Considerazioni generali sull’impostazione bayesiana di problemi non parametrici

Si fanno alcune considerazioni di natura generale sui problemi statistici non parametrici e sulla loro risoluzione dal punto di vista bayesiano. Dopo aver posto in evidenza l’importanza delle medie associative come strumenti di analisi statistica dei suddetti problemi, ci si propone di determinare la distribuzione iniziale e finale di una generica media associativa nell’ipotesi che le misure di probabilità assegnabili al fenomeno in esame siano rette da un processo di Dirichlet. Ricordate le proprietà fondamentali di tale processo, si rinvia la risoluzione del problema posto alla seconda parte del lavoro.     

Solutions to linear equations depending on a parameter

An analysis of the relationships between the solutions of a system of linear equations depending on a parameter is provided. The results are applied to an economic problem concerning prices: According to the classical formalisation, the prices of production depend on the technique and a parameter, the rate of profit, representing distribution.

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Riassunto Si fornisce un'analisi delle relazioni fra le soluzioni di un sistema di equazioni lineari che dipendono da un parametro. I risultati ottenuti sono poi applicati a un problema economico riguardante i prezzi: In base alla formalizzazione classica, i prezzi di produzione dipendono dalla tecnica e da un parametro, il tasso di profitto, che rappresenta la distribuzione.

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Neri Salvadori thanks the MURST (the Italian Ministry of the University and Technological and Scientific Research) for financial support.     

Su un problema di minimax discreto

Nell'articolo si applicano al problema di minimax discreto dei dadi truccati due condizioni di minimax locale, una necessaria, sostanzialmente già nota, e l'altra sufficiente, originale, contenute in un precedente lavoro dell'autore. Si dimostra che una distribuzione di probabilità per la qualen somme consecutive sono equiprobabili e di probabilità massima verifica la condizione necessaria e che sotto due ulteriori ipotesi, che in pratica appaiono spesso verificate, tale distribuzione verifica altresì la condizione sufficiente di minimax locale. Si deduce quindi un risultato di Clemens.     

Problemi di classificazione e connessione in una classe di grafi planari a facce esagonali

Aldo Ruscitti è mancato a Roma il 20 agosto 1978 a soli 39 anni di età. Era stato assistente ordinario e professore incaricato di Istituzioni di Analisi Matematica nella Facoltà di Scienze Statistiche Demografiche e Attuariali dell’Università di Roma. Sin dalla preparazione della tesi di laurea, i suoi interessi scientifici erano stati rivolti alle applicazioni della matematica in campo economico. Nell’ultimo periodo della sua attività si era impegnato in ricerche sulla struttura di particolari classi di grafi, settore nel quale aveva conseguito risultati a livello internazionale. Con la pubblicazione postuma di questo contributo di A. Ruscitti intendiamo rendere un affettuoso omaggio alla memoria di un caro amico che tra i primi aveva voluto entrare a far parte della famiglia dell’AMASES.

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On the problems of classification and enumeration in a class of 6-valent planar graphs

In this article the author investigates the problems of classification and enumeration of maps with the vertices of degree six and with the faces of cardinality two or three. The graphs in this class are analysed in terms of the maximal number of vertices with degree two they possess on the boundary of their faces. Special emphasis is placed on the problem of the connectivity of these graphs, according with the suggestion of B. Grünbaum and J. Zaks (see [4], p. 112): in particular the author proves that there exist 5-connected graphsG _n in this class with degreen> , for all εN.

     

Considerazioni generali sull’impostazione Bayesiana di problemi non parametrici. Le medie associative nel contesto del processo aleatorio di Dirichlet parte II

Nei problemi statistici non parametrici la conoscenza della distribuzione iniziale e finale di una generica media associativa si manifesta particolarmente utile. Se la classe delle possibili funzioni di ripartizione scelte per descrivere un fenomeno è retta da un processo di Dirichlet nel senso precisato in D. M. Cifarelli — E. Regazzini (1979), è possibile pervenire ad una rappresentazione esplicita della distribuzione iniziale e ad una relazione ricorrente per il calcolo della distribuzione finale di una generica media associativa, secondo quanto si dimostra in questo lavoro. Lavoro eseguito nell’ambito G.N..F.A. del C.N.R.. A D.M. Cifarelli sono dovuti: i Lemmi 1, 4, i Teoremi 1, 2 ed il numero 3. Ad E. Regazzini sono dovuti: i Lemmi 2, 3, 7, il Teorema 3, il numero 2.3 e le Osservazioni 1, 2. La Parte I è stata pubblicata in questo periodico Anno 2°, Fasc. 1°.     

Martingale applicate alla teoria del rischio: Processi di guadagno a submartingala e aggiustabilità

Viene formalizzata e studiata l'attività di una compagnia che opera in un mercato assicurativo non vita. Si ipotizza che il guadagno realizzato sulla generica polizza sia una submartingala. Si danno disuguaglianze significative per la probabilità di rovina all'infinito ed entro l'n-mo periodo nel caso in cui il rendimento di portafoglio della compagnia sia “aggiustabile”. I risultati vengono discussi nel caso in cui il mercato sia stratificato in classi di rischio nell'ipotesi di indipendenza; si accenna al caso particolare di rischi poissoniani e all'ipotesi di correlazione interna alle classi di rischio.     

A parametric simplex-like algorithm for a fractional programming problem

A few theoretical results are given for the fractional programming problem where the objective function is the product of an affine function and a linear fractional function and where the feasible region is a polytope. Moreover, a simplex-like algorithm is proposed to solve the same problem when the feasible region is bounded. The algorithm is based on the exploration of a set of suitably defined optimal level solutions.

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Riassunto Nel lavoro vengono esposti alcuni risultati teorici per un problema di programmazione frazionaria nel quale la funzione oggetto è data dal prodotto tra una funzione affine e una funzione lineare definita su una regione ammissibile poliedrica. Viene inoltre formulato un algoritmo di tipo simplesso che consente la risoluzione del problema qualora la regione ammissibile sia limitata. Tale algoritmo è basato sulla esplorazione di un insieme opportunamente definito di soluzioni ottime di livello.

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This research was partially supported by MURST.     

Alcuni approcci inferenziali per processi di arrivo dei sinistri

Vengono esaminati tre modelli atti a rappresentare aspetti strutturali ed inferenziali del processo dei numeri aleatori annui di sinistri relativi ad un rischio assicurato. In particolare ci si sofferma su un modello costruito misturando processi a catena markoffiana; per questo modello viene proposto un approccio che riteniamo interessante anche dal punto di vista applicativo. Il confronto tra i diversi modelli viene condotto anche sulla base di alcuni risultati numerici.     

Sulla stima della media e del secondo momento di una popolazione tramite campioni con risposta casualizzata

Il campionamento con risposta casualizzata, introdotto da S. L. Warner per la stima di proporzioni ed in seguito applicato dallo stesso autore e da altri alla stima di quantità, è stato oggetto di un recente studio di D. Olivieri che, proposto un semplice metodo di casualizzazione, perviene ad una stima non distorta della media della popolazione oggetto d'indagine.Nel presente lavoro si sviluppa lo studio di Olivieri fornendo una stima non distorta del secondo momento della popolazione e si propone un'altra stima della media e della varianza della popolazione ottenuta tramite un metodo di casualizzazione di più semplice applicazione.

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The randomized response technique of sampling was proposed for the first time by S. L. Warner for the estimation of proportions and then applied, by Warner himself and other authors, to the estimation of quantities.This technique has been recently the object of an approach by D. Olivieri who suggests an easy randomization method and obtains an unbiased estimate of the population mean.In this paper the approach of D. Olivieri is implemented, reaching an unbiased estimate of the second moment of the population; moreover, an other estimate of the mean and of the variance of the population, obtained by an easier-to apply method of randomization, is proposed.

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Versione definitiva pervenuta il 12-1-81     

Due problemi di natura combinatoria inerenti le partizioni di un insieme finito

Nella prima parte si considera il problema della enumerazione delle partizioni di un insieme finito e si dà una nuova relazione di ricorrenza fra i numeri di Stirling di seconda specie. La relazione trovata permette di dedurre per via elementare la forma chiusa dei numeri di Stirling di seconda specie e dei numeri di Bell. Nella seconda parte si vuole vedere sotto quali e quante condizioni risulta additiva o superadditiva una funzione reale con dominioP (N), insieme delle parti dell’insieme finitoN. Dopo aver introdotto alcune definizioni, viene evidenziata l’equivalenza fra tre diverse condizioni atte a verificare l’additività di una funzione d’insieme. Dopo aver mostrato che tale equivalenza non sussiste più quando si tenta di trasferirla a funzioni superadditive, si ricava il numero di controlli necessari e sufficienti a verificare la superadditività di una funzione data empiricamente. In seguito si rivedono i risultati ottenuti inquadrandoli nella Teoria dei giochi di cooperazione adn persone, con particolare riferimento al calcolo del valore secondo Shapley, che viene trattato anche in un esempio numerico.     

Equivocations for transposition ciphers

In a transposition cipher the message sequence is subdivided into blocks of equal length and each block is shuffled according to a chosen key. To evaluate the performance of a transposition cipher we take a Shannon-theoretic standpoint and compute relevant equivocations. It is wellknown that transposition ciphers are strongly ideal for memoryless stationary sources (key and cryptogram are independent). We consider also message equivocation and key-appearance equivocation and do not assume that the length of the intercepted cryptogram is a multiple of the block-length. The index of coincidence of the source statistics is shown to be a relevant parameter, at least asymptotically.

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Riassunto Il principio della trasposizione è uno dei più antichi in crittografia, ma non è obsoleto: i cifrari a trasposizione vengono adoperati come blocchi costitutivi di alcuni dei più autorevoli cifrari attualmente in uso, come il DES dell'IBM che è stato adottato dal National Bureau of Standards americano. Il messaggio in chiaro che si vuol cifrare viene spezzato in blocchi di ugual lunghezza e ciascun blocco viene «trasposto» (anagrammato) secondo una permutazione fissa e segreta (la chiave del cifrario). In questo lavoro le prestazioni dei cifrari a trasposizione vengono valutate dal punto di vista della teoria di Shannon, calcolando certe «equivocazioni» pertinenti: tali equivocazioni quantificano l'incertezza di una spia che abbia intercettato il crittogramma; dopo l'intercettazione le equivocazioni a priori si trasformano in equivocazioni a posteriori secondo un meccanismo di tipo bayesiano. Se la sorgente dei messaggi è data da un processo stocastico stazionario senza memoria, è ben noto che per quanto concerne la chiave le equivocazioni a priori e a posteriori coincidono: i cifrari a trasposizione sono in questo caso «fortemente ideali».Noi consideriamo anche l'equivocazione sul messaggio e quella sulla «comparsa della chiave» (quest'ultima è significativa nel caso di «attacchi con testo in chiaro»). L'equivocazione sul messaggio si ottiene da quella sulla chiave, che è una costante indipendente dalla lunghezza del crittogramma intercettato, al modo seguente: si somma un contributo periodico che si annulla solo quando tale lunghezza è un multiplo della lunghezza di blocco, e si sottrae una correzione infinitesima (pari all'equivocazione sulla comparsa della chiave) la cui velocità di convergenza è asintoticamente determinata dall' «indice di coincidenza» della distribuzione di probabilità che regola la sorgente dei messaggi.

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Questo lavoro è parte del programma di ricerca del GNIM-CNR. È incluso nel programma dell'International Symposium of Information Theory, Brighton (Inghilterra), giugno 1985.     

Sulla valutazione di un contratto di interest rate swap

Si affronta il problema della valutazione di un Interest Rate Swap, fornendo condizioni di realizzabilità del contratto e indicazioni sulla scelta del tasso di valutazione nel caso di utilizzo del criterio del valore atteso del r.e.a.. Infine, si introducono e si studiano alcune definizioni di equivalenza finanziaria per flussi di cassa aleatori.

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Summary In this paper we have considered some problems concerning the valuation of an Interest Rate Swap contract. Initially, we give some conditions which guarantee, in a uniperiodal and multiperiodal approach, the realization of the contract. Then, we study the valuation problem in a DCF context, referring in particular to the choice of valuation rate. We also introduce and discuss some definitions of financial equivalence having into account the aleatority of cash flows.

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Ringrazio E. Castagnoli, M. Cigola, P. Manfredi e L. Peccati per i numerosi commenti e suggerimenti ricevuti in fase di elaborazione e stesura di questo lavoro. Naturalmente, la responsabilità per eventuali errori è totalmente da attribuirsi all'autore.     

Decisioni di gruppo e consenso: Un modello nell'ambito della teoria degli insiemi sfocati

Si propone un modello di consenso in ambiente sfumato, simile al cosiddetto metodo Delphi.Nel nostro approccio opinioni individuali e pesi sono numeri sfumati e la transizione tra stati è ottenuta per mezzo di operazioni max-min estese.Nel nostro approccio si prova che, dato un gruppo din individui, sotto opportune condizioni dopon–1 iterazioni le opinioni individuali si stabilizzano.

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Here we propose a model of consensus in a fuzzy environment similar to the so called Delphi method.In our approach individual opinions and weights are fuzzy numbers and transition from one state to another one is obtained via extended max-min operations.While in the classical stochastic approach to Delphi method (see De Groot [1] and Kelly [6]) conditions for reaching consensus are established, in our approach it is proved that, given a group ofn individuals, under suitable conditions aftern–1 iterations individual opinions become stable.

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Lavoro eseguito con il contributo CNR n. 83-02619.10.     

Sull'accumulo di un capitale in condizioni di incertezza

Si considera il problema dell'accumulo di un capitale, mediante versamenti annui in presenza di inflazione. Si assume che l'intensità di inflazione sia un processo stocastico governato da un modello lineare dinamico e si determina la distribuzione di probabilità del valore nominale tran anni di un capitale avente un prefissato valore reale (a prezzi odierni). Quindi si determinano i versamenti ottimi (nel senso della teoria delle decisioni), sia nel caso di decisione in blocco, sia nel caso di decisione sequenziale. Si considera infine il caso in cui anche i fattori di montante siano aleatori.

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The paper considers the problem of the constitution of a capital through annual deposits, when inflation is present.The intensity of inflation is assumed to be a random process driven by a dynamic linear model and then the probability distribution of the nominal value after n years of a capital, whose real value today is fixed, is determinend.Then the optimal deposits are determined, both in the case of block decision, and in the sequential case. The case of random discount factors is considered, as well.

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNAFA-CNR.     

Soluzione ottima esplicita di un particolare problema di programmazione quadratica

Si considera un problema di programmazione quadratica strettamente convessoc la cui particolare struttura permette di stabilire a priori alcune proprietà, relative sia alla forma quadratica che alla soluzione ottima, che rendono possibile la determinazione di une formula esplicita per la soluzione ottima del problema.Tale problema è state precedentemente studiato come formulazione di un problema di costituzione di capitale per inseguimento in [3,4].

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Summary In this paper we consider a strictly convex quadratic programming problem whose particular structure allows us to establish some theoretical results and to find an explicit formula for its optimal solution.This problem has been already studied as an investment problem.

     

Alcune osservazioni su indici di durata per operazioni finanziarie di scadenza finale aleatoria

In questa nota si propone una definizione didurata media finanziaria per operazioni finanziarie il cui numero di poste è aleatorio. Dopo aver fornito alcune proprietà di tale indice, si introducono ulteriori indici di durata studiandone le relazioni intercorrenti. Infine, si considera il caso di un'emissione obbligazionaria (dal punto di vista del sottoscrittore) e, dopo aver verificato alcuni dei risultati precedentemente ottenuti, si dimostrano particolari proprietà della durata media finanziaria.

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Summary In this paper, we define duration for a financial operation with a random number of cash-flows and prove some general results. Then, we introduce other duration indices and prove some appealing relationships among them. Finally, we consider a bond issue and prove further results about duration in this particular case.

     

Trasformata inversa di laplace per funzioni positive e problema dei momenti

Si propone un nuovo metodo per l'inversione numerica della transformata di Laplace per funzioni positive, tipicamente densità di probabilità. La funzione approssimante è ottenuta ricorrendo al principio di Massima Entropia, assumendo come informazione limitata i momenti della funzione da ricostruire, a loro volta legati da ben note relazioni alle derivate della funzione transformata. Dopo aver richiamato alcuni risultati teorici noti in letteratura concernenti l'esistenza dell'approssimante e la convergenza in entropia (e di conseguenza in normaL ₁), si presentano alcuni risultati teorici originali sul condizionamento del problema e alcuni risultati numerici che illustrano la bontà dell'approssimante.

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Summary A new method for the numerical Laplace transform inversion of positive functions, tipically probability density functions, is proposed. The approximating function is obtained resorting to the maxientropic approach, by assuming its moments as partial available information. Some known theoretical results concerning the existence and entropy convergence are reviewed. New theoretical results about the conditioning of the problem and some numerical simulations are illustrated.

     

Sulla dinamica dei processi di scambio monetari

In questa nota si propone una estensione del modello dinamico di economia monetaria di puro scambio sviluppato da D. Friedman in un lavoro recente [5]. Lo schema analitico mantiene il carattere non deterministico e non tâtonnement introdotto da S. Smale nello studio di processi transattivi [9]. Ammettendo che la merce usata nel sistema come moneta sia richiesta dagli agenti non solo sulla base delle sue caratteristiche fisiche, ma anche a partire dal ruolo istituzionale assolto, si prova che il processo economico converge ad una varietà di configurazioni finali che è strettamente più ampia dell'insieme degli equilibri walrasiani.     

Margine di solvibilita' e utile industriale nella gestione di un portafoglio di assicurazioni vita

Al fine di misurare l'incidenza, sulla gestione di un portafoglio vita, dell'obbligo di costituire il margine di solvibilità, viene proposta l'analisi di un «ratio» atto a quantificare l'assorbimento di utile industriale da parte dell'incremento di margine. Varie esemplificazioni numeriche corredano il lavoro.

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The EEC Directive of 5th march 1979 imposed a minimum solvency margin applicable to life insurance companies. The annual margin increments, if positive, involve a compulsory allocation of resources. If the profits coming from the portfolio cover such a need, then the portfolio itself can maintain its margin. Nevertheless, the allocations of profits to margin do not allow those resources to be assigned to other purposes (i.e. dividends to stockholders, profit returning payments to policyholders, sales promotion, etc.). Therefore, it seems to be very interesting the comparison of the annual margin increments with the annual profits. For this purpose, an «absorption ratio» is proposed. Several assumptions about portfolio development are formulated and the corresponding absorption ratios are analyzed.

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Una prima versione di questo lavoro è stata presentata alla Scuola Internazionale «NATO A.S.I. on Insurance and Risk Theory», Maratea (Pz), luglio 1985.     

Preferenza sociale non transitiva e teorema di Arrow

Questo lavoro estende il teorema di impossiblità di Arrow al caso di preferenza sociale stretta non transitiva. In particolare, si dimostra che se una Funzione di Decisione Sociale (FDS) soddisfa le condizioni di dominio universale, indipendenza dalle alternative irrilevanti, transitività della relazione di indifferenza sociale, il principio di Pareto forte e la regola di indifferenza paretiana, allora la FDS deve essere dittatoriale. Vengono inoltre illustrate le implicazioni di tale risultato per il caso in cui la FDS soddisfa la condizione di dualità.

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Summary This paper extend's Arrow's impossiblity theorem to the case where strict social preference may be intransitive. The main result of the paper is that if a Social Decision Function satisfies Unrestricted Domain, Independence of Irrelevant Alternatives, Transitivity of Social Indifference, the Strong Pareto Principle, and the Pareto Indifference Rule, then there exists a dictator. An application of this result is a new impossibility theorem concerning SDF obeying the condition of Duality. As a by-product of this analysis, the relationships between Neutrality and Duality are somewhat clarified.