The frequency of industrial accidents

In aansluiting aan een artikel van B. A. Maguire, E. S. Pearsonen A. H. A. Wynn (1951), waarin een theorie wordt ontwikkeld betreffende de verdeling van de tussen twee op elkaar volgende ongevallen verlopende tijdsduur, wordt in het onderstaande een methode gegeven voor het bestuderen van de verdeling der tijdsintervallen tussen twee ongevallen bij variërende personeelsterkte.
Als resultaat van deze aanvulling is het nu mogelijk om voor verschillende bedrijven — c.q. voor eenzelfde bedrijf in verschillende perioden — de hypothese omtrent gelijke — c.q. gelijkblijvende — afhankelijkheid tussen tijdsintervallen en personeelsterkte te toetsen.     

The distribution of the brightness of stars. A Poisson-process with "time"-dependent parameter

Bij de optische waarneming van sterren uit een satelliet is het belangrijk voor het richtmechanisme te weten wat de verdeling van de helderheid van de helderste ster en van het verschil in helderheid van de helderste en op een na helderste is op de verzameling van alle mogelijke te kiezen gezichtsveldjes van de kijker.
Het model is een Poisson-proces met "tijds" afhankelijke parameter. Een monotone transformatie voert dit proces over in een tijdsonafhankelijk proces, waarna toepassing van bekende eigenschappen tot de oplossing leidt.
Een dusdanige transformatie lijkt ook voor andere tijdsafhankelijke processen een nuttig middel om een oplossing te verkrijgen.     

On the distribution of the test statistics of Kendall and Wilcoxon's two sample test when ties are present

Zoals bekend is, kan de exacte verdeling van de toetsingsgrootheid van Kendall voor rangcorrelatie als er geen gelijke waarnemingen optreden en ah de nulhypothese juist is, berekend worden met behulp van een recurrente formule. Hetzelfde geldt voor de toetsingsgrootheid van Wilcoxon voor het geval van twee steekproeven. Wanneer er wél gelijke waarnemingen optreden, kan men, zoals hier wordt aangetoond, een gegeneraliseerde recursieformule gebruiken. De berekeningsmethode, die berust op het herhaald toepassen van deze recursieformule, is minder afschrikwekkend dan die welke bestaat in het opstellen van alle mogelijke schema's en de berekening van de bijbehorende kansen.     

Another note on the delay problem in crossing a traffic stream.

In dit artikel wordt hetzelfde vraagstuk behandeld als in dat van prof. dr. ir. J. W. COHEN in Statistica 17–1; het is gebaseerd op dezelfde algemene onder-stellingen. Maar in plaats van uit te gaan van openingen ("gaps") en verkeers-stromen zonder onderbreking ("clusters") richt het zich rechtstreeks op openingen van zodanige lengte dat dwarsverkeer mogelijk is ("Passes") en ketens van één of meer voertuigen, eventueel gescheiden door kortere onderbrekingen, die geen dwarsverkeer toelaten ("Stops"). De tijd h in het artikel van COHEN is als een-heid van tijd genomen.
Men komt dan gemakkelijk tot de algemeen geldende for mule voor de gemid-delde wachttijd, een soortgelijke formule als gebruikelijk voor de gemiddelde wachttijd van een spoedorder in de fabrieksplanning wanneer geen onderbreking van onderhanden werk is toegelaten.
Deze formule geeft duidelijke aanwijzingen voor een organisatie van het verkeer, die de gemiddelde wachttijd tot een minimum maakt. Vervolgens wordt de samenhangonderzocht tussen de twee verschillende methoden van berekening en aan-getoond, dat men de door COHEN gegeven resultaten in de voor de practijk belang-rijke gevallen ook met een eenvoudiger en meer elementaire rekenwijze bereiken kan. Voor geval 1 en 3 van COHEN'S artikel is deze berekening nader uitgewerkt.     

The estimation of the two-dimensional distribution of a statistical set, based on the marginal distributions of its strata

In dit artikel wordt een methode ontwikkeld, met behulp waarvan men de simul-tane verdelingsfunctie F(x,y) van twee stochastische variabelen x en y kan aan-passen, voor het geval dat de steekproeven van x en y onafhankelijk van elkaar ge-nomen zijn.
De methode is gebaseerd op de veronderstelling dat de gehelepopulatie, waarop x en y betrekking hebben, bestaat uit een groot aantal subpopulaties; voor deze subpopulaties moet gelden dat de stochastische variabelen x en y dezelfde voor-waardelijke verdelingsdichtheid f( x/y ) hebben, terwijl alle voorwaardelijke ver-delingsdichtheden f( y / x ) verschillend moeten zijn. Daarnaast wordt aangegeven hoe men uit dezelfde gegevens de correlatiecoëfficient van x en y kan schatten. Als analogon van deze "enkelvoudige" correlatiecoefficient wordt de z.g. collec-tieve correlatiecoëfficient van twee stochastische vectoren gedefinieerd, terwijl tenslotte wordt gedemonstreerd hoe het een en ander kan worden toegepast bij de voorspelling van het toekomstige verloop van tijdreeksen.     

Price determination based on quality An Application of Minimax

Samenvatting
Het komt dikwijh voor dat een partij goederen van eigenaar wisselt zonder dat hetzij koper hetzij verkoper de kwaliteit ervan precies kennen. In dergelijke ge-vallen wordt de prijs gewoonlijk vastgesteld op basis van een door arbitrage be-paalde kwaliteit. Het in dit artikel te bespreken contract werd in de Rotterdamse haven afgesloten tussen een koper en een verkoper die geregeldpartijen van elkaar overnamen met het doel te bezuinigen op arbitragekosten en tijd. Zij trachtten dit te bereiken door het onderling eens te worden over de kwaliteit volgens van te voren contractueel vastgelegde "spelregels".
Het resulterende "spel" kan met behulp van de minimax redenering worden opgelost - en vormt als zodanig een der zeer weinige voorbeelden van een praktijk-voorbeeld van speltheorie. De spelregels hidden echter niet tot het gewenste resultaat, en men gaat nu weer met de alouds vertrouwde orthodoxe arbitrage te werk.     

Some remarks on business tendency surveys

Een onderzoek werd ingesteld naar de kwantitatieve betekenis van de uitkomstenvan de conjunctumtest. Resultaten, verkregen met behulp van de gebruikelijke methode van de conjunctuurtest, werden vergeleken met traditionele indices, in beide gevallen gebaseerd op het zelfde grondmateriaal, zodat storingen tengevolge van onvolkomenheden in berichtgeving en interpretatie a priori waren uitge-schakeld.
Het specifieke gebrek aan informatie, dat aan de begrippen "stijgen" en "dalen" inhaerent is, blijkt een aanwijsbare nadelige invloed te hebben op de kwaliteit van de regressie; men vindt coefficienten die in het algemeen tussen 0,8 en 0,9 liggen. In de praktijk zijn deze belangrijk lager. Indien men bovengenoemde onvolkomenheden in belangrijke mate zou kunnen opheffen, dan zouden de correlatiecoefficienten toch beneden dit niveau blijven. Van de omstandigheden zal dan afhangen of de relatie kwantitatief bruikbaar is.
Introductie van het percentage gelijkblijvers in de regressievergelijking bleek geen verbetering te geven. Tot op zekere hoogte kan met lineaire regressie op het saldo van de percentages „stijgers” en „dalers” warden volstaan; de regressie-coefficient houdt evenwel enig verband met het niveau van de te verklaren variabele.
Indien een seizoenpatroon aanwezig is, geeft dit correlatie-technisch aanleiding tot geflatteerde uitkomsten, zodat seizoencorrectie aanbeveling verdient.     

Simultaneous minimization of the error probabilities in a statistical test: An economic example

Summary  Bij het toetsen van hypothesen bestaat een verband tussen de kans op een fout van de eerste soort P (I), de kans op een fout van de tweede soort P (II) en de steekproef-omvang n . Bij een vaste n kan een optimale combinatie van P (I) en P (II) bepaald worden met behulp van een zgn. verliesfunctie. De specificatie van zulk een verliesfunctie is echter in veel gevallen moei-lijk. Vaak kiest men dan maar een P (I) op intultieve gronden. Dit artikel illustreert aan de hand van een eenvoudig economisch model dat zulk een P (I) vrij ver van het optimum kan afwijken. Specificatie van een verliesfunctie is hierbij niet nodig. Een bepaalde economische doelstelling i.e. winst-maximering blijkt hiervoor in de plaats te treden.     

"How to obtain the optimum from a linear programming problem, when the calculations have to be carried out in a decentralized way"

Samenvatting Er zijn verscheidene betrouwbare, snelle elektronische rekenmachines met een groot geheugen verkrijgbaar. Ondanks het feit, dat deze machines in staat zijn grote lineaire programmeringsproblemen op te lossen, blijven er een aantal over, die niet in zijn geheel opgelost kunnen worden of die om andere redenen niet in zijn geheel opgelost zullen worden. In zo'n geval wordt het totale probleem vaak gesplitst in deelproblemen. Men doet dit door aan een aantal variabelen waarden toe te kennen, waarvan men hoopt, dat ze ongeveer zo groot zullen zijn als die, die men verkregen zou hebben na oplossing van het totale lineaire programmeringsproblm. Aangezien men in de praktijk vaak genoegen neemt met pseudo-optimale antwoorden, geeft zo'n combinatie van oplossingen van deelproblemen in het algemeen bruikbare resultaten, mits de gegeven schattingen voor de variablen, die maakten dat het totale probleem gesplitst kon worden, niet te ver van de goede waarden zullen afwijken. Aangezien men dit zonder het oplossen van het totale probleem nooit te weten zal komen, blijft het raadzaam te proberen deze schattingen op een dusdanige wijze te verbeteren, dat ze de waarden behorende bij de optimale oplossing benaderen. In 1961 werd hiervoor een werkwijze ontwikkeld bij de Bataafse Internationale Petroleum Maat-schappij N.V. die op 7 maart 1962 intern gerapporteerd werd in een rapport, dat ongeveer gelijkluidt aan de titel van dit artikel. Past men de hierin beschreven werkwijze toe, dan verbetert men iteratief de schattingen en wel op een dusdanige wijze, dat de waarde van de doelfunctie van het totale probleem van stap tot stap beter wordt. Evenals in het rechtstreeks toepassen van lineaire programmering is het theoretisch mogelijk, dat twee na elkaar verkregen combinaties van resultaten, een zelfde waarde van de doelfunctie opleveren. De kans hierop wordt echter in de, in dit artikel beschreven methode, veel kleiner. Hieruit blijkt, dat de resultaten, verkregen na het verrichten van enkele stappen, een beter resultaat geven, dan de eerste schatting. Is men dus gedwongen om welke reden dan ook, het rekenwerk te stoppen, dan heeft men een beter resultaat verkregen dan dat, behorende bij de eerste schatting. Vaak zal het ook niet nuttig zijn verder te gaan met het rekenwerk, aangezien ervaring heeft geleerd, dat de grootste verbeteringen in het begin te verwachten zijn. Theoretisch kan men door het volgen van de methode het optimum bereiken. De methode werd echter niet met dit doel voor ogen antwikkeld en kan in dat geval te langzaam zijn en daardoor te kostbaar werken. Alhoewel de methode het eenvoudigst toe te passen is, indien men de deelproblemen op één plaats ter beschikking heeft, werd ze ontwikkeld teneinde gedecentralizeerd werken toe te laten. In zo'n geval zal er enige informatie van een centraal punt naar de plaatsen. waar de deelproblemen behandeld worden verzonden moeten worden en terug; deze hoeveelheid informatie is echter gering. Summary Nowadays most electronic computers have large memories and are able to carry out calculations very rapidly. Nevertheless, it may be impractical or impossible for some computers to solve very big linear programming problems without some modifications to the problem. Fortunately, the optimal answer is not always needed, but any possible improvement of an estimated answer may be of great value. In this article it is shown, how this can be reached by splitting the integrated problem of a bigger company into several natural. and much smaller, problems, linked by certain variables. Furthermore a method is described for finding an improved answer to that inte grated problem. It is reached by first estimating the linking variables and then improving this estimate in a number of systematic steps. It is developed for cases where the calculation work is carried out on a decentralized basis, but works even easier in cases where all calculation work is carried out on the same place. In the first case there has to be a flow of information between places, where calculations on smaller problems are carried out and the place where the calculations are carried out on the sizes of the linking variables only. Theoretically the optimum may be reached in a finite number of steps, but when calculations have to stop before reaching the overall optimum, an improvement will have been achieved, since each solution obtained is at least as good as, but generally better than the preceeding one. The method is developed in 1961. For non-mathematicians it may be difficult to understand an article written in matrix-notation. Therefore, the proofs and derivations in this article are given without matrix-notation. Consequently the method will be more easily understood by those, who are likely to use it, the more so, since proofs and derivations are given for a limited number of variables and blocks only.     

Simultaneous minimization of the error probabilities in a statistical test: An economic example

Summary Bij het toetsen van hypothesen bestaat een verband tussen de kans op een fout van de eerste soort P(I), de kans op een fout van de tweede soort P(II) en de steekproef-omvang n. Bij een vaste n kan een optimale combinatie van P(I) en P(II) bepaald worden met behulp van een zgn. verliesfunctie. De specificatie van zulk een verliesfunctie is echter in veel gevallen moei-lijk. Vaak kiest men dan maar een P(I) op intultieve gronden. Dit artikel illustreert aan de hand van een eenvoudig economisch model dat zulk een P (I) vrij ver van het optimum kan afwijken. Specificatie van een verliesfunctie is hierbij niet nodig. Een bepaalde economische doelstelling i.e. winst-maximering blijkt hiervoor in de plaats te treden.     

The Pólya distribution

De Pólya verdeling is een zeer algemene verdeling voor een discrete variabele afhankelijk van 3 parameters. In dit artikel worden de verschillende wijzen waarop de Pdlya verdeling kan ontstaan en de verschillende vormen waarop zij kan worden beschreven samengevat.
Voorts worden de momenten bepaald en enige belangrijke eigenschappen in verband met de steekproeftheorie besproken. Tenslotte wordt aangetoond dat bekende discrete verdelingen zoals de binomiale, of de Poisson verdeling, en continue verdelingen als de exponentiële en de gamma verdeling kunnen worden opgevat als speciale gevallen van de Pdlya verdeling of uit deze door een limiet-overgang kunnen worden afgeleid. De samenhang met deze undere verdelingen is overzichtelijk samengevat in de Tabellen 1 en 2.
Vaak hebben auteurs de Pdlya verdeling onafhankelijk van elkaar afgeleid in verschillende vorm zonder dat zij hebben onderkend met een reeds bekende verdeling te maken te hebben. Hopelijk zal dit artikel ertoe bijdragen om aan een zekere verwarring een eind te maken.     

A simple derivation of the limiting distribution function of a sample quantile with increasing sample size

Samenvatting
De verdeling van een steekproef-quantiel is, gelijk bekend, asymptotisch normaal. De bewijzen in de meeste bekende leerboeken richten zich op de waarschijnlijkheids-dichtheid van deze verdeling. Hier wordt een doorzichtig bewijs gegeven, dat uitgaat van de [cumulatieve] verdelingsfunctie en dat aansluit bij de stelling van De Moivre — Laplace over de asymptotische normaliteit van de binomiale verdeling. Het leidt tevens tot eeen suggestie voor betere normalebenaderingen voor de verdeling van een steekproef-quantiel.     

The Efficiency of Some Distribution-Free Tests

Laten T₁ en T₂ twee toetsen zijn voor dezelfde hypothese θ=θ₀betreffende de waarde van een parameter θ, Zij verder de onbetrouwbaarheidsdrempel van beide toetsen gelijk aan α en het onderscheidingsvermogen tegen de alternatieve hypothese θ=θ₁ geliik aan 1-β. Indien toets T₁ nu n₁ waarnemingen vergt en toets T₂n₂ waarnemingen, dan wordt de relatieve doeltreffendheid (Eng.: efficiency) van toets T₁ ten opzichte van toets T₂ (als toetsen voor θ=θ₀ tegen θ=θ₁ gegeven door: e = n₂/n₁. Indien men de waarde van θ₁ op een bepaalde wijze naar θ₀ laat convergeren bij toenemende n₁, is het in vele gevallen, door gebruik te maken van een stelling van α en β Deze limiet-waarde wordt de asymptotische relatieve doeltreffendheid (volgens Pitman) genoemd. In dit artikel wordt een overzicht gegeven van hetgeen bekend is over de asymptotische relatieve doeltreffendheid van een aantal verdelingsvrije toetsen ten opzichte van de corresponderende standaardtoetsen.
De conclusie van de schrijver is, dat men bij het gebruik van verdelingsvrije methoden met een hoge doeltreffendheid (bijv. de symmetrietoets en de twee-steek-proeven-toets van Wilcoxon, de toets van Kruskal voor k steekproeven en de methode van m rangschikkingen) slechts zeer weinig informatie kan verliezen en dat zelfs het gebruik van minder doeltreffende verdelingsvrije methoden gerechtvaardigd kan zijn.     

A note on the delay problem in crossing a traffic stream

In dit artikel wordt de wachttijd onderzocht van een voetganger die een weg oversteekt met eenrichtingverkeer, voor het geval dat de verkeersstroom bestaat uit openingen ("gaps") en verkeersstromen zonder onderbreking ("clusters"). De tijdsduur van de gaps en ook van de clusters zijn onderling onafhankelijke sto-chastische variabelen. Een voetganger steekt pas over als de tijd die de eerst-volgende passerende auto nodig heeft om het oversteekpunt te bereiken tenminste h tijdseenheden is. De kans dat een voetganger onmiddellijk oversteekt wordt dan berekend. Daarna wordt de Laplace-Stieltjes getransformeerde van de wacht-tijdverdeling berekend en wordt een uitdrukking afgeleid voor de gemiddelde wachttijd. De gemiddelde wachttijd wordt dan onderzocht in het geval dat de clusters een constante duur hebben en er wordt aangetoond dat de gemiddelde wachttijd minimaal is als de verhouding van de gemiddelde "cluster"duur en de gemiddelde "gap"duur constant is.     

Confidence intervals associated with a straight line fitted by least squares

Een betrouw baarheidsstrook voor een rechte lijn, bepaald met behulp van kleinste kwadraten.
In de regressie-analyse kan men op vrij eenvoudige wijze een betrouwbaarheidsinterval vinden voor één punt van de regressielijn, behorende bij een willekeurig gegeven waarde van de abscis. Dit onderwerp wordt in de meeste handboeken over statistiek behandeld. In tegenstelling hiermee wordt een andere vraag, die hier nauw rnee samenhangt, meestal niet behandeld. Dit is het bepalen van een betrouwbaarheidsstrook voor de lijn in zijn geheel. In dit artikel worden beide methoden besproken.     

De oplossing van een kwaliteitsprobleem door het gebruik van proefschema's

Samenvatting  Het artikel geeft een beschrijving van de strategie en de methoden, die worden gebruikt voor het zoeken naar de oorzaak van een kwaliteitsvermindering bij dubbelspiralen voor gloeilampen. Er wordt niet alleen aandacht besteed aan de beschrijving en motivering van de gekozen proefschema's maar ook aan de praktische uitvoering van de experimenten. Het fabricage-proces is nl. dermate gecompliceerd dat niet kon worden volstaan met de instructie de experimenten in aselecte volgorde uit te voeren.
Het gehele onderzoek wordt uitqevoerd aan de hand van een drietal proefschema's. De keuze van het tweede en derde proefschema volgt logisch uit de uitkomsten van de voorafgaande proef. Na vol-tooiing van de derde proef is ondubbelzinnig aangetoond dat de belangrijkste oorzaak van de kwaliteitsvermindering is gevonden.     

Gemiddelde en kwadraatsom opnieuw bekeken

In 1952 merkte V an Y zeren [1] in dit tijdschrift op dat in de meeste elementaire leer-boeken de onafhankelijkheid van en s ², berekend uit een aselecte steekproef uit de normale verdeling, niet wordt bewezen.
In net bulletin van de VVS 1975, nr. 8 wijdt ook D e K roon [2] hieraan aandacht.
Om de in laatstgenoemd artikel ontwikkelde gedachtengang nog eens onder de aandacht te brengen met name ook van statistische assistenten en analisten en hun docenten, wordt in deze mededeling de hierna te formuleren stelling tot in details elementair bewezen.     

Generalization of Wilcoxon Statistic for the Case of k Samples.

Doel van het volgende artikel is om aan te tonen, hoe verschillende bekende ranginvariante k-steekproeven toetsen kunnen worden voortgebracht volgens één zelfdeprincipe. Dit principe is als volgt. Begin met de statistischegrootheden U_ij en U_0j van WILCOXON te construeren (U_ij uit de i-de enj-desteekproeven; U_0j uit de j-de steekproefen alle andere tezamen; i, j = 1k). Laat vervolgens het symbool T_ij de aanduiding zijn voor de genormaliseerde U_ij en T_0j voor de genormali-seerde U_0j. Beschouw tenslotte de absolute waardeofhetkwadraatvaneenzodanige lineaire functie van de T_ij of de T_0j, dat deze absolute waarde ofditkwadraateen zo groot mogelijke waarde heeft (waarbij deze maximalisering plaats vindt over een geschikte verzameling van coëfficienten-combinaties). Als resultaat verkrijgt men dan de toetsingsgrootheden van TERPSTRA, STEEL, KRUSKAL-WALLIS, en een nieuwe toetsingsgrootheid.     

Enige ervaringen met kursussen in de OR met behulp van management games

Samenvatting Binnen Akzo is veel ervaring opgedaan met speciaal voor dit doel ontwikkelde managementgames in OR-cursussen. Het blijkt dat deze van grote waarde zijn zowel om de motivatie te verhogen als om het inzicht te verdiepen in de toepassingsmogelijkheden van OR in de praktijk.
In dit artikel worden een tweetal cursussen beschreven en de plaats hierin van de games. Een aantal praktische ervaringen worden genoemd.
De cursussen die hier beschreven zijn bereiken door de grote motivatie van de cursisten en de vrijere wijze van doceren veel beter hun doel dan meer technische cursussen. Het instrument van het management game draagt hier zeer wezenlijk toe bij.     

On a metric in the space of random variables

Van een metriek d(x,y) gedefinieerd op de ruimte Ω van alle stochastische variabelen worden twee interessante eigenschappen bewezen. Deze kunnen soms met vrucht onder meer worden toegepast voor de beoordeling of bij een gegeven monotone functie f, en een benadering y van x, ook f(y) een goede benaderende stochastiek is voor f(x).