Monotone generalized differentiability in nonsmooth optimization

The paper deals with mathematical programming and algebraic problems, by formulating both ones as nonsmooth unconstrained optimization problems. Therefore minimization algorithms, using monotone generalized subdifferentials, are define and numerical results reported, to show their performance.

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Sommario Il lavoro affronta problemi di programmazione matematica e di algebra, riconducendoli a minimizzazioni non vincolate non differenziabili, per le cui soluzioni definisce algoritmi numerici, che fanno uso di subdifferenziali generalizzati monotoni.

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Research supported by M.U.R.S.T.     

Su due metodi simulativi per la valutazione di grandezze interessanti assicurazioni sulla vita

Si propone un metodo per la simulazione di un fondo relativo ad una gestione assicurativa vita. Si studiano inoltre algoritmi per una efficace simulazione dell'ulteriore durata di vita di un individuo. L'efficienza della simulazione viene analizzata attraverso sperimentazioni numeriche che consentono anche un confronto, in termini di tempo, con la simulazione realizzata con altro noto metodo.

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A simulation method to determine the behavior of an assurance fund is proposed. Evaluations of its yearly levels are obtained by simulating the survival time related to each policy holder, as a discrete random variable. Then, such a simulation requires, for every variable, a table scanning. Time saving is gained by using algorithms that are studied to supply a convenient starting point to begin looking-up the table. Numerical results show a very good efficiency of the method both in comparison with an already known one and also in terms of absolute computation time.

     

Nuova dimostrazione di un teorema su un principio di calcolo del premio

E'notissimo che se il premio svizzero è traslativo la funzione di utilitá è lineare oppure esponenziale [1]. Le numerose dimostrazioni proposte prescindono dalle proprietà di siffatto premio, che qui sono poste in luce.

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Summary It is well known that if the Swiss premium calculation principle is translation invariant the utility function is linear or exponential. The purpose of this brief note is to give a simple proof of the above theorem considering the premium as an associative mean.

     

Strong measures of concordance and convergence in probability

It is shown that convergence in probability is sufficient for a strong measure of concordance to converge to one, and that convergence to one of a strong measure of concordance, along with convergence in law, is sufficient for convergence in probability.

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Riassunto Si mostra che la convergenza in probabilità è condizione sufficiente perché una misura forte della concordanza converga a uno, e che la convergenza a uno di una misura forte della concordanza, insieme con la convergenza in legge, è condizione sufficiente per la convergenza in probabilità.

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Partially supported by M.P.I. (Gruppo di ricerca «Modelli probabilistici»).     

An algorithm for resource allocation with constraints in an input-output framework

In a large corporation or at the national level, planning involves a large number of inter-related activities competing for the same resources. In spite of its rather restrictive assumptions, Leontief's Input-Output model is still one of the best tool for the study of physical and financial flows between activities or economic sectors. A simple algorithm to find its solution when the available resources are limited is presented in this paper. The properties of that algorithm that was incorporated in an inter-industrial model built in Venezuela are proven and are followed by examples of application.

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Riassunto In grandi imprese o in sistemi economici nazionali la pianificazione riguarda un numero elevato di attività interrelate che fanno uso delle stesse risorse. Nonostante le ipotesi di base piuttosto restrittive, il modelloinput-output di Leontief è ancora uno degli strumenti più efficaci per lo studio dei flussi fisici e finanziari tra attività o settori economici.In questo lavoro viene presentato un semplice algoritmo per individuare la soluzione d'un problema di pianificazione quando sono limitati gli ammontari delle risorse. Sono dimonstrate alcune proprietà di questo algoritmo, che fu impiegato su un modello di relazioni interindustriali costruito in Venezuela e sono fornite alcune applicazioni esemplificatrici.

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Versione definitiva pervenuta il 14-2-1983     

Dominanza stocastica con avversione al rischio

In ques to la voro si introduce la classeU delle funzioni reali definite in un reticolo che sono funzioni di utilità di una classe di decisorti detti avversi al rischio e si caratterizza la dominancza stocastica secondo la classeU.

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Summary The aim of this paper is to generalize a result of [4] about stochastic dominance under the assumption of risk aversion. The generalization consists in considering the case of random variables defined on a lattice. We introduce a class of real valued utility functions on a lattice, we show their properties in terms of comparison of lotteries and risk aversiion. The main result of the paper is a characterization of stochastic dominance through this class of functions.

     

Solutions to linear equations depending on a parameter

An analysis of the relationships between the solutions of a system of linear equations depending on a parameter is provided. The results are applied to an economic problem concerning prices: According to the classical formalisation, the prices of production depend on the technique and a parameter, the rate of profit, representing distribution.

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Riassunto Si fornisce un'analisi delle relazioni fra le soluzioni di un sistema di equazioni lineari che dipendono da un parametro. I risultati ottenuti sono poi applicati a un problema economico riguardante i prezzi: In base alla formalizzazione classica, i prezzi di produzione dipendono dalla tecnica e da un parametro, il tasso di profitto, che rappresenta la distribuzione.

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Neri Salvadori thanks the MURST (the Italian Ministry of the University and Technological and Scientific Research) for financial support.     

Su un problema di minimax discreto

Nell'articolo si applicano al problema di minimax discreto dei dadi truccati due condizioni di minimax locale, una necessaria, sostanzialmente già nota, e l'altra sufficiente, originale, contenute in un precedente lavoro dell'autore. Si dimostra che una distribuzione di probabilità per la qualen somme consecutive sono equiprobabili e di probabilità massima verifica la condizione necessaria e che sotto due ulteriori ipotesi, che in pratica appaiono spesso verificate, tale distribuzione verifica altresì la condizione sufficiente di minimax locale. Si deduce quindi un risultato di Clemens.     

Alcune considerazioni sulle relazioni di indifferenza non transitive

Vengono introdotte le nozioni di i-struttura ed s-struttura in un insieme. Si prova che esse sono rispettivamente equivalenti alla nozione di ordine a intervalli studiato da Fishburn e semiordine studiato da Luce.

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Summary The notions of i-structure and s-structure are introduced and compared with the notions of interval order studied by Fishburn and semiorder introduced by Luce.

     

On the aubin-like characterization of competitive equilibria in infinite dimensional economies

For an exchange economy with finitely many agents and a commodity space which is infinite dimensional, it is proved that competitive equilibria are the same as allocations belonging to the fuzzy core of the economy. The latter is further characterized as a subset of the ordinary core of a suitably associated continuum economy.

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Riassunto Per un'economia di puro scambio con un numero finito di agenti e uno spazio dei beni di dimensione non necessariamente finita, si prova che gli equilibri Walrasiani possono essere caratterizzati come allocazioni che appartengono al nucleo fuzzy dell'economia. Inoltre, queste ultime allocazioni sono in corrispondenza biunivoca con allocazioni di tipo semplice che si trovano nel nucleo ordinario di un'opportuna economia che ha [0,1] come spazio rappresentativo dello spazio degli agenti.

     

Nuove classi di funzioni scalari concave generalizzate

In questo lavoro si introducono cinque nuove classi di funzioni concave generalizzate; di esse si studiano le proprietà e le interrelazioni con le classi più note in letteratura. Più precisamente, dopo aver evidenziato che le nuove classi sono distinte tra loro e da quelle già note in letteratura, se ne analizzano organicamente le differenze e si studia il loro comportamento dapprima in ipotesi di semicontinuità superiore e poi in ipotesi di continuità. Nel lavoro si dimostra inoltre il mantenimento di alcune proprietà strutturali come pure la conservazione delle principali proprietà relative all'ottimizzazione.

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Summary In this paper five new classes of generalized-concave functions are introduced and studied. In particular, it is firstly pointed out that the new classes are different from the known ones, then their relationships are stressed both in general and under hypothesis of upper semicontinuity and continuity.Also some properties about optimization and functions transformation are provided.

     

Sulla dinamica dell'allocazione della ricchezza

Le teorie tradizionali di selezione del portafoglio e di equilibrio sui mercati finanziari con informazione perfetta non spiegano né l'esistenza di flussi di capitale, né il volume degli scambi sui mercati stessi. Lo scopo di questo lavoro, che segue il contributo di Dumas (1986), è di giustificare e caratterizzare la dinamica dei mercati finanziari, ossia gli scambi in essi effettuati. In contrasto con il lavoro di Dumas, aui a) dal punto di vista matematico, sono date soluzioni in forma chiusa; b) dal punto di vista della finanza è messo in chiaro il ruolo degli investitori che non hanno comportamenti dihedging. L'ottenimento di soluzioni in forma chiusa apre la strada allo studio della dinamica dei mercati finanziari e dei corrispondenti prezzi, in opposizione al consueto approccio statico.

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Summary Traditional theories of portfolio selection and market equilibrium with rational symmetric information explain neither the existence of capital flows, nor the volume of trade on financial markets. The purpose of this paper, which follows the work by Dumas (1986), is to justify and characterise the dynamics of capital markets. As opposed to Dumas's paper, here two goals are attained: i) from the mathematical point of view, analytic solutions are provided; ii) as for financial theory, the role of investors with no hedging behaviour is clarified. The achievement of explicit solutions opens the way to further developments in the study of financial market flows and indicators in a dynamic framework, instead of the usual static one.

     

Futures options with futures-style margining in the Gaussian models setting

This paper investigates the effects of the markung-to-market on futures and futures options. Closed form solutions for the pricung of these contracts are derived under the assumption that the forward rate follows a Gaussian model. Moreover, an upper bound of the error made by computing futures option prices under the contmuons marking-to-market instead of the discrete one is provided. Numerical comparisons suggest that the marking-to-market feature is highly affect by the model chosen. In the Ho and Lee framework discrete marking-to-market futures prices turned out to be slightly different from the continuous ones; whereas in the Vasicek model differences in prices become appreciable when the mean reversion is slow and the volatility is high.

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Valutazione di contratti futures e opzioni futures nell’ambito dei modelli Gaussiani

Riassunto In questo articolo si esaminano gli effetti di marking-to-market nella determinazione del prezzo di contratti futures e di opzioni futures. Le espressioni in forma chiusa dei prezzi di questi contratti sono determinate sotto l’ipotesi che l’intensità istantanea di interesse si evolva secondo nn modello Gaussiano. Tra i contratri futures e opzioni futures su tassi di interesse a breve trartati al LIFFE, dedichiamo la nostra analisi in particolare al caso di contratti su Eurolira. Questi contratti rappresentano infatti un fondamentale strumento per iltrading e l’hedging nel mercato Italiano dove i tassi di interesse a breve mostrano alti livelli di volatilità. Confronti unmerjci vengono foruiti nell’ambito del modello di Ho e Lee e di Vasicek. I risultati empirici suggeriscono che le differenze di prezzo nel caso discreto e continuo diventano apprezzabili nel modello di Vasicek quando laincan-veversion è bassa e la volatilità è alta.

     

A characterization for solutions of stochastic discrete time optimization models

A notion of finitely optimal plan for intertemporal optimization problems as a necessary condition for optimality is introduced. Under interiority of a feasible plan and differentiability of the return function, such a plan satisfies the stochastic analogue of deterministicEuler-Lagrange conditions, which become also sufficient conditions under concavity of the return function. Then, under more general assumptions, a sufficient criterion of optimality based on competitive plans supported by price systems and transversality conditions is discussed. Differently from the current literature, no restrictive hypotheses on the probability measure of the random shocks are assumed.

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Sommario Nella prima parte del lavoro si studiano le soluzioni dettefinitamente ottime che costituiscono una condizione necessaria per l'ottimalità di un piano ammissibile . Sotto ipotesi di interiorità del piano ammissibile e di differenziabilità della funzione obiettivo uniperiodaleF, vengono formulate le condizioni necessarie diEuler-Lagrange in ambito stocastico; aggiungendo l'ulteriore ipotesi di concavità perF, tali condizioni diventano anche sufficienti per l'ottimalità finita.La teoria viene poi estesa al caso sopradifferenziabile ottenendo una generalizzazione delle condizioni di Euler-Lagrange stocastiche che consente di individuare i piani finitamente ottimi mediante la nozione dicompetitività, ovvero supportabilità di un sistema di prezzi aleatori. Con una condizione di trasversalità all'infinito, la competitività diventa condizione sufficiente anche per l'ottimalità propria (cioè non solo finita).La peculiarità della presente trattazione è che tali condizioni sono formulate sotto ipotesi molto generali per quanto riguarda il processo degli shocks esogeni.

     

Equivocations for transposition ciphers

In a transposition cipher the message sequence is subdivided into blocks of equal length and each block is shuffled according to a chosen key. To evaluate the performance of a transposition cipher we take a Shannon-theoretic standpoint and compute relevant equivocations. It is wellknown that transposition ciphers are strongly ideal for memoryless stationary sources (key and cryptogram are independent). We consider also message equivocation and key-appearance equivocation and do not assume that the length of the intercepted cryptogram is a multiple of the block-length. The index of coincidence of the source statistics is shown to be a relevant parameter, at least asymptotically.

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Riassunto Il principio della trasposizione è uno dei più antichi in crittografia, ma non è obsoleto: i cifrari a trasposizione vengono adoperati come blocchi costitutivi di alcuni dei più autorevoli cifrari attualmente in uso, come il DES dell'IBM che è stato adottato dal National Bureau of Standards americano. Il messaggio in chiaro che si vuol cifrare viene spezzato in blocchi di ugual lunghezza e ciascun blocco viene «trasposto» (anagrammato) secondo una permutazione fissa e segreta (la chiave del cifrario). In questo lavoro le prestazioni dei cifrari a trasposizione vengono valutate dal punto di vista della teoria di Shannon, calcolando certe «equivocazioni» pertinenti: tali equivocazioni quantificano l'incertezza di una spia che abbia intercettato il crittogramma; dopo l'intercettazione le equivocazioni a priori si trasformano in equivocazioni a posteriori secondo un meccanismo di tipo bayesiano. Se la sorgente dei messaggi è data da un processo stocastico stazionario senza memoria, è ben noto che per quanto concerne la chiave le equivocazioni a priori e a posteriori coincidono: i cifrari a trasposizione sono in questo caso «fortemente ideali».Noi consideriamo anche l'equivocazione sul messaggio e quella sulla «comparsa della chiave» (quest'ultima è significativa nel caso di «attacchi con testo in chiaro»). L'equivocazione sul messaggio si ottiene da quella sulla chiave, che è una costante indipendente dalla lunghezza del crittogramma intercettato, al modo seguente: si somma un contributo periodico che si annulla solo quando tale lunghezza è un multiplo della lunghezza di blocco, e si sottrae una correzione infinitesima (pari all'equivocazione sulla comparsa della chiave) la cui velocità di convergenza è asintoticamente determinata dall' «indice di coincidenza» della distribuzione di probabilità che regola la sorgente dei messaggi.

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Questo lavoro è parte del programma di ricerca del GNIM-CNR. È incluso nel programma dell'International Symposium of Information Theory, Brighton (Inghilterra), giugno 1985.     

Funzioni di utilità di gruppo ed avversione al rischio multivariata

In questo lavoro si studia l'impatto che l'avversione al rischio multivariata ha in un problema di decisione di gruppo, note le misure di avversione al rischio relative alle funzioni di utilità dei singoli individui. Supponendo che tali funzioni siano aggregate in accordo al principio di Pareto e che ad ogni decisione di gruppo sia associato un profitto che deve essere suddiviso tra gli individui del gruppo stesso, si analizzazo i legami tra l'avversione al rischio degli individui e quella del gruppo, soprattutto nei casi in cui le funzioni di utilità sono additive e multilineari.

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In this paper, a methodology for modeling group decision-making problem is presented and links between group and individual multivariate risk aversion are studied.After a decision, a group will recive a payoff which must be devided among the members of the group itself: properties of the group utility functions and the sharing rule are investigated in connection with individual and collective risk aversion, under different assumptions concerning the form of the group utility function.

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Versione definitiva pervenuta il 27-7-1981

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNAFA-CNR.     

Soluzione ottima esplicita di un particolare problema di programmazione quadratica

Si considera un problema di programmazione quadratica strettamente convessoc la cui particolare struttura permette di stabilire a priori alcune proprietà, relative sia alla forma quadratica che alla soluzione ottima, che rendono possibile la determinazione di une formula esplicita per la soluzione ottima del problema.Tale problema è state precedentemente studiato come formulazione di un problema di costituzione di capitale per inseguimento in [3,4].

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Summary In this paper we consider a strictly convex quadratic programming problem whose particular structure allows us to establish some theoretical results and to find an explicit formula for its optimal solution.This problem has been already studied as an investment problem.

     

Optimal control theory and the reelection problem: The rise of a political business cycle

Riassunto In questo lavoro gli autori si propongono di evidenziare, tramite tecniche di controllo ottimo, l'insorgere di un ciclo politico economico nell'andamento del sistema economico, cioè l'eventuale manipolazione da parte del governo della situazione economica al fine di essere rieletto per il successivo mandato.Il modello proposto prevede una funzione di costo-popolarità, che determina la rielezione, lineare-quadratica rispetto al reddito nazionale e all'inflazione. La formalizzazione quadratica sia rispetto alla variabile di stato che alla variabile di controllo è motivo di alcune complicazioni analitiche del tutto estranee alla letteratura esistente sul terna. Il modello, da un punto di vista economico, si presenta più ricco e completo rispetto a quelli riportati in letteratura: in esso infatti, oltre alla curva di Phillips, sono presenti anche le equazioni IS-LM. Questa caratteristica rende possibili alcune considerazioni riguardo al ruolo dei fattori monetari e della spesa pubblica all'interno del ciclo politico economico.Dall'analisi svolta nell'articolo risulta confermato l'insorgere, sotto alcune condizioni, di un ciclo politico economico. Per determinati valori dei parametri del modello il comportamento può comunque anche essere caratterizzato da oscillazioni smorzate o da una continua espansione economica.     

Forecasting quarterly movements of the lira/pound-sterling exchange rate: Random walks,drift, seasonality and variable parameters

Quarterly logarithmic changes of the lira/pound-exchange rate for the period 1973 Q1 to 1989 Q1 are examined and the forecasting performance of some simple time series models is evalutated. The performance of the random walk model with drift is examined as a method of forecasting one quarter ahead lira/pound-sterling exchange rate changes. This model is then extended to incorporate seasonal movements. The assumptions of constant drift and seasonal patters are relaxed and the models are estimated using variable parameter regression based on state-space modelling using the Kalman filter. The within and out-of-sample performance of the models illustrates that an improvement in forecast accuracy is obtained by including seasonal variation. However, the results do not appear to be improved by allowing the parameters to follow a random walk, AR(1) or AR(2) process. The random walk model with drift and seasonal patterns performs better at predicting exchange rate movements than predictions based on the forward rate.

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Riassunto Questo saggio esamina il movimcnto dei valori logaritmici dei dati trimestrali per i tassi di cambio tra la lira e la sterlina, per il periodo che va dal primo trimestre del 1973 al primo trimestre del 1989.Si valuta la bontà della previsione dei modelli semplici. Si dà una valutazione dell' attendibilità del modello di passeggiata a caso con variazione, intendendolo come un metodo per prevedere, con un anticipo di tre mesi, i movimenti dei tassi di cambio tra la lira e la sterlina.Questo modello viene poi esteso per incorporare movimenti stagionali, le ipotesi di movimenti costanti casuali e stagionali sono indebolite e i modelli vengono valutati usando analisi di regressione con parametri variabili fondate sui modelli di stato-spaziale usando il filtro di Kalman.L'attendibilità, dentro e fuori il campione, dei modelli dimostra che un miglioramento nell'esattezza delle precisioni viene ottenuto con l'inclusione della variazione stagionale.I risultati, però, non migliorano quando i parametri seguono una passeggiata a caso, un processo AR(1) o un processo AR(2).Il modello della passeggiata a caso con variazione e i movimenti stagionali riescono meglio a pronosticare movimenti dei tassi di cambio che non le previsioni fondate sui tassi fissi di cambio anticipati.

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A revised draft of the paper presented at the 6th. Meeting of the European Working Group on Financial Modelling at Hautes Etudes Commerciales, Liège, Belgium, 27/28 November, 1989     

La rovina del giocatore con dipendenza markoffiana nel processo di alternativa

Il problema della rovina del giocatore è generalizzato considerando un'ipotesi di dipendenza markoffiana omogenea nel processo di alternativa in luogo del più particolare schema bernoulliano. In tale ipotesi sono determinate esplicitamente la probabilità di rovina e la durata media del gioco. Sui risultati ottenuti sono poi basate alcune considerazioni concernenti la gestione del rischio per questa classe di modelli.

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Summary The classical gambler's ruin problem is generalized: markovian turns are considered instead of bernoullian ones. Ruin probability and expected duration of the game are explicitly derived. Some final remarks about risk management in this hypothesis are made.

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Lavoro effettuato nell'ambito delle attività della ricerca Modelli della teoria del rischio, finanziata dal M.P.I. 60%.