A de Finetti-Kolmogoroff-Nagumo type integral representation theorem for generalized means on masses

We point out that the Consistency, Continuity and Associativity properties of an extended realvalued functionalm on masses are the basic notions to get a de Finetti-Kolmogoroff-Nagumo type integral representation ofm.

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Riassunto Come è noto il teorema di de Finetti-Kolmogoroff-Nagumo formisce una rappresentazione integrale di particolari funzionali reali, detti medie, definiti per funzioni di ripartizione che distribuiscono l'intera massa su un prefissato intervallo chiuso e limitato dell'asse reale.Nel lavoro 2] gli autori hanno esteso la nozionc di media, considerata ancora come funzionale reale, dalle funzioni di ripartizione alle masse (misure finitamente additive limitate e non negative). In questo modo, estendendo ad essa le usuali proprictà (internalità, associatività, etc.), sono riusciti a provare un teorema di rappresentazione integrale analogo a quello di de Finctti-Kolmogoroff-Nagumo per medie continue ed associative definite su opportuni insiemi di masse tight (cio prive di masse aderenti a – e+).In questo lavoro, naturale prosccuzione del preccedente, si prendono invecc in considerazione medic generalizzate (cioè medie che possono assumere valori reali oppure anche i valori – c+) e masse non neccssariamente tight. Si fa allora vedere che le nozioni di consistenza, continuità e associatività per un funzionale a valori nella retta compatta e definito sulle masse non nulle, sono condizioni caratteristiche per ottencre una sua rappresentazione integrale del tipo de Finctti-Kolmogoroff-Nagumo. Si prova inoltre che, a differenza della media ariumetica, le medic generalizzate continue ed associative possono assumere valori non reali solamente su opportune masse non tight.

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Work performed under the auspices of the National Group for Sthocastic Models and Mathematical Statistics (M.R.S.T. 40%) and G.N.A.F.A. of C.N.R.