali ordinarie e applicazioni in finanza

Nella letteratura finanziaria è ricorrente la presenza di problemi ai valori iniziali o ai limiti, non omogenei, la cui soluzione può essere espressa in forma integrale. A tal fine si utilizza un nucleo, detto funzione di Green, di cui è possibile indagare le proprietà e fornire un'interpretazione probabilistica. Il presente lavoro esamina e rielabora tale metodo risolutivo, usato per la valutazione di funzionali di processi stocastici privi di fattori di sconto. D'altro canto, nella letteratura finanziaria sono presenti funzionali al cui interno è riconoscibile un fattore di sconto. Definiremo la funzione di Green anche in relazione ad essi e li studieremo al di fuori del caso browniano, già noto.Summary Second-order ordinary differential equations, both linear and non-homogeneous, play an important role in Finance. Integral form solutions to the corresponding initial or boundary-value problems — in the spirit of the Feynmac-Kac representation — are well-known. They are based on a kernel, known as Green's function. This method has been applied almost exclusively to the representation of functionals of stochastic processes with no discount factor. In Finance however we are mainly concerned with functionals presenting a discount factor, which have been extensively studied for the brownian case only. As a consequence, the paper firstly reviews the concept and properties of the Green function, especially with reference to the standard evaluation of functionals of stochastic processes. Secondly, it develops a Green's function approach for discounted functionals. Finally, it suggests applications and extensions.

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L'autrice è grata ad un anonimo referee per i suggerimenti dati al lavoro, che ha goduto del parziale finanziamento MURST 40% (Intermediazione finanziaria, funzionamento dei mercati ed economia reale).     

About an interactive model for sexual populations

In this paper the continuous random mating two-sex model with «harmonic mean» fertility function, partially investigated by Schoen (1983), is studied. Its closed form solution in the phase space is obtained in virtue of the homogeneity of the vector field considered. By introducing the notion of survival ability it has been clarified the balancing role played by the «marriage market».

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Riassunto Questo lavoro tratta il modello a «media armonica» per popolazioni sessuate parzialmente studiato da Schoen (1983). Si ricavano e si studiano dettagliatamente le soluzioni corrispondenti a quei valori dei parametri che individuano i casi più rilevanti dal punto di vista demografico. Per completezza, si presentano cornunque i diagrammi di fase in relazione a tutti i possibili valori delle «capacità di sopravvivenza». È stato così possibile definire chiaramente le situazioni che danno luogo, nel lungo periodo, a comportamenti di tipo stabile secondo la definizione di Lotka, facendo, in particolare, luce sul ruolo giocato dal «mercato matrimoniale».