Transforms for finding probabilities and variate values of a distribution function in tables of a related distribution function

Het verband tussen enige bedkende verdelingen.
In dit artikel worden enkele schema's gegeven voor het verband tussen een aantal van de meest bekende verdelingen. Bovendien wordt een aantal andere relaties besproken. He doel van dit artikel is drieledig. Ten eerste kunnen statistische afdelingen, die in het bezit zijn van een uitgebreide tabellenverzamelign de gegeven transformaties gebruiken om bestaande tabellen uit andere tabellen te vervolledigen ten dienste van bepaalde praktische toepassingen. Ten tweede kunnen statistici, die niet in het bezit van volledige tabellenverzamelingen zijn, ontbreakende tabellen vervanden tussen deze verdelingen leiden tot meer inzicht in bepaalde toetsings-methoden. Dit laatste punt wordt niet uitvoerig uitgewerkt.
Par. 1. geeft een inleiding en overzicht; par. 2 vermeldt de gebruikte symbolen en verwijst naar bekende tabellenverzamelingen; par. 3 en 4 geven schematisch de transformaties weer; par. 5 geeft een schematisch overzicht van de relaties; par. 6 geeft een aantal numerieke voorbeelden; in de appendix worden de wiskundige formules van de verdelingen vermeld.
Afleidingen worden niet gegeven.     

The distance method for estimating densities

De afstandsmethode voor het schatten van een dichtheid, bijv. het stamtal per ha in bossen, werd voorgesteld en uitgewerkt door F. E. Essed [1], Men zou deze ook kunnen interpreteren ah een "wachttijdmethode" ter bepaling van de frequentie per tijdseenheid van een (in de tijd) poisson verdeelde gebeurtenis als het binnenkomen van gesprekken op een telefooncentrale. In dit artikel wordt de methode verder ontwikkeld, waarbij een toepassing, nl. het tellen van slakken (van de soort Galba trunculata, gastheer van de leverbot) in greppels -dit als onderdeel van een onderzoek naar de biologie van de leverbot -, nader wordt beschreven (par. 2).
Na definities (par 1.0) (in bosbouwkundige termen) van achtereenvolgens: een bos, een toevallig bos, een (homogeen) poisson-bos een locaalpoisson-bos, worden enige nieuwe schatters gedefinieerd ((1) en (2) in par. 1.1.), en hun eigenschappen voor een homogeen poisson-bos besproken. Voor een locaal poisson-bos wordt een afzonderlijke schatter besproken (par. 1.2). In par. 1.3 wordt een homogeniteits-toets besproken, alsook een dichtheidsschatter, die al naar de omstandigheden een telling van bomen of een afstandsmeting is.
In par. 1 worden de statistische technieken met enkele hulptabellen besproken. Par. 2 beschrijft het ontwikkelen van een veldmethode voor het tellen van slakken bij het leverbotonderzoek. Par. 3 geeft de wiskundige achtergrond voor de methoden beschreven in par. 1.     

The Pólya distribution

De Pólya verdeling is een zeer algemene verdeling voor een discrete variabele afhankelijk van 3 parameters. In dit artikel worden de verschillende wijzen waarop de Pdlya verdeling kan ontstaan en de verschillende vormen waarop zij kan worden beschreven samengevat.
Voorts worden de momenten bepaald en enige belangrijke eigenschappen in verband met de steekproeftheorie besproken. Tenslotte wordt aangetoond dat bekende discrete verdelingen zoals de binomiale, of de Poisson verdeling, en continue verdelingen als de exponentiële en de gamma verdeling kunnen worden opgevat als speciale gevallen van de Pdlya verdeling of uit deze door een limiet-overgang kunnen worden afgeleid. De samenhang met deze undere verdelingen is overzichtelijk samengevat in de Tabellen 1 en 2.
Vaak hebben auteurs de Pdlya verdeling onafhankelijk van elkaar afgeleid in verschillende vorm zonder dat zij hebben onderkend met een reeds bekende verdeling te maken te hebben. Hopelijk zal dit artikel ertoe bijdragen om aan een zekere verwarring een eind te maken.     

Multimodality in a family of probability densities, with application to a linear mixture of two normal densities.

In dit artikel worden enige eigenschappen samenhangende met het aantal toppen van kansdichtheden afgeleid. Beschouwd wordt de situatie bij een dichtheid h(x, θ) (met θ parametervektor), die voor elke toegestaneparameterwaarde θɛθ tweemaal differentieerbaar is naar x, terwijl zowel h zelf, als zijn eerste en tweede afgeleide naar x, continu zijn in (x, θ). In paragraaf 2 worden enige eigenschappen afgeleid van de verzamelingen θ_k (k > o) van parameterwaarden waar strikt k-toppigheid optreedt (definitie in paragraaf 1) en θ_o van die parameterwaarden, waarbijh(x, θ) voor geen enkele k (> o) aan de eisen voor strikte k-toppigheid voldoet. In paragraaf 3 wordt h(x, θ) gespecialiseerd tot een lineair mengsel van twee kansdichtheden en in paragraaf 4 wordt gedetailleerd het geval van een lineair mengsel van twee normale dichtheden nagegaan.     

"How to obtain the optimum from a linear programming problem, when the calculations have to be carried out in a decentralized way"

Samenvatting Er zijn verscheidene betrouwbare, snelle elektronische rekenmachines met een groot geheugen verkrijgbaar. Ondanks het feit, dat deze machines in staat zijn grote lineaire programmeringsproblemen op te lossen, blijven er een aantal over, die niet in zijn geheel opgelost kunnen worden of die om andere redenen niet in zijn geheel opgelost zullen worden. In zo'n geval wordt het totale probleem vaak gesplitst in deelproblemen. Men doet dit door aan een aantal variabelen waarden toe te kennen, waarvan men hoopt, dat ze ongeveer zo groot zullen zijn als die, die men verkregen zou hebben na oplossing van het totale lineaire programmeringsproblm. Aangezien men in de praktijk vaak genoegen neemt met pseudo-optimale antwoorden, geeft zo'n combinatie van oplossingen van deelproblemen in het algemeen bruikbare resultaten, mits de gegeven schattingen voor de variablen, die maakten dat het totale probleem gesplitst kon worden, niet te ver van de goede waarden zullen afwijken. Aangezien men dit zonder het oplossen van het totale probleem nooit te weten zal komen, blijft het raadzaam te proberen deze schattingen op een dusdanige wijze te verbeteren, dat ze de waarden behorende bij de optimale oplossing benaderen. In 1961 werd hiervoor een werkwijze ontwikkeld bij de Bataafse Internationale Petroleum Maat-schappij N.V. die op 7 maart 1962 intern gerapporteerd werd in een rapport, dat ongeveer gelijkluidt aan de titel van dit artikel. Past men de hierin beschreven werkwijze toe, dan verbetert men iteratief de schattingen en wel op een dusdanige wijze, dat de waarde van de doelfunctie van het totale probleem van stap tot stap beter wordt. Evenals in het rechtstreeks toepassen van lineaire programmering is het theoretisch mogelijk, dat twee na elkaar verkregen combinaties van resultaten, een zelfde waarde van de doelfunctie opleveren. De kans hierop wordt echter in de, in dit artikel beschreven methode, veel kleiner. Hieruit blijkt, dat de resultaten, verkregen na het verrichten van enkele stappen, een beter resultaat geven, dan de eerste schatting. Is men dus gedwongen om welke reden dan ook, het rekenwerk te stoppen, dan heeft men een beter resultaat verkregen dan dat, behorende bij de eerste schatting. Vaak zal het ook niet nuttig zijn verder te gaan met het rekenwerk, aangezien ervaring heeft geleerd, dat de grootste verbeteringen in het begin te verwachten zijn. Theoretisch kan men door het volgen van de methode het optimum bereiken. De methode werd echter niet met dit doel voor ogen antwikkeld en kan in dat geval te langzaam zijn en daardoor te kostbaar werken. Alhoewel de methode het eenvoudigst toe te passen is, indien men de deelproblemen op één plaats ter beschikking heeft, werd ze ontwikkeld teneinde gedecentralizeerd werken toe te laten. In zo'n geval zal er enige informatie van een centraal punt naar de plaatsen. waar de deelproblemen behandeld worden verzonden moeten worden en terug; deze hoeveelheid informatie is echter gering. Summary Nowadays most electronic computers have large memories and are able to carry out calculations very rapidly. Nevertheless, it may be impractical or impossible for some computers to solve very big linear programming problems without some modifications to the problem. Fortunately, the optimal answer is not always needed, but any possible improvement of an estimated answer may be of great value. In this article it is shown, how this can be reached by splitting the integrated problem of a bigger company into several natural. and much smaller, problems, linked by certain variables. Furthermore a method is described for finding an improved answer to that inte grated problem. It is reached by first estimating the linking variables and then improving this estimate in a number of systematic steps. It is developed for cases where the calculation work is carried out on a decentralized basis, but works even easier in cases where all calculation work is carried out on the same place. In the first case there has to be a flow of information between places, where calculations on smaller problems are carried out and the place where the calculations are carried out on the sizes of the linking variables only. Theoretically the optimum may be reached in a finite number of steps, but when calculations have to stop before reaching the overall optimum, an improvement will have been achieved, since each solution obtained is at least as good as, but generally better than the preceeding one. The method is developed in 1961. For non-mathematicians it may be difficult to understand an article written in matrix-notation. Therefore, the proofs and derivations in this article are given without matrix-notation. Consequently the method will be more easily understood by those, who are likely to use it, the more so, since proofs and derivations are given for a limited number of variables and blocks only.     

The estimation of the two-dimensional distribution of a statistical set, based on the marginal distributions of its strata

In dit artikel wordt een methode ontwikkeld, met behulp waarvan men de simul-tane verdelingsfunctie F(x,y) van twee stochastische variabelen x en y kan aan-passen, voor het geval dat de steekproeven van x en y onafhankelijk van elkaar ge-nomen zijn.
De methode is gebaseerd op de veronderstelling dat de gehelepopulatie, waarop x en y betrekking hebben, bestaat uit een groot aantal subpopulaties; voor deze subpopulaties moet gelden dat de stochastische variabelen x en y dezelfde voor-waardelijke verdelingsdichtheid f( x/y ) hebben, terwijl alle voorwaardelijke ver-delingsdichtheden f( y / x ) verschillend moeten zijn. Daarnaast wordt aangegeven hoe men uit dezelfde gegevens de correlatiecoëfficient van x en y kan schatten. Als analogon van deze "enkelvoudige" correlatiecoefficient wordt de z.g. collec-tieve correlatiecoëfficient van twee stochastische vectoren gedefinieerd, terwijl tenslotte wordt gedemonstreerd hoe het een en ander kan worden toegepast bij de voorspelling van het toekomstige verloop van tijdreeksen.     

Another note on the delay problem in crossing a traffic stream.

In dit artikel wordt hetzelfde vraagstuk behandeld als in dat van prof. dr. ir. J. W. COHEN in Statistica 17–1; het is gebaseerd op dezelfde algemene onder-stellingen. Maar in plaats van uit te gaan van openingen ("gaps") en verkeers-stromen zonder onderbreking ("clusters") richt het zich rechtstreeks op openingen van zodanige lengte dat dwarsverkeer mogelijk is ("Passes") en ketens van één of meer voertuigen, eventueel gescheiden door kortere onderbrekingen, die geen dwarsverkeer toelaten ("Stops"). De tijd h in het artikel van COHEN is als een-heid van tijd genomen.
Men komt dan gemakkelijk tot de algemeen geldende for mule voor de gemid-delde wachttijd, een soortgelijke formule als gebruikelijk voor de gemiddelde wachttijd van een spoedorder in de fabrieksplanning wanneer geen onderbreking van onderhanden werk is toegelaten.
Deze formule geeft duidelijke aanwijzingen voor een organisatie van het verkeer, die de gemiddelde wachttijd tot een minimum maakt. Vervolgens wordt de samenhangonderzocht tussen de twee verschillende methoden van berekening en aan-getoond, dat men de door COHEN gegeven resultaten in de voor de practijk belang-rijke gevallen ook met een eenvoudiger en meer elementaire rekenwijze bereiken kan. Voor geval 1 en 3 van COHEN'S artikel is deze berekening nader uitgewerkt.     

Forecasting the Past

Bezien wij het probleem van economische voorspelling. Wij nemen aan dat dit met een model gebeurt. Over dit model wordt de volgende veronderstelling gemaakt: Het model is een lineair stelsel van stochastische differentie-vergelijkingen. Om een voorspelling te kunnen doen met behulp van het model, hebben wij cijfers nodig omtrent de uitgangstoestand. Deze uitgangstoestand behoort tot het recente verleden, waaromtrent de statistische informatie nog on-volledig is. Dit doet het volgende probleem rijzen: Kan men het model ook gebruiken om de uitgangstoestand te “voorspellen”? Dit probleem verschilt van dat van het voorspellen van de toekomst, doordat we een additionele eis moeten stellen. De “voorspelde” vector van uitgangswaarden moet in overeenstemming zijn met de beperkte statistische informatie die wèl beschikbaar is. De auteur pakt dit probleem aan, door het minimaliseren van een gewogen som van de storingstermen in de afzonder-lijke relaties van het model. Het algoritme, waartoe dit aanleiding geeft, wordt tamelijk gedetailleerd besproken.     

Forecasting the Past

Bezien wij het probleem van economische voorspelling. Wij nemen aan dat dit met een model gebeurt. Over dit model wordt de volgende veronderstelling gemaakt: Het model is een lineair stelsel van stochastische differentie-vergelijkingen. Om een voorspelling te kunnen doen met behulp van het model, hebben wij cijfers nodig omtrent de uitgangstoestand. Deze uitgangstoestand behoort tot het recente verleden, waaromtrent de statistische informatie nog on-volledig is. Dit doet het volgende probleem rijzen: Kan men het model ook gebruiken om de uitgangstoestand te "voorspellen"? Dit probleem verschilt van dat van het voorspellen van de toekomst, doordat we een additionele eis moeten stellen. De "voorspelde" vector van uitgangswaarden moet in overeenstemming zijn met de beperkte statistische informatie die wèl beschikbaar is. De auteur pakt dit probleem aan, door het minimaliseren van een gewogen som van de storingstermen in de afzonder-lijke relaties van het model. Het algoritme, waartoe dit aanleiding geeft, wordt tamelijk gedetailleerd besproken.     

De oplossing van een kwaliteitsprobleem door het gebruik van proefschema's

Samenvatting  Het artikel geeft een beschrijving van de strategie en de methoden, die worden gebruikt voor het zoeken naar de oorzaak van een kwaliteitsvermindering bij dubbelspiralen voor gloeilampen. Er wordt niet alleen aandacht besteed aan de beschrijving en motivering van de gekozen proefschema's maar ook aan de praktische uitvoering van de experimenten. Het fabricage-proces is nl. dermate gecompliceerd dat niet kon worden volstaan met de instructie de experimenten in aselecte volgorde uit te voeren.
Het gehele onderzoek wordt uitqevoerd aan de hand van een drietal proefschema's. De keuze van het tweede en derde proefschema volgt logisch uit de uitkomsten van de voorafgaande proef. Na vol-tooiing van de derde proef is ondubbelzinnig aangetoond dat de belangrijkste oorzaak van de kwaliteitsvermindering is gevonden.     

Enige ervaringen met kursussen in de OR met behulp van management games

Samenvatting Binnen Akzo is veel ervaring opgedaan met speciaal voor dit doel ontwikkelde managementgames in OR-cursussen. Het blijkt dat deze van grote waarde zijn zowel om de motivatie te verhogen als om het inzicht te verdiepen in de toepassingsmogelijkheden van OR in de praktijk.
In dit artikel worden een tweetal cursussen beschreven en de plaats hierin van de games. Een aantal praktische ervaringen worden genoemd.
De cursussen die hier beschreven zijn bereiken door de grote motivatie van de cursisten en de vrijere wijze van doceren veel beter hun doel dan meer technische cursussen. Het instrument van het management game draagt hier zeer wezenlijk toe bij.     

Optimale rantsoenering van aardolie en aardolieprodukten in Nederland; een toepassing van input-outputanalyse en lineaire programmering

Samenvatting Bij een invoerrestrictie van ruwe olie ontstaat het probleem van de optimale verdeling van de olie over de verschillende bedrijfstakken. Met behulp van input-outputanalyse kan dit probleem worden getransformeerd in een lineair-prograrnmeringsvraagstuk. In het navolgende artikel worden een aantal oplossingen gepresenteerd die men verkrijgt bij verschillende veronderstellingen omtrent bezuinigingsmogelijkheden, verbruiksminima enz.     

Merkkeuze bij consumenten

Bij iedere aankoop van een produkt waarvan meer dan één merk wordt aangeboden, moet de consument een keuze doen uit de beschikbare merken. Welk merk wordt gekozen is afhankelijk van: eerder gekochte merken, de winkel waarin wordt gekocht en marketing variabelen zoals prijs en reclame. De invloed van eerder gekochte merken kan worden weergegeven door merkkeuzemodellen, waarvan er in het artikel enkele worden besproken. Deze modellen worden vervolgens toegepast op empirische gegevens. Hierdoor wordt inzicht verkregen in de aard van het merkkeuzeproces. Voor dezelfde empirische gegevens wordt ook de invloed op de merkkeuze onderzocht van winkelkeuze en marketing variabelen.     

Price determination based on quality An Application of Minimax

Samenvatting
Het komt dikwijh voor dat een partij goederen van eigenaar wisselt zonder dat hetzij koper hetzij verkoper de kwaliteit ervan precies kennen. In dergelijke ge-vallen wordt de prijs gewoonlijk vastgesteld op basis van een door arbitrage be-paalde kwaliteit. Het in dit artikel te bespreken contract werd in de Rotterdamse haven afgesloten tussen een koper en een verkoper die geregeldpartijen van elkaar overnamen met het doel te bezuinigen op arbitragekosten en tijd. Zij trachtten dit te bereiken door het onderling eens te worden over de kwaliteit volgens van te voren contractueel vastgelegde "spelregels".
Het resulterende "spel" kan met behulp van de minimax redenering worden opgelost - en vormt als zodanig een der zeer weinige voorbeelden van een praktijk-voorbeeld van speltheorie. De spelregels hidden echter niet tot het gewenste resultaat, en men gaat nu weer met de alouds vertrouwde orthodoxe arbitrage te werk.     

De frequentistische opbouw van de waarschijnlijkheids-rekening volgens R. von Mises

R. von M ises publiceerde zijn frequentistische opbouw van de waarschijnlijkheidsleer voor het eerst in 1919. De daarbij naar voren gebrachte inzichten verschilden zeer van de in die tijd algemeen geaccepteerde ideeén omtrent de grondslagen van de waarschijnlijkheidsleer. Onder invloed van (zowel opbouwende als abrekende) kritieken, alsmede door eigen gewijzigde inzichten, evolueerde zijn theorie zich, via diverse publikaties, tot die, weke wij aantreffen in zijn in 1964 posthuum verschenen, laatste werk.
In dit artikel wordt nader ingegaan op de theorie van V on M ises , zoals die in het zojuist genoemde werk behandeld wordt. Hiertoe is het soms nodig in te gaan op vroegere publikaties van zijn hand.
In vele boeken en artikelen (zie bijv. C ramer (1966) p. 150 en H emelrijk (1968) p. 13) worden enige zinnen gewijd aan het feit, dat V on M ises zich met de grondslagen van de waarschijnlijkheidsleer heeft bezig gehouden. Bijna nooit krijgt men echter te lezen, wat hij precies gezegd heeft.     

Practical estimators for sampling on successive occasions

In een steekproefschema dat zich uitstrekt over enige tijd kan de steekproefomvang varieren van periode tot periode. Een aantal schattingsmethoden worden voorgesteld die zoveel mogelijk informatie benutten uit de voorafgaande waarnemingen. Ze worden vergeleken met de regressieschatting die theoretisch optimaal is. Bij net waarnemen echter van een zeer groot aantal kenmerken is de regressie-schatting niet langer bruikbaar als gevolg van de grote aantallen berekeningen.
De voorgestelde schatters verliezen aan precisie maar veroorzaken geen reken-technische problemen.     

Confidence intervals associated with a straight line fitted by least squares

Een betrouw baarheidsstrook voor een rechte lijn, bepaald met behulp van kleinste kwadraten.
In de regressie-analyse kan men op vrij eenvoudige wijze een betrouwbaarheidsinterval vinden voor één punt van de regressielijn, behorende bij een willekeurig gegeven waarde van de abscis. Dit onderwerp wordt in de meeste handboeken over statistiek behandeld. In tegenstelling hiermee wordt een andere vraag, die hier nauw rnee samenhangt, meestal niet behandeld. Dit is het bepalen van een betrouwbaarheidsstrook voor de lijn in zijn geheel. In dit artikel worden beide methoden besproken.     

Loten bij delicate vragen; een overzicht van "randomized response"-technieken

In een populatie wenst men de fractie personen te schatten, die een zeker kenmerk vertoont. Bij het interview krijgt men vaak een weigering of een ontwijkend of een bewust onjuist antwoord op vragen m.b.t. delicate kenmerken, waardoor de schatter van de fractie onzuiver kan worden. Door gebruik te maken van statistische technieken, die de laatste tien jaren in de V.S. zijn ontwikkeld, kan men deze fractie toch zuiver schatten. Ook van kwantitatieve kenmerken, zoals de hoogte van het inkomen, kan men m.b.v. deze technieken het populatiegemiddelde zuiver schatten. Een overzicht van deze “randomized response”-technieken wordt behandeld. Een bibliografie van de tot nu toe verschenen publikaties wordt gegeven.     

On the distribution of the test statistics of Kendall and Wilcoxon's two sample test when ties are present

Zoals bekend is, kan de exacte verdeling van de toetsingsgrootheid van Kendall voor rangcorrelatie als er geen gelijke waarnemingen optreden en ah de nulhypothese juist is, berekend worden met behulp van een recurrente formule. Hetzelfde geldt voor de toetsingsgrootheid van Wilcoxon voor het geval van twee steekproeven. Wanneer er wél gelijke waarnemingen optreden, kan men, zoals hier wordt aangetoond, een gegeneraliseerde recursieformule gebruiken. De berekeningsmethode, die berust op het herhaald toepassen van deze recursieformule, is minder afschrikwekkend dan die welke bestaat in het opstellen van alle mogelijke schema's en de berekening van de bijbehorende kansen.     

Some computational aspects of a trimloss problem

In dit artikel wordt het probleem van de afvalbeperking behandeld, dat bij het snijden van papier en andere materialen optreedt. Het blijkt, dat in het geval dat de schrijvers bestudeerden, de lineaire programmerings-matrix sterk kon worden vereenvoudigd door toepassing van een gemakkelijk hanteerbaar criterium.
Voorts wordt ingegaan op het vinden van de begin-oplossing en het verdere verloop van het iteratieproces