On the efficiency of sampling with varying probabilities and the selection of units with replacement

Summary In this paper the efficiency of sampling with varying probabilities is being compared with the efficiency of some alternative methods, such as simple random sampling, ratio estimate, regression estimate, difference estimate, and stratified sampling with proportionate allocation. The variance formula of the estimated arithmetic mean in the case of sampling with varying probabilities (3) was transformed into (5) and (6) by expanding (3) in Taylor series and the comparisons between the above methods are obtained in Table 1. It was also shown that similar comparisons are possible with multi-stage designs.

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Zusammenfassung Die Wirksamkeit des Stichprobenverfahrens mit ver?nderlichen Wahrscheinlichkeiten wird verglichen mit der Wirksamkeit einiger anderer Verfahren, u.z. der uneingeschr?nkten Zufallsauswahl mit einfacher Hochrechnung und bei Verwendung der Verh?ltnis-, Regressions- und Differenzensch?tzung und der geschichteten Auswahl mit proportionaler Aufteilung. Zu diesem Zweck wurde die Formel für die Varianz des gesch?tzten arithmetischen Mittels im Fall des Verfahrens mit ver?nderlichen Wahrscheinlichkeiten (3) mithilfe einer Taylor-Entwicklung in (5) und (6) transformiert. Die Ergebnisse des Vergleichs sind in Tabelle 1 gegeben. Abschlie?end wird gezeigt, da? ?hnliche Vergleiche auch mit mehrstufigen Verfahren m?glich sind.