On the foundations of stochastic non-price rationing and the adjustment of prices

The paper presents a general model of an economy with price stickiness. The model is structually equivalent to a generalized game. Strategies are vectors of transaction offers and the list of all agents'transaction offers determines agents'strategy sets, by means of quantity signals. An equilibrium in this game is an equilibrium with quantity rationing. If the quantity signals consist of the aggregate values of demands and supplies, then compatible rationing mechanisms must be manipulable and stochastic.The study of price adjustment between successive plays of the game calls for a measure of the size of disequilibrium in an equilibrium. Since under stochastic rationing equilibrium transaction offers differ from actual trades, the ratios of aggregrate demands and supplies provide such a measure. In order that it be reliable in spite of agents' incentives to manipulate, their preference structures must meet a (weak) condition.

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Sunto Il lavoro presenta un modello generale di un'economia con vischiosità dei prezzi. Il modello è strutturalmente equivalente a un gioco generalizzato. Le strategie sono vettori di offerte di transazione e la lista delle offerte di transazione di tutti gli agenti determina, attraverso segnali di quantità, gli insiemi di strategie degli agenti. Un equilibrio in questo gioco è un equilibrio con razionamento delle quantità. Se i segnali di quantità si identificano nei valori aggregati di domande e offerte, allora i meccanismi compatibilie di razionamento devono essere manipolabili e stocastici.Lo studio dell'aggiustamento di prezzo in successive ripetizioni del gioco richiede una misura del disequilibrio in un equilibrio. Dato che, in caso di equilibrio stocastico con razionamento, le offerte di transazione differiscono dagli scambi effettuati, i raporti tra domande e offerte aggregate fomiscono tale misura. Per renderla affidabile nonostante gli incentivi degli agenti a manipolarla, le loro strutture di preferenze devono soddisfare una (debole) condizione.

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This paper builds upon notes [Weinrich (1984c), (1984d)] written at C.O.R.E., Louvain-La-Neuve, Belgium, while I was a Research Fellow there. I am grateful to Volker Böhm and the participiants of the micro seminar at VPI & SU for helpful discussions and suggestions.     

Learning non-rational expectations equilibria

A hyperinflation model is analyzed under bounded rationality learning. Agents believe in a misspecified model which is correctly specified at theRational Expectations Equilibrium of the model and they adjust their beliefs by means of theLeast Mean Squares algorithm. Convergence of the bounded rationality learning activity to anon-Rational Expectations Equilibrium point is obtained for any set of parameters of the model.

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Sommario In questo lavoro gli autori analizzano il modello di iperinflazioneà la Cagan sotto l'ipotesi di razionalità limitata. Gli agenti non formano le loro aspettative coerentemente con la struttura completa del modello economico, essi si basano su un modello lineare non correttamente specificato che risulta essere corretto soltanto in corrispondenza dell'equilibrio con aspettative razionali. Si ipotizza che i soggetti aggiornino le loro aspettative tramite un algoritmo di apprendimento. Nel caso specifico, l'algoritmo adottato è ilLeast Mean Squares. Il principale risultato del lavoro è che l'apprendimento con razionalità limitata da parte dei soggetti economici può convergere ad un punto che non è un equilibrio con aspettative razionali. Il risultato è particolarmente interessante poiché la maggior parte degli studi noti in questa letteratura, nonostante non assicurino la convergenza ad un equilibrio con aspettative razionali, assicurano la non convergenza ad un equilibrio che non sia di aspecttative razionali. La convergenza ad un equilibrio non di aspettative razionali è dovuta ad una non corretta specificazione del modello secondo cui i soggetti formano le loro aspettative. In particolare, la convergenza ad un equilibrio non di aspettative razionali si verifica allorché i soggetti non tengono conto nel loro apprendimento di una variabile rilevante che essi classificano come rumore bianco.

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Authors would like to thank an anonymous referee and all of those who gave comments and suggestions at theSociety of Economic Dynamics and Control Conference (SEDC) '94 (Los Angeles, CA-USA);International Conference on Artificial Neural Networks (ICANN) '94 (Salerno, Italy);World Conference on Neural Networks (WCNN) '94 (San Diego, CA-USA);AMASES '94 Conference (Modena, Italy). The usual disclaimers apply.     

Sulla dinamica dei processi di scambio monetari

In questa nota si propone una estensione del modello dinamico di economia monetaria di puro scambio sviluppato da D. Friedman in un lavoro recente [5]. Lo schema analitico mantiene il carattere non deterministico e non tâtonnement introdotto da S. Smale nello studio di processi transattivi [9]. Ammettendo che la merce usata nel sistema come moneta sia richiesta dagli agenti non solo sulla base delle sue caratteristiche fisiche, ma anche a partire dal ruolo istituzionale assolto, si prova che il processo economico converge ad una varietà di configurazioni finali che è strettamente più ampia dell'insieme degli equilibri walrasiani.     

≪Global dynamics and controls in an irregular economy model≫

The macroeconomic model of an irregular economy proposed by B. Contini, F. Cugno and M. Galeotti (1984) is extended by increasing the number of state variables and thus the dimension of the phase space for the relative dynamical system.By showing, through standard Liapunov methods, the non existence of closed non trivial orbits, the global attractivity of the equilibrium set is proved, under suitable boundary conditions.Control policies leading the economy to a desired equilibrium state are seen to be feasible, and central instruments which appear to be effective in this respect are briefly discussed.

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Riassunto Il lavoro estende un modello macroeconomico dell'economia irregolare che è stato proposto da B. Contini, F. Cugno e M. Galeotti nel 1984.Come nello schema originario la dimensione di ciascun settore economico (quello regolare e quello irregolare) dipende dall'andamento dei costi ad esso relativi, mentre il tasso di inflazione è legato ai prezzi ed alle quote dei due diversi settori.Noi non trattiamo, tuttavia, il differenziale tra i tassi di crescita della produttività,k, come una grandezza costante, e scriviamo, invece, una nuova equazione differenziale che ne descrive la dinamica.In questo modo si ottiene uno spazio delle fasi di dimensione tre che è stratificato da varietà invarianti di dimensione due. Ciascuna di queste varietà contiene esattamente un punto di equilibrio, che si prova essere un attrattore globale, sotto opportune condizioni al bordo.Dimostriamo, infine, che nell'ambito del nostro modello è formalemente possibile controllare il settore irregolare; questo ci porta al problema economico di quali politiche centrali siano atte a far conseguire un obbiettivo fissato relativamente alla dimensione della attività regolari ed irregolari in cui si articola il sistema.

     

Esistenza Di Un Equilibrio Concorrenziale Per La Teoria Generale Della Domanda Di Spazio E Della Rendita

Si dimostra l’esistenza di un equilibrio concorrenziale in un’economia in cui si tien conto esplicitamente della locazione dello scambio dei beni e si introducono domanda e offerta di spazio. A tale scopo si stabiliscono proprietà di continuità degli estremi per problemi in cui compaiono come incognite funzioni di punto ed insiemi. Nella prima parte si sviluppa una teoria matematica che viene applicata nell’esempio economico trattato nella seconda parte.     

Insiemi invarianti globalmente attrattivi nell'interazione fra il “mercato dei beni” ed il “mercato della moneta”

Si studia il comportamento dinamico locale e globale di un modello macroeconomico che si rappresenta con un sistema nonlineare di due equazioni alle differenze (sistema dinamico discreto, o mappa). Si mostra come l'uso di un nuovo strumento di analisi, le linee critiche, consenta di studiare molte delle proprietà globali (quali i bacini di attrazione di insiemi invarianti) e delle biforcazioni globali, che si verificano in mappe del piano con inversa non unica. Si prova che il punto fisso localmente attrattivo è anche globalmente attrattivo, mentre in regimi di instabilità del punto fisso esistono curve chiuse, o altri insiemi invarianti (regolari o caotici) di attrazione, in aree assorbenti globalmente attrattive.

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Summary The local and global dynamical behaviour of a macroeconomic model, represented by a nonlinear system of two difference equations (discrete dynamical system or map), is studied. It is shown how several properties (as basins of attraction of invariant sets) and global bifurcations occurring in two-dimensional maps with a non-unique inverse can be studied by use of a new analytical tool, the critical curves. It is proven that the locally attractive fixed point is globally attractive, while closed invariant curves or other attractive invariant sets (regular or chaotic) exist in globally attractive absorbing areas, when the fixed point is repulsive.

     

Alcune proprietà strutturali delle reti di Petri

Dopo aver richiamato i concetti fondamentali sulle reti di Petri, si espongono alcune considerazioni sul problema della raggiungibilità ambientato nello spazio delle transizioni. Si introducono quindi alcune nozioni sulla stabilità e limitatezza strutturali delle reti di Petri, che vengono illustrate con un'applicazione a reti di divisori di frequenza binari. Il problema di decidere della stabilità o limitatezza di una rete di Petri è ricondotto a un problema di programmazione lineare.

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After recalling the basic concepts about Petri nets, we consider some aspects of the reachability problem in transition space. In particular, some theorems are given on the markings which enable given firing sequences.The new concept of stability of a Petri net is then introduced and we show that it is possible to decide efficiently if a net is stable or bounded by solving a unique linear programming problem.An application to binary frequency divisors is given last.

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Lavoro eseguito nell'ambito del Progetto CP dell'Università degli Studi di Milano e dell'Honeywell Information Systems Italia, e del programma di ricerca finanziato dal C.N.R., contratto n. 79.00701.02.     

Nuove classi di funzioni scalari concave generalizzate

In questo lavoro si introducono cinque nuove classi di funzioni concave generalizzate; di esse si studiano le proprietà e le interrelazioni con le classi più note in letteratura. Più precisamente, dopo aver evidenziato che le nuove classi sono distinte tra loro e da quelle già note in letteratura, se ne analizzano organicamente le differenze e si studia il loro comportamento dapprima in ipotesi di semicontinuità superiore e poi in ipotesi di continuità. Nel lavoro si dimostra inoltre il mantenimento di alcune proprietà strutturali come pure la conservazione delle principali proprietà relative all'ottimizzazione.

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Summary In this paper five new classes of generalized-concave functions are introduced and studied. In particular, it is firstly pointed out that the new classes are different from the known ones, then their relationships are stressed both in general and under hypothesis of upper semicontinuity and continuity.Also some properties about optimization and functions transformation are provided.

     

Un modello di controllo ottimo per i margini finanziari

In questo lavoro viene affrontato un problema di decisioni sui margini finanziari che può essere inquadrato nell'ambito dei problemi di controllo outimo governati da equazioni integrali di Volterra. Dopo una descrizione del problema economico e delle operazioni finanziarie coinvolte, si schematizza il modello nell'ambito del controllo ottimo regolato da equazioni di tipo integrale che ammettono controlli discontinui di tipo bang-bang. Si danno condizioni necessarie per l'esistenza di soluzioni ottime e, infine, si esamina un caso particolare per evidenziare come il metodo considerato consenta di analyzzare e di individuare le strategie adeguate qualora si specifichino le funzioni in questione.

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Summary In this paper a decision problem for financial margins is investigated. The scheme of the model is a particular control problem governed by a Volterra integral equation, where the optimal control is usually discontinuous (bang-bang control).We provide necessary conditions in order to have optimal solutions and we solve the problem in a particular case.

     

Equivocations for transposition ciphers

In a transposition cipher the message sequence is subdivided into blocks of equal length and each block is shuffled according to a chosen key. To evaluate the performance of a transposition cipher we take a Shannon-theoretic standpoint and compute relevant equivocations. It is wellknown that transposition ciphers are strongly ideal for memoryless stationary sources (key and cryptogram are independent). We consider also message equivocation and key-appearance equivocation and do not assume that the length of the intercepted cryptogram is a multiple of the block-length. The index of coincidence of the source statistics is shown to be a relevant parameter, at least asymptotically.

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Riassunto Il principio della trasposizione è uno dei più antichi in crittografia, ma non è obsoleto: i cifrari a trasposizione vengono adoperati come blocchi costitutivi di alcuni dei più autorevoli cifrari attualmente in uso, come il DES dell'IBM che è stato adottato dal National Bureau of Standards americano. Il messaggio in chiaro che si vuol cifrare viene spezzato in blocchi di ugual lunghezza e ciascun blocco viene «trasposto» (anagrammato) secondo una permutazione fissa e segreta (la chiave del cifrario). In questo lavoro le prestazioni dei cifrari a trasposizione vengono valutate dal punto di vista della teoria di Shannon, calcolando certe «equivocazioni» pertinenti: tali equivocazioni quantificano l'incertezza di una spia che abbia intercettato il crittogramma; dopo l'intercettazione le equivocazioni a priori si trasformano in equivocazioni a posteriori secondo un meccanismo di tipo bayesiano. Se la sorgente dei messaggi è data da un processo stocastico stazionario senza memoria, è ben noto che per quanto concerne la chiave le equivocazioni a priori e a posteriori coincidono: i cifrari a trasposizione sono in questo caso «fortemente ideali».Noi consideriamo anche l'equivocazione sul messaggio e quella sulla «comparsa della chiave» (quest'ultima è significativa nel caso di «attacchi con testo in chiaro»). L'equivocazione sul messaggio si ottiene da quella sulla chiave, che è una costante indipendente dalla lunghezza del crittogramma intercettato, al modo seguente: si somma un contributo periodico che si annulla solo quando tale lunghezza è un multiplo della lunghezza di blocco, e si sottrae una correzione infinitesima (pari all'equivocazione sulla comparsa della chiave) la cui velocità di convergenza è asintoticamente determinata dall' «indice di coincidenza» della distribuzione di probabilità che regola la sorgente dei messaggi.

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Questo lavoro è parte del programma di ricerca del GNIM-CNR. È incluso nel programma dell'International Symposium of Information Theory, Brighton (Inghilterra), giugno 1985.     

Market economies with many commodities

In this survey problems from the consideration of infinite dimensional commodity spaces in the Arrow-Debreu-McKenzie model are discussed. It has become clear in the last couple of decades that in order to address real policy questions, economic models that are both stochastic and dynamic have to be employed. These models lead naturally to infinite dimensional commodity spaces.

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Riassunto In questo lavoro si discutono i problemi che si presentano quando, in connessione all'esistenza e all'efficienza di equilibri Walrasiani nel modello di Arrow-Debreu-McKenzie, si ammette che lo spazio dei beni sia di dimensione non finita. è diventato chiaro nei due ultimi decenni che per affrontare questioni reali è necessario usare modelli sia dinamici che stocastici e ciò conduce in modo naturale alla considerazione di spazi infinito-dimensionali. Si rimane principalmente confinati alle economie di puro scambio al solo scopo di semplificare la trattazione.

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This paper has been presented atWorkshop in Economic Theory, Venice-June 2–7, 1997 organized by Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti and atXXI Convegno AMASES, Rome-September 10–13, 1997. It is an expanded version of our paper [5] that appeared inJournal of Economic Theory, vol. 74, n. 1, 1997, pp. 62–105. We are grateful to Karl Shell and Academic Press for permission to include that portion of the material here. The research of C. D. Aliprantis was supported in part by the NATO Collaborative Research Grant #941059.     

On the solutions in rational expectations models

This paper deals with the solutions to macroeconomic models with rational expectations. A first purpose is to demonstrate that two forms of the efficient-market equation commonly used in the literature may be treated as approximations of the same general equation, of different orders with respect to perturbative forces of the market. Second aim is to show how the perturbative terms can be given explicit forms. Finally, the paper addresses the question of finding contributions which can concur to explain the phenomenon usually referred to asstock price volatility.

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Riassunto Si è interessati alla soluzione di modelli macroeconomici con aspettativa razionale. In primo luogo si vuole dimostrate come due forme differenti dell'equazione del mercato efficiente utilizzate nella letteratura possano essere considerate approssimazioni della stessa equazione generale, di ordini diversi rispetto alle forze perturbative del mercato. Si vuole quindi individuare una tecnica per dare forma esplicita ai termini perturbativi. Infine, si va alla ricerca di contributi che possano concorrere a spiegare il fenomeno noto comevolatilità dei prezzi del mercato azionario.

     

Una applicazione dell'approccio multistato ai fondi pensione

La modellistica multistato ha avuto recentemente significative applicazioni nelle assicurazioni di persone ed è stata impiegata anche nello studio di problemi connessi a schemi previdenziali (per questi ultimi si vedano ad esempio i lavori di Amsler, Wilkie, Linnemann). In questa nota si propone una applicazione di tale approccio all'assicurazione di invalidità — vecchiaia — superstiti nel tempo continuo, sia nel caso in cui si lavori con cause di eliminazione permanente che temporanea.

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Summary Recently the mathematics of multistate models has significantly been applied to the insurance of persons and has also been employed in the study of problems connected with pension schemes (e.g. papers written by Amsler, Wilkie, Linnemann). In this paper we suggest a time-continuous application of this approach to a pension scheme providing retirement, disability and death pensions, considering causes of permanent as well as temporary decrement and assuming the probabilistic structure is that of a time-inhomogeneous Markov process. Moreover, the paper presents the formulae of the expected present value of contributions and of benefits. In this regard, some approximate formulae are proposed for the above mentioned values.

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Ricerca finanziata con fondi 60% MURST. L'intero lavoro è frutto di una collaborazione che riguarda ogni parte del medesimo. I contributi personali di R. Pelessoni riguardano i paragrafi 2.2, 2.4, 2.5, quelli di M. Zecchin riguardano i paragrafi 1, 2.1, 2.3.     

Dorfman on economic interpretation of optimal control theory: An extension

In the context of a more general model of capital accumulation involving time lags in the response of the state variable (the rate of change of the capital stock) to changes in the values of the decision variables, we establish the main propositions of Optimal Control Theory by means of economic analysis.

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Riassunto Robert Dorfman [3] ha mostrato come ricavare le principali proposizioni della teoria del Controllo Ottimale attraverso l'analisi economica. Il modello d'accumulazione del capitale che lui ha formulato assume che il tasso di cambiamento dello stock di capitale risponderà instantaneamente sia ai valori delle variabili di controllo sia ai valori della variabile di stato.Noi ci proponiamo, qui di estendere il modello formulato da Dorfman con l'inclusione dilags temporali nella risposta dello tasso di cambiamento delle variabili di controllo. Stabiliamo anche quello che abbiamo denominato «the Extended Maximum Principle» usando sostanzialmente le idee di base della teoria del capitale. Infine noi mostriamo che le condizioni necessarie per l'esistenza di una soluzione ottima del nostro problema coincidono con quelle ricavate dall'analisi economica.

     

Decisioni di gruppo e consenso: Un modello nell'ambito della teoria degli insiemi sfocati

Si propone un modello di consenso in ambiente sfumato, simile al cosiddetto metodo Delphi.Nel nostro approccio opinioni individuali e pesi sono numeri sfumati e la transizione tra stati è ottenuta per mezzo di operazioni max-min estese.Nel nostro approccio si prova che, dato un gruppo din individui, sotto opportune condizioni dopon–1 iterazioni le opinioni individuali si stabilizzano.

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Here we propose a model of consensus in a fuzzy environment similar to the so called Delphi method.In our approach individual opinions and weights are fuzzy numbers and transition from one state to another one is obtained via extended max-min operations.While in the classical stochastic approach to Delphi method (see De Groot [1] and Kelly [6]) conditions for reaching consensus are established, in our approach it is proved that, given a group ofn individuals, under suitable conditions aftern–1 iterations individual opinions become stable.

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Lavoro eseguito con il contributo CNR n. 83-02619.10.     

Rovina,assicurazione e scambi di attività finanziarie

Viene fornita la soluzione in forma chiusa di un problema di ottimizzazione dinamica stocastica, consistente nella scelta ottimale tra consumo e risparmio e nella composizione ottimale di portafoglio, in presenza di possibilità di rovina assicurabile.Dal punto di vista della teoria assicurativa, il lavoro amplia alcuni modelli recenti sull'assicurazione ottima, poiché segue un approccio del tipo «equilibrio generale» con due tipi di agenti eterogenei anziché parziale.Dal punto di vista della teoria di portafoglio, esso si discosta dai modelli tradizionali perché giustifica l'esistenza di scambi sui mercati finanziari e ne spiega l'entità.In questo senso il lavoro amplia alcuni contributi recenti sui flussi di capitale includendovi la possibilità di rovina e l'esistenza di una assicurazione contro di essa.

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Summary This paper provides an analytical solution for a multiperiod stochastic optimization problem, namely consumption and portfolio choice with partial risk insurance.An opposed to some recent optimal-insurance models a general-equilibrium approach —with two classes of heterogeneous agents—is adopted.Furthermore, the paper departs from traditional portfolio analysis in that it emphasises the dynamics of financial markets and justifies the existence of market trading.In this sense, it widens some recent general-equilibrium results on capital flows by including bankruptcy risk and insurance.

     

Una nota su operazioni associative,trasformate integrali e problemi di caratterizzazione in statistica

In questa nota si studia una equazione funzionale che ha interessanti applicazioni al Calcolo delle Probabilità. Si illustrano due possibilità applicative:

1. la scelta del nucleo delle trasformate integrali;
2. la caratterizzazione di opportune classi di variabili casuali.

     

Massimo della somma tra una funzione lineare ed una funzione lineare fratta

In questo lavoro si considera un problema di estremo vincolato avente la regione ammissibile espressa da diseguaglianze lineari e per funzione obiettivo la somma tra una funzione lineare fratta. Per tale problema viene proposto un algoritmo risolutivo che ne determina una soluzione ottima, generando un numero finito di massimi locali.

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Summary We present a sequential method to solve a constrained extrema problem with feasible region defined by linear inequalities and objective function expressed as a sum of a linear and homografical functions.The technique used finds a finite number of local extrema, the last being the global one.

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Ricerca effettuata con fondi erogati dal Ministero della Pubblica Istruzione.     

Sul premio dell'assicurazione mista in presenza di tare

Con procedimento analitico si determina la formula di Lidstone per l'assicurazione mista su due teste tarate, qualunque sia il tipo di sopramortalità Si esaminano poi i casi di sopramortalità crescente, costante e decrescente e si deducono le formule che forniscono il premio puro mediante gli analoghi premi su teste normali, assegnando l'espressione dell'errore che si commette applicando tali formule.

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Through analytical methods we obtain Lidstone's formula for a mixed insurance on two extra risks.We also give an expression of the related approximation error.

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Pervenuto il 15-3-82     

New aspects of risk aversion some applications in portfolio theory

In the paper the demand for a risky asset is considered as a function of additional random effects on wealth. For special structures of stochastic dependency between the rate of return of the risky asset and additional random wealth it is demonstrated that expected utility theory is a too inflexible instrument to analyze these effects. Expected local utility theory is shown to be more flexible. In case of independency absolute risk aversion is a proper criterion to give intuitive results in this case, too.

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Sunto La domanda di un titolo aleatorio è assunta come funzione di effetti aleatori addizionali sulla ricchezza.Per tipi speciali di dipendenza stocastica tra tasso di rendimento del titolo aleatorio e effetti aleatori addizionali si dimostra che la teoria dell'utilità attesa è troppo rigida come strumento di analisi efficace.Si mostra la maggior flessibilità della teoria dell'utilità attesa locale. Inoltre, in caso di indipendenza, l'avversione al rischio assoluta è un criterio adatto per dare risultati intuitivi.