L'approccio di B. De Finetti per la riassicurazione individuale proporzionale. Modelli semplificati e considerazioni operative

Viene studiato il problema della determinazione della strategia riassicurativa ottima in caso di riassicurazione individuale proporzionale, secondo l'approccio media-varianza. In particolare si analizzano alcuni modelli semplificati nei quali si raggruppano le polizze di un portafoglio sulla base di certe caratteristiche di omogeneità; ciò consente di ridurre in maniera sensibile la complessità dei calcoli previsti nella procedura generale. Completano il lavoro considerazioni di carattere operativo.

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Summary The optimal reinsurance strategy for the proportional reinsurance problem in a meanvariance framework is investigated. In order to simplify the algorithmic complexity, simple models based on the aggregation of portfolio policies are studied. Some operational remarks are added.

     

Una funzione ordinale di benessere sociale

In questo lavoro trattiamo il problema di come amalgamare preferenze di individui in una preferenza sociale in relazione a certe alternative determinando una preferenza sociale che soddisfa i due Assiomi e le Condizioni 1,4,5 di Arrow.

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Summary In this paper we deal with the problem of how to amalgamate individual preferences to form one social preference in relation to certain alternatives determining a social preference satisfying the 2 Axioms and the 1, 4, 5 Conditions of Arrow.

     

Funzioni scalari affini generalizzate

In questo lavoro si estende il concetto di funzione affine a tutte le classi di funzioni che verificano sia una sorta di concavità generalizzata sia la corrispondente proprietà di convessità generalizzata. Di tali classi vengono studiate le relazioni di inclusione e le proprietà relative alle trasformazioni di funzione.

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Summary In this paper some different classes of functions, generalizing the concept of affine function, are introduced and studied. Properties and relationships among the classes are given and some properties about functions transformation are provided.

     

Forecasting quarterly movements of the lira/pound-sterling exchange rate: Random walks,drift, seasonality and variable parameters

Quarterly logarithmic changes of the lira/pound-exchange rate for the period 1973 Q1 to 1989 Q1 are examined and the forecasting performance of some simple time series models is evalutated. The performance of the random walk model with drift is examined as a method of forecasting one quarter ahead lira/pound-sterling exchange rate changes. This model is then extended to incorporate seasonal movements. The assumptions of constant drift and seasonal patters are relaxed and the models are estimated using variable parameter regression based on state-space modelling using the Kalman filter. The within and out-of-sample performance of the models illustrates that an improvement in forecast accuracy is obtained by including seasonal variation. However, the results do not appear to be improved by allowing the parameters to follow a random walk, AR(1) or AR(2) process. The random walk model with drift and seasonal patterns performs better at predicting exchange rate movements than predictions based on the forward rate.

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Riassunto Questo saggio esamina il movimcnto dei valori logaritmici dei dati trimestrali per i tassi di cambio tra la lira e la sterlina, per il periodo che va dal primo trimestre del 1973 al primo trimestre del 1989.Si valuta la bontà della previsione dei modelli semplici. Si dà una valutazione dell' attendibilità del modello di passeggiata a caso con variazione, intendendolo come un metodo per prevedere, con un anticipo di tre mesi, i movimenti dei tassi di cambio tra la lira e la sterlina.Questo modello viene poi esteso per incorporare movimenti stagionali, le ipotesi di movimenti costanti casuali e stagionali sono indebolite e i modelli vengono valutati usando analisi di regressione con parametri variabili fondate sui modelli di stato-spaziale usando il filtro di Kalman.L'attendibilità, dentro e fuori il campione, dei modelli dimostra che un miglioramento nell'esattezza delle precisioni viene ottenuto con l'inclusione della variazione stagionale.I risultati, però, non migliorano quando i parametri seguono una passeggiata a caso, un processo AR(1) o un processo AR(2).Il modello della passeggiata a caso con variazione e i movimenti stagionali riescono meglio a pronosticare movimenti dei tassi di cambio che non le previsioni fondate sui tassi fissi di cambio anticipati.

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A revised draft of the paper presented at the 6th. Meeting of the European Working Group on Financial Modelling at Hautes Etudes Commerciales, Liège, Belgium, 27/28 November, 1989     

Dini derivatives in optimization — Part III

This note is a sequel to the analysis of the main properties and applications of Dini derivatives, discussed by the authors in their previous papers [10,11].In particular we show how the generalized convexity of nonsmooth maps could be characterized by the generalized monotonicity of the Dini derivatives.

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Sommario Questa nota è la continuazione di due precedenti lavori degli stessi autori, publicati sulla Rivista di Matematica per le Scienze Economiche e Sociali e riguardanti le principali proprietà ed applicazioni nella teoria dell'ottimizzazione delle derivate direzionali (o numeri derivati) di Dini. Nel presente lavoro tale strumento matematico viene utilizzato al fine di estendere al caso non differenziabile i vari concetti di convessità generalizzata e di monotonia generalizzata proposti soprattutto da Karamardian e Schaible per il caso di funzioni differenziabili.

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Research supported by M.U.R.S.T. and CARIPLO.

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Partially supported by Hungarian National Research Fund (Grant # T 013967).     

Sull'accumulo di un capitale in condizioni di incertezza

Si considera il problema dell'accumulo di un capitale, mediante versamenti annui in presenza di inflazione. Si assume che l'intensità di inflazione sia un processo stocastico governato da un modello lineare dinamico e si determina la distribuzione di probabilità del valore nominale tran anni di un capitale avente un prefissato valore reale (a prezzi odierni). Quindi si determinano i versamenti ottimi (nel senso della teoria delle decisioni), sia nel caso di decisione in blocco, sia nel caso di decisione sequenziale. Si considera infine il caso in cui anche i fattori di montante siano aleatori.

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The paper considers the problem of the constitution of a capital through annual deposits, when inflation is present.The intensity of inflation is assumed to be a random process driven by a dynamic linear model and then the probability distribution of the nominal value after n years of a capital, whose real value today is fixed, is determinend.Then the optimal deposits are determined, both in the case of block decision, and in the sequential case. The case of random discount factors is considered, as well.

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNAFA-CNR.     

Nuove classi di funzioni scalari concave generalizzate

In questo lavoro si introducono cinque nuove classi di funzioni concave generalizzate; di esse si studiano le proprietà e le interrelazioni con le classi più note in letteratura. Più precisamente, dopo aver evidenziato che le nuove classi sono distinte tra loro e da quelle già note in letteratura, se ne analizzano organicamente le differenze e si studia il loro comportamento dapprima in ipotesi di semicontinuità superiore e poi in ipotesi di continuità. Nel lavoro si dimostra inoltre il mantenimento di alcune proprietà strutturali come pure la conservazione delle principali proprietà relative all'ottimizzazione.

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Summary In this paper five new classes of generalized-concave functions are introduced and studied. In particular, it is firstly pointed out that the new classes are different from the known ones, then their relationships are stressed both in general and under hypothesis of upper semicontinuity and continuity.Also some properties about optimization and functions transformation are provided.

     

A characterization for solutions of stochastic discrete time optimization models

A notion of finitely optimal plan for intertemporal optimization problems as a necessary condition for optimality is introduced. Under interiority of a feasible plan and differentiability of the return function, such a plan satisfies the stochastic analogue of deterministicEuler-Lagrange conditions, which become also sufficient conditions under concavity of the return function. Then, under more general assumptions, a sufficient criterion of optimality based on competitive plans supported by price systems and transversality conditions is discussed. Differently from the current literature, no restrictive hypotheses on the probability measure of the random shocks are assumed.

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Sommario Nella prima parte del lavoro si studiano le soluzioni dettefinitamente ottime che costituiscono una condizione necessaria per l'ottimalità di un piano ammissibile . Sotto ipotesi di interiorità del piano ammissibile e di differenziabilità della funzione obiettivo uniperiodaleF, vengono formulate le condizioni necessarie diEuler-Lagrange in ambito stocastico; aggiungendo l'ulteriore ipotesi di concavità perF, tali condizioni diventano anche sufficienti per l'ottimalità finita.La teoria viene poi estesa al caso sopradifferenziabile ottenendo una generalizzazione delle condizioni di Euler-Lagrange stocastiche che consente di individuare i piani finitamente ottimi mediante la nozione dicompetitività, ovvero supportabilità di un sistema di prezzi aleatori. Con una condizione di trasversalità all'infinito, la competitività diventa condizione sufficiente anche per l'ottimalità propria (cioè non solo finita).La peculiarità della presente trattazione è che tali condizioni sono formulate sotto ipotesi molto generali per quanto riguarda il processo degli shocks esogeni.

     

A dynamic cournot-nash equilibrium in fishery: The effects of entry

A dynamic Cournot-Nash equilibrium of the fish war between two countries has been derived and its steady-state behavior studied by Levhari and Mirman on the basis of a discrete dynamic programming method. In this paper we shall consider an n-country extension of Levhari-Mirman fish war model. We shall derive the Cournot-Nash equilibrium and its steady-state value to analyze the effects of entry (or exit) in fish war. A comparison is made between in dividual management of fishery by each country and joint management by all countries.

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Riassunto In questo lavoro si considera l'estensione, al caso din paesi concorrenti, del modello concorrenziale dell'attività peschereccia proposto da Levhari e Mirman. Viene derivata la configurazione di equilibrio di Cournot-Nash e si calcola il suo valore stazionario per analizzare l'effetto d'entrata (o d'uscita) di un agente nella attività concorrenziale.Viene infine fatto un confronto tra la conduzione individuale della pesca in ogni singolo paese e la conduzione congiunta di tutti i paesi considerati.

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Versione definitiva pervenuta il 17-1-81     

Sul premio dell'assicurazione mista in presenza di tare

Con procedimento analitico si determina la formula di Lidstone per l'assicurazione mista su due teste tarate, qualunque sia il tipo di sopramortalità Si esaminano poi i casi di sopramortalità crescente, costante e decrescente e si deducono le formule che forniscono il premio puro mediante gli analoghi premi su teste normali, assegnando l'espressione dell'errore che si commette applicando tali formule.

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Through analytical methods we obtain Lidstone's formula for a mixed insurance on two extra risks.We also give an expression of the related approximation error.

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Pervenuto il 15-3-82     

Alcune osservazioni su indici di durata per operazioni finanziarie di scadenza finale aleatoria

In questa nota si propone una definizione didurata media finanziaria per operazioni finanziarie il cui numero di poste è aleatorio. Dopo aver fornito alcune proprietà di tale indice, si introducono ulteriori indici di durata studiandone le relazioni intercorrenti. Infine, si considera il caso di un'emissione obbligazionaria (dal punto di vista del sottoscrittore) e, dopo aver verificato alcuni dei risultati precedentemente ottenuti, si dimostrano particolari proprietà della durata media finanziaria.

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Summary In this paper, we define duration for a financial operation with a random number of cash-flows and prove some general results. Then, we introduce other duration indices and prove some appealing relationships among them. Finally, we consider a bond issue and prove further results about duration in this particular case.

     

Processi stocastici semi-markoviani non-omogenei conservativi

In questo lavoro si introduce il concetto di non-omogeneità nei processi stocastici semi-markoviani conservativi. Si dimostra un teorema di esistenza per la soluzione dell’equazione integrale associata al processo. Si studia infine in un caso particolare il comportamento asintotico di tale soluzione.

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Aim of this paper is to state an existence theorem for the integral equation imbedded with a non-homogenous semi-markov process. If some stochasticity conditions are satisfied, the solution is sole. Finally we study the asymptotic behaviour of this solution in a particular case, that is for a class of birth-and-death linear non-homogenous process.

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Lavoro svolto nell’ambito del GNIM-CNR, Sezione problemi non numerici.     

Approccio di tipo max-min per la determinazione del prezzo psicologico in caso di incertezza

Si considera un modello, già noto in letteratura, in cui un produttore deve determinare il prezzo unitario di vendita del bene che produce. Scopo di questo lavoro è generalizzare il modello suddetto al caso di incertezza nell'informazione e studiare l'esistenza delle soluzioni del problema che consegue da tale generalizzazione.

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Summary Let us consider a model, known in literature, in which a producer must determine the unitary selling-price of the commodity that he produces. Purpose of this paper is to generalize such a model for case of uncertainty in the information and to study the existence for the problem connected with this generalization.

     

Un modello non lineare sul funzionamento dei mercati azionari

Si analizza il funzionamento di un mercato azionario dove gli agenti sono caratterizzati da razionalità limitata, comportamento eterogeneo e disponibilità limitata di risorse finanziarie. La dinamica del mercato azionario viene spiegata attraverso un sistema non lineare del secondo ordine, a tempo continuo. Vengono esaminate le biforcazioni verificantesi al variare di un parametro avente particolare significato dal punto di vista finanziario. Ciò consente di rilevare l'esistenza di diverse modalità di funzionamento asintotico. Come suggerito dall'intuizione, al crescere del numero degli agenti dotati di minore razionalità, la dinamica del mercato diviene sempre più irregolare.

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Summary A stock market model is conceived within which investors are qualified by bounded rationality, asymmetric behaviour, and restricted availability of money. The stock market is represented through a second order nonlinear model which is continuous in time. Attention is attached to the bifurcations that arise when a financially meaningful parameter is suitably varied. In this way a range of asymptotic behaviours is detected. As one would expect, an excess in traders with low rationality results in an unstable market.

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Si ringraziano sentitamente il Prof. S. Baldone, il Prof. M. Gatto, il Dott. M. Miari, il Prof. L. Peccati ed il Prof. S. Rinaldi per i preziosi suggerimenti offerti.     

On local relative stability. With special reference to economic applications

Relative stability can be defined as the stability of equilibriumrays. Hence standard method of studying local stability by means of the spectrum of the Jacobian matrix at an equilibriumpoint cannot be used. This problem can often be circumvented by deriving from the original one a new system, having as state variables certainratios between the original variables, so that the equilibrium set will become a point and the standard method will apply. However, the Jacobian matrix at that point will be formed on the basis of a linear combination of the rows of the Jacobian matrix of the original system at a point of its equilibrium set and will normally be much more difficult to analyze. Here a method for studying local relative stability on the basis of the latter matrix is provided.

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Riassunto La stabilità relativa può esser definita come la stabilità diraggi di equilibrio. Quindi il metodo consueto consistente nello studiare la stabilità locale per mezzo dello spettro della matrice giacobiana in unpunto di equilibrio non può esser usato. Tuttavia questo problema spesso può esser superato qualora dal sistema originale possa esser derivato un altro sistema, avente come variabili di sato certi rapporti tra le variabili originarie, cosicché l'insieme di equilibrio del nuovo sistema si riduca ad un punto. In tal caso la matrice giacobiana in tale punto sarà formata sulla base di combinazioni lineari delle righe della matrice giacobiana del sistema originario in un punto del suo insieme di equilibrio, cosicché lo studio qualitativo della prima matrice sarà di regola molto più difficile di quello della seconda. Qui si propone un metodo per studiare la stabilità relativa locale sulla base della seconda matrice.

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I wish to thank M. Bianchi and E. Venini for their comments on previous drafts of this paper.     

Equivocations for transposition ciphers

In a transposition cipher the message sequence is subdivided into blocks of equal length and each block is shuffled according to a chosen key. To evaluate the performance of a transposition cipher we take a Shannon-theoretic standpoint and compute relevant equivocations. It is wellknown that transposition ciphers are strongly ideal for memoryless stationary sources (key and cryptogram are independent). We consider also message equivocation and key-appearance equivocation and do not assume that the length of the intercepted cryptogram is a multiple of the block-length. The index of coincidence of the source statistics is shown to be a relevant parameter, at least asymptotically.

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Riassunto Il principio della trasposizione è uno dei più antichi in crittografia, ma non è obsoleto: i cifrari a trasposizione vengono adoperati come blocchi costitutivi di alcuni dei più autorevoli cifrari attualmente in uso, come il DES dell'IBM che è stato adottato dal National Bureau of Standards americano. Il messaggio in chiaro che si vuol cifrare viene spezzato in blocchi di ugual lunghezza e ciascun blocco viene «trasposto» (anagrammato) secondo una permutazione fissa e segreta (la chiave del cifrario). In questo lavoro le prestazioni dei cifrari a trasposizione vengono valutate dal punto di vista della teoria di Shannon, calcolando certe «equivocazioni» pertinenti: tali equivocazioni quantificano l'incertezza di una spia che abbia intercettato il crittogramma; dopo l'intercettazione le equivocazioni a priori si trasformano in equivocazioni a posteriori secondo un meccanismo di tipo bayesiano. Se la sorgente dei messaggi è data da un processo stocastico stazionario senza memoria, è ben noto che per quanto concerne la chiave le equivocazioni a priori e a posteriori coincidono: i cifrari a trasposizione sono in questo caso «fortemente ideali».Noi consideriamo anche l'equivocazione sul messaggio e quella sulla «comparsa della chiave» (quest'ultima è significativa nel caso di «attacchi con testo in chiaro»). L'equivocazione sul messaggio si ottiene da quella sulla chiave, che è una costante indipendente dalla lunghezza del crittogramma intercettato, al modo seguente: si somma un contributo periodico che si annulla solo quando tale lunghezza è un multiplo della lunghezza di blocco, e si sottrae una correzione infinitesima (pari all'equivocazione sulla comparsa della chiave) la cui velocità di convergenza è asintoticamente determinata dall' «indice di coincidenza» della distribuzione di probabilità che regola la sorgente dei messaggi.

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Questo lavoro è parte del programma di ricerca del GNIM-CNR. È incluso nel programma dell'International Symposium of Information Theory, Brighton (Inghilterra), giugno 1985.     

«Una condizione necessaria e sufficiente di minimax per il problema dei dadi truccati»

Nell'articolo si fornisce una condizione necessaria e sufficiente di minimax locale per il problema dei dadi truccati». Tale condizione integra una condizione necessaria di minimax proposta dall'Autore in un precedente lavoro. La verifica della condizione non presenta difficoltà in relazione alla regolarità dei vincoli. Una applicazione significativa à esposta relativamente al caso di dimensione 5.

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Summary A necessary and sufficient condition for the minimax loaded dice problem is proposed. An application of this condition for the casen=5 is given.

     

Sulla valutazione di un contratto di interest rate swap

Si affronta il problema della valutazione di un Interest Rate Swap, fornendo condizioni di realizzabilità del contratto e indicazioni sulla scelta del tasso di valutazione nel caso di utilizzo del criterio del valore atteso del r.e.a.. Infine, si introducono e si studiano alcune definizioni di equivalenza finanziaria per flussi di cassa aleatori.

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Summary In this paper we have considered some problems concerning the valuation of an Interest Rate Swap contract. Initially, we give some conditions which guarantee, in a uniperiodal and multiperiodal approach, the realization of the contract. Then, we study the valuation problem in a DCF context, referring in particular to the choice of valuation rate. We also introduce and discuss some definitions of financial equivalence having into account the aleatority of cash flows.

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Ringrazio E. Castagnoli, M. Cigola, P. Manfredi e L. Peccati per i numerosi commenti e suggerimenti ricevuti in fase di elaborazione e stesura di questo lavoro. Naturalmente, la responsabilità per eventuali errori è totalmente da attribuirsi all'autore.     

Nuova dimostrazione di un teorema su un principio di calcolo del premio

E'notissimo che se il premio svizzero è traslativo la funzione di utilitá è lineare oppure esponenziale [1]. Le numerose dimostrazioni proposte prescindono dalle proprietà di siffatto premio, che qui sono poste in luce.

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Summary It is well known that if the Swiss premium calculation principle is translation invariant the utility function is linear or exponential. The purpose of this brief note is to give a simple proof of the above theorem considering the premium as an associative mean.

     

Funzioni di utilità di gruppo ed avversione al rischio multivariata

In questo lavoro si studia l'impatto che l'avversione al rischio multivariata ha in un problema di decisione di gruppo, note le misure di avversione al rischio relative alle funzioni di utilità dei singoli individui. Supponendo che tali funzioni siano aggregate in accordo al principio di Pareto e che ad ogni decisione di gruppo sia associato un profitto che deve essere suddiviso tra gli individui del gruppo stesso, si analizzazo i legami tra l'avversione al rischio degli individui e quella del gruppo, soprattutto nei casi in cui le funzioni di utilità sono additive e multilineari.

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In this paper, a methodology for modeling group decision-making problem is presented and links between group and individual multivariate risk aversion are studied.After a decision, a group will recive a payoff which must be devided among the members of the group itself: properties of the group utility functions and the sharing rule are investigated in connection with individual and collective risk aversion, under different assumptions concerning the form of the group utility function.

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Versione definitiva pervenuta il 27-7-1981

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNAFA-CNR.