"How to obtain the optimum from a linear programming problem, when the calculations have to be carried out in a decentralized way"

Samenvatting Er zijn verscheidene betrouwbare, snelle elektronische rekenmachines met een groot geheugen verkrijgbaar. Ondanks het feit, dat deze machines in staat zijn grote lineaire programmeringsproblemen op te lossen, blijven er een aantal over, die niet in zijn geheel opgelost kunnen worden of die om andere redenen niet in zijn geheel opgelost zullen worden. In zo'n geval wordt het totale probleem vaak gesplitst in deelproblemen. Men doet dit door aan een aantal variabelen waarden toe te kennen, waarvan men hoopt, dat ze ongeveer zo groot zullen zijn als die, die men verkregen zou hebben na oplossing van het totale lineaire programmeringsproblm. Aangezien men in de praktijk vaak genoegen neemt met pseudo-optimale antwoorden, geeft zo'n combinatie van oplossingen van deelproblemen in het algemeen bruikbare resultaten, mits de gegeven schattingen voor de variablen, die maakten dat het totale probleem gesplitst kon worden, niet te ver van de goede waarden zullen afwijken. Aangezien men dit zonder het oplossen van het totale probleem nooit te weten zal komen, blijft het raadzaam te proberen deze schattingen op een dusdanige wijze te verbeteren, dat ze de waarden behorende bij de optimale oplossing benaderen. In 1961 werd hiervoor een werkwijze ontwikkeld bij de Bataafse Internationale Petroleum Maat-schappij N.V. die op 7 maart 1962 intern gerapporteerd werd in een rapport, dat ongeveer gelijkluidt aan de titel van dit artikel. Past men de hierin beschreven werkwijze toe, dan verbetert men iteratief de schattingen en wel op een dusdanige wijze, dat de waarde van de doelfunctie van het totale probleem van stap tot stap beter wordt. Evenals in het rechtstreeks toepassen van lineaire programmering is het theoretisch mogelijk, dat twee na elkaar verkregen combinaties van resultaten, een zelfde waarde van de doelfunctie opleveren. De kans hierop wordt echter in de, in dit artikel beschreven methode, veel kleiner. Hieruit blijkt, dat de resultaten, verkregen na het verrichten van enkele stappen, een beter resultaat geven, dan de eerste schatting. Is men dus gedwongen om welke reden dan ook, het rekenwerk te stoppen, dan heeft men een beter resultaat verkregen dan dat, behorende bij de eerste schatting. Vaak zal het ook niet nuttig zijn verder te gaan met het rekenwerk, aangezien ervaring heeft geleerd, dat de grootste verbeteringen in het begin te verwachten zijn. Theoretisch kan men door het volgen van de methode het optimum bereiken. De methode werd echter niet met dit doel voor ogen antwikkeld en kan in dat geval te langzaam zijn en daardoor te kostbaar werken. Alhoewel de methode het eenvoudigst toe te passen is, indien men de deelproblemen op één plaats ter beschikking heeft, werd ze ontwikkeld teneinde gedecentralizeerd werken toe te laten. In zo'n geval zal er enige informatie van een centraal punt naar de plaatsen. waar de deelproblemen behandeld worden verzonden moeten worden en terug; deze hoeveelheid informatie is echter gering. Summary Nowadays most electronic computers have large memories and are able to carry out calculations very rapidly. Nevertheless, it may be impractical or impossible for some computers to solve very big linear programming problems without some modifications to the problem. Fortunately, the optimal answer is not always needed, but any possible improvement of an estimated answer may be of great value. In this article it is shown, how this can be reached by splitting the integrated problem of a bigger company into several natural. and much smaller, problems, linked by certain variables. Furthermore a method is described for finding an improved answer to that inte grated problem. It is reached by first estimating the linking variables and then improving this estimate in a number of systematic steps. It is developed for cases where the calculation work is carried out on a decentralized basis, but works even easier in cases where all calculation work is carried out on the same place. In the first case there has to be a flow of information between places, where calculations on smaller problems are carried out and the place where the calculations are carried out on the sizes of the linking variables only. Theoretically the optimum may be reached in a finite number of steps, but when calculations have to stop before reaching the overall optimum, an improvement will have been achieved, since each solution obtained is at least as good as, but generally better than the preceeding one. The method is developed in 1961. For non-mathematicians it may be difficult to understand an article written in matrix-notation. Therefore, the proofs and derivations in this article are given without matrix-notation. Consequently the method will be more easily understood by those, who are likely to use it, the more so, since proofs and derivations are given for a limited number of variables and blocks only.     

Planning the maintenance of simple machinery

In het artikel is een methode beschreven voor het berekenen van de optimale tijden, waarop preventief onderhoud van apparatuur, instrumenten en machines dient te geschieden, indien deze apparatuur, enz. zich na dit preventief onderhoud zowel als na een reparatie tengevolge van een storing gedraagt alsof ze nieuw is. Gemakshalve is dit type apparatuur in de titel "simple machinery" genoemd.
In het eerste deel (paragraaf 1 en 2) wordt beschreven hoe deze optimum tijden afgelezen kunnen worden uit een aantal grafieken. Het tweede deel (paragraaf 3 t/m 9) geeft de theorie en enige additionele informatie, die verkregen kan worden door het uitvoeren van enige eenvoudige berekeningen. Deze informatie maakt het mogelijk de kosten van reparaties, preventief onderhoud, enz. en het verlies van produktieve tijd tussen een machine, waarvan het preventief onderhoudsschema optimaal is te vergelijken met dat van een machine met niet optimaal berekend onderhoudsschema.
Doordat de oorspronkelijke theorie, afkomstig van Morse [1], door de wijze van benadering en afleiding, gegeven in dit artikel eenvoudiger toegankelijk ge-worden is, kan nu in de olie-industrie worden nagegaan, welke onderhoudsschema's verbeterd kunnen worden. Hierbij wordt in gedachten gehouden, dat de theorie slechts toepasbaar is op die apparatuur, die voldoet aan bovenstaande "simple machinery" definitie.
De Appendix geeft de wiskundige afieidingen, gebruikt in het artikel.     

A simulation approach to the problem of the relationship between business test data and conventional statistics

De conjunctuurtest is opgezet met het doel op korte termijn inzicht te verkrijgen in de bewegingen van belangrijke economische variabelen. Daartoe worden de ondernemers vragen gesteld d.m.v. een enqueteformulier omtrent grootheden als productie, afzet etc. De conjunctuurtest laat slechts 3 antwoorden toe: de variabele in kwestie is gestegen, gelijk gebleven of gedaald. Bij dit soort analyses bestaat onzekerheid over de vraag hoe een ondernemer het antwoord "geen verandering" zal interpreteren. Dit probleem is als volgt aangepakt. Voor de ondernemers zijn gespecificeerd de "response functions" p(δ) en q(δ). De functie p(δ) geeft aan de kans dat een ondernemer een stijging zal melden indien hij met een numerieke productie verandering 6 wordt geconfronteerd. De functie q(δ) geeft aan de kans dat hij een doling zal melden bij eenzelfde productieverandering δ. Vervolgens zijn voor de waargenomen productie wijzigingen in de chemische Industrie over de periode januari 1955 t / m december 1957 de waarschijnlijkheden van de meldingen "stijging" p(δ) en "daling" q(δ) bepaald. Hierna zijn met behulp van een computer de antwoorden van de ondernemers gesimuleerd. Zie voor deze techniek sectie 4.
Met behulp van de regressie analyse is vervolgens de samenhang onderzocht tussen de conjunctuurtestgegevens en de productiecijfers van traditionele statistiek. Voor de gebruikte specif caties blijkt dat de correlatie coefficienten worden ver-laagd indien de varianties van de "response" functies groter worden.     

Multimodality in a family of probability densities, with application to a linear mixture of two normal densities.

In dit artikel worden enige eigenschappen samenhangende met het aantal toppen van kansdichtheden afgeleid. Beschouwd wordt de situatie bij een dichtheid h(x, θ) (met θ parametervektor), die voor elke toegestaneparameterwaarde θɛθ tweemaal differentieerbaar is naar x, terwijl zowel h zelf, als zijn eerste en tweede afgeleide naar x, continu zijn in (x, θ). In paragraaf 2 worden enige eigenschappen afgeleid van de verzamelingen θ_k (k > o) van parameterwaarden waar strikt k-toppigheid optreedt (definitie in paragraaf 1) en θ_o van die parameterwaarden, waarbijh(x, θ) voor geen enkele k (> o) aan de eisen voor strikte k-toppigheid voldoet. In paragraaf 3 wordt h(x, θ) gespecialiseerd tot een lineair mengsel van twee kansdichtheden en in paragraaf 4 wordt gedetailleerd het geval van een lineair mengsel van twee normale dichtheden nagegaan.     

De frequentistische opbouw van de waarschijnlijkheids-rekening volgens R. von Mises

R. von M ises publiceerde zijn frequentistische opbouw van de waarschijnlijkheidsleer voor het eerst in 1919. De daarbij naar voren gebrachte inzichten verschilden zeer van de in die tijd algemeen geaccepteerde ideeén omtrent de grondslagen van de waarschijnlijkheidsleer. Onder invloed van (zowel opbouwende als abrekende) kritieken, alsmede door eigen gewijzigde inzichten, evolueerde zijn theorie zich, via diverse publikaties, tot die, weke wij aantreffen in zijn in 1964 posthuum verschenen, laatste werk.
In dit artikel wordt nader ingegaan op de theorie van V on M ises , zoals die in het zojuist genoemde werk behandeld wordt. Hiertoe is het soms nodig in te gaan op vroegere publikaties van zijn hand.
In vele boeken en artikelen (zie bijv. C ramer (1966) p. 150 en H emelrijk (1968) p. 13) worden enige zinnen gewijd aan het feit, dat V on M ises zich met de grondslagen van de waarschijnlijkheidsleer heeft bezig gehouden. Bijna nooit krijgt men echter te lezen, wat hij precies gezegd heeft.     

Forecasting the Past

Bezien wij het probleem van economische voorspelling. Wij nemen aan dat dit met een model gebeurt. Over dit model wordt de volgende veronderstelling gemaakt: Het model is een lineair stelsel van stochastische differentie-vergelijkingen. Om een voorspelling te kunnen doen met behulp van het model, hebben wij cijfers nodig omtrent de uitgangstoestand. Deze uitgangstoestand behoort tot het recente verleden, waaromtrent de statistische informatie nog on-volledig is. Dit doet het volgende probleem rijzen: Kan men het model ook gebruiken om de uitgangstoestand te “voorspellen”? Dit probleem verschilt van dat van het voorspellen van de toekomst, doordat we een additionele eis moeten stellen. De “voorspelde” vector van uitgangswaarden moet in overeenstemming zijn met de beperkte statistische informatie die wèl beschikbaar is. De auteur pakt dit probleem aan, door het minimaliseren van een gewogen som van de storingstermen in de afzonder-lijke relaties van het model. Het algoritme, waartoe dit aanleiding geeft, wordt tamelijk gedetailleerd besproken.     

Some remarks on business tendency surveys

Een onderzoek werd ingesteld naar de kwantitatieve betekenis van de uitkomstenvan de conjunctumtest. Resultaten, verkregen met behulp van de gebruikelijke methode van de conjunctuurtest, werden vergeleken met traditionele indices, in beide gevallen gebaseerd op het zelfde grondmateriaal, zodat storingen tengevolge van onvolkomenheden in berichtgeving en interpretatie a priori waren uitge-schakeld.
Het specifieke gebrek aan informatie, dat aan de begrippen "stijgen" en "dalen" inhaerent is, blijkt een aanwijsbare nadelige invloed te hebben op de kwaliteit van de regressie; men vindt coefficienten die in het algemeen tussen 0,8 en 0,9 liggen. In de praktijk zijn deze belangrijk lager. Indien men bovengenoemde onvolkomenheden in belangrijke mate zou kunnen opheffen, dan zouden de correlatiecoefficienten toch beneden dit niveau blijven. Van de omstandigheden zal dan afhangen of de relatie kwantitatief bruikbaar is.
Introductie van het percentage gelijkblijvers in de regressievergelijking bleek geen verbetering te geven. Tot op zekere hoogte kan met lineaire regressie op het saldo van de percentages „stijgers” en „dalers” warden volstaan; de regressie-coefficient houdt evenwel enig verband met het niveau van de te verklaren variabele.
Indien een seizoenpatroon aanwezig is, geeft dit correlatie-technisch aanleiding tot geflatteerde uitkomsten, zodat seizoencorrectie aanbeveling verdient.     

A note on the delay problem in crossing a traffic stream

In dit artikel wordt de wachttijd onderzocht van een voetganger die een weg oversteekt met eenrichtingverkeer, voor het geval dat de verkeersstroom bestaat uit openingen ("gaps") en verkeersstromen zonder onderbreking ("clusters"). De tijdsduur van de gaps en ook van de clusters zijn onderling onafhankelijke sto-chastische variabelen. Een voetganger steekt pas over als de tijd die de eerst-volgende passerende auto nodig heeft om het oversteekpunt te bereiken tenminste h tijdseenheden is. De kans dat een voetganger onmiddellijk oversteekt wordt dan berekend. Daarna wordt de Laplace-Stieltjes getransformeerde van de wacht-tijdverdeling berekend en wordt een uitdrukking afgeleid voor de gemiddelde wachttijd. De gemiddelde wachttijd wordt dan onderzocht in het geval dat de clusters een constante duur hebben en er wordt aangetoond dat de gemiddelde wachttijd minimaal is als de verhouding van de gemiddelde "cluster"duur en de gemiddelde "gap"duur constant is.     

De oplossing van een kwaliteitsprobleem door het gebruik van proefschema's

Samenvatting  Het artikel geeft een beschrijving van de strategie en de methoden, die worden gebruikt voor het zoeken naar de oorzaak van een kwaliteitsvermindering bij dubbelspiralen voor gloeilampen. Er wordt niet alleen aandacht besteed aan de beschrijving en motivering van de gekozen proefschema's maar ook aan de praktische uitvoering van de experimenten. Het fabricage-proces is nl. dermate gecompliceerd dat niet kon worden volstaan met de instructie de experimenten in aselecte volgorde uit te voeren.
Het gehele onderzoek wordt uitqevoerd aan de hand van een drietal proefschema's. De keuze van het tweede en derde proefschema volgt logisch uit de uitkomsten van de voorafgaande proef. Na vol-tooiing van de derde proef is ondubbelzinnig aangetoond dat de belangrijkste oorzaak van de kwaliteitsvermindering is gevonden.     

Price determination based on quality An Application of Minimax

Samenvatting
Het komt dikwijh voor dat een partij goederen van eigenaar wisselt zonder dat hetzij koper hetzij verkoper de kwaliteit ervan precies kennen. In dergelijke ge-vallen wordt de prijs gewoonlijk vastgesteld op basis van een door arbitrage be-paalde kwaliteit. Het in dit artikel te bespreken contract werd in de Rotterdamse haven afgesloten tussen een koper en een verkoper die geregeldpartijen van elkaar overnamen met het doel te bezuinigen op arbitragekosten en tijd. Zij trachtten dit te bereiken door het onderling eens te worden over de kwaliteit volgens van te voren contractueel vastgelegde "spelregels".
Het resulterende "spel" kan met behulp van de minimax redenering worden opgelost - en vormt als zodanig een der zeer weinige voorbeelden van een praktijk-voorbeeld van speltheorie. De spelregels hidden echter niet tot het gewenste resultaat, en men gaat nu weer met de alouds vertrouwde orthodoxe arbitrage te werk.     

Forecasting the Past

Bezien wij het probleem van economische voorspelling. Wij nemen aan dat dit met een model gebeurt. Over dit model wordt de volgende veronderstelling gemaakt: Het model is een lineair stelsel van stochastische differentie-vergelijkingen. Om een voorspelling te kunnen doen met behulp van het model, hebben wij cijfers nodig omtrent de uitgangstoestand. Deze uitgangstoestand behoort tot het recente verleden, waaromtrent de statistische informatie nog on-volledig is. Dit doet het volgende probleem rijzen: Kan men het model ook gebruiken om de uitgangstoestand te "voorspellen"? Dit probleem verschilt van dat van het voorspellen van de toekomst, doordat we een additionele eis moeten stellen. De "voorspelde" vector van uitgangswaarden moet in overeenstemming zijn met de beperkte statistische informatie die wèl beschikbaar is. De auteur pakt dit probleem aan, door het minimaliseren van een gewogen som van de storingstermen in de afzonder-lijke relaties van het model. Het algoritme, waartoe dit aanleiding geeft, wordt tamelijk gedetailleerd besproken.     

The Efficiency of Some Distribution-Free Tests

Laten T₁ en T₂ twee toetsen zijn voor dezelfde hypothese θ=θ₀betreffende de waarde van een parameter θ, Zij verder de onbetrouwbaarheidsdrempel van beide toetsen gelijk aan α en het onderscheidingsvermogen tegen de alternatieve hypothese θ=θ₁ geliik aan 1-β. Indien toets T₁ nu n₁ waarnemingen vergt en toets T₂n₂ waarnemingen, dan wordt de relatieve doeltreffendheid (Eng.: efficiency) van toets T₁ ten opzichte van toets T₂ (als toetsen voor θ=θ₀ tegen θ=θ₁ gegeven door: e = n₂/n₁. Indien men de waarde van θ₁ op een bepaalde wijze naar θ₀ laat convergeren bij toenemende n₁, is het in vele gevallen, door gebruik te maken van een stelling van α en β Deze limiet-waarde wordt de asymptotische relatieve doeltreffendheid (volgens Pitman) genoemd. In dit artikel wordt een overzicht gegeven van hetgeen bekend is over de asymptotische relatieve doeltreffendheid van een aantal verdelingsvrije toetsen ten opzichte van de corresponderende standaardtoetsen.
De conclusie van de schrijver is, dat men bij het gebruik van verdelingsvrije methoden met een hoge doeltreffendheid (bijv. de symmetrietoets en de twee-steek-proeven-toets van Wilcoxon, de toets van Kruskal voor k steekproeven en de methode van m rangschikkingen) slechts zeer weinig informatie kan verliezen en dat zelfs het gebruik van minder doeltreffende verdelingsvrije methoden gerechtvaardigd kan zijn.     

The estimation of the two-dimensional distribution of a statistical set, based on the marginal distributions of its strata

In dit artikel wordt een methode ontwikkeld, met behulp waarvan men de simul-tane verdelingsfunctie F(x,y) van twee stochastische variabelen x en y kan aan-passen, voor het geval dat de steekproeven van x en y onafhankelijk van elkaar ge-nomen zijn.
De methode is gebaseerd op de veronderstelling dat de gehelepopulatie, waarop x en y betrekking hebben, bestaat uit een groot aantal subpopulaties; voor deze subpopulaties moet gelden dat de stochastische variabelen x en y dezelfde voor-waardelijke verdelingsdichtheid f( x/y ) hebben, terwijl alle voorwaardelijke ver-delingsdichtheden f( y / x ) verschillend moeten zijn. Daarnaast wordt aangegeven hoe men uit dezelfde gegevens de correlatiecoëfficient van x en y kan schatten. Als analogon van deze "enkelvoudige" correlatiecoefficient wordt de z.g. collec-tieve correlatiecoëfficient van twee stochastische vectoren gedefinieerd, terwijl tenslotte wordt gedemonstreerd hoe het een en ander kan worden toegepast bij de voorspelling van het toekomstige verloop van tijdreeksen.     

The Pólya distribution

De Pólya verdeling is een zeer algemene verdeling voor een discrete variabele afhankelijk van 3 parameters. In dit artikel worden de verschillende wijzen waarop de Pdlya verdeling kan ontstaan en de verschillende vormen waarop zij kan worden beschreven samengevat.
Voorts worden de momenten bepaald en enige belangrijke eigenschappen in verband met de steekproeftheorie besproken. Tenslotte wordt aangetoond dat bekende discrete verdelingen zoals de binomiale, of de Poisson verdeling, en continue verdelingen als de exponentiële en de gamma verdeling kunnen worden opgevat als speciale gevallen van de Pdlya verdeling of uit deze door een limiet-overgang kunnen worden afgeleid. De samenhang met deze undere verdelingen is overzichtelijk samengevat in de Tabellen 1 en 2.
Vaak hebben auteurs de Pdlya verdeling onafhankelijk van elkaar afgeleid in verschillende vorm zonder dat zij hebben onderkend met een reeds bekende verdeling te maken te hebben. Hopelijk zal dit artikel ertoe bijdragen om aan een zekere verwarring een eind te maken.     

The best quadratic estimator of the residual variance in regression analysis

De beste kwadratische schattingsfunctie van de storingsvariantie in regressie-analyse.
Dit artikel handelt over de schatting van de variantie σ² van de storingen in de regressieanalyse onder klassieke veronderstellingen: niet-stochastische waarden aangenomen door de verklarende variabelen en normaliteit, onafhankelijkheid en homoskedasticiteit van de storingen. Bekend is dat de schatting volgens maximale aannemelijkheid neerkomt op net bepalen van de kwadratensom van de volgens kleinste-kwadraten geschatte storingen en deling door T (het aantal waarne-mingen); voorts, dat de schatting die minimale variantie heeft binnen de klasse van schattingsfuncties die zuiver zijn en kwadratisch in de afhankelijke variabele (de beste zuivere kwadratische schattingsfunctie) gevonden wordt door genoemde kwadratensom te delen door T–A, waarbij λ het aantal te schatten coëfficiënten is [d.w.z. het aantal verklarende variabelen (+ 1 indien een constante term aanwezig is)]. Hier wordt aangetoond, dat de schattingsfunctie van σ² die een minimaal tweede moment heeft binnen de klasse van schattingsfuncties die kwadratisch zijn in de afhankelijke variabele (de beste kwadratische schattingsfunctie) gevonden wordt door de kwadratensom van de volgens kleinste kwadraten geschatte storingen te delen door T–Λ+ 2.     

The occurrence of "twin" storms from the North West on the Dutch coast

Het optreden van "tweelingstormen" aan de Nederlandse kust.
Enige dagen voor Kerstmis 1954 volgden twee vrij zware stormen dicht op elkaar (21 en 23 December). Dit deed de vraag rijzen of wellicht zulke "tweelingstormen" vaker voorkomen dan te rijmen volt met een aselecte verdeling van stormen over de dagen van een jaar. Bij een dergelijk onderzoek — hier gebaseerd op windsnelheden gemeten in den Helder van 1904—1944 en van 1945—1953—dient rekening gehouden te worden met seizoeneffecten. De "jaarlijkse gang" der stormfrequentie werd onderzocht en een sinus-vormige kromme werd aangepast (fig. 3). De waargenomen en de theoretisch verwachte frequentie — de laatste onder de hypothese van aselectheid — van de tijdsintervallen tussen op elkaar volgende stormen werden berekend en uitgezet in fig. 2. Een toets, gebaseerd op combinatie van 2 × 2-tabellen, werd toegepast om deze hypothese te toetsen.
Daarbij bleek, dat tweeling-stormen inderdaad vaker voorkomen dan op grond van aselecte verdeling der stormen te verwachten is en wel ongeveer twee a drie maal zo vaak. De kans op een storm is twee en drie dagen na een storm groter dan anders. Dit feit kan van belang zijn voor de keuze van de hoogte van zee-dijken. Een meteorologische verklaring van dit verschijnsel wordt te dezer plaatse niet gegeven.     

Lineaire regressie-analyse, ook bij gegevens in strijd met het model

Samenvatting Robuuste lineaire regressie-analyse volgens A ndrews (1973) wordt behandeld. Deze methode is bestand tegen enige fouten in zowel de verklarende variabele(n) als in de te verklaren variabele. Zij levert
i. een opsplitsing van de waarnemingen in begrijpelijke en onbegrijpelijke bij het gekozen model, en ii. parameterschattingen met nauwelijks verlies aan doeltreffendheid bij Gauss-residuen ** en met grote winst aan doeltreffendheid bij residuen met langere staart. zulks vergeleken met de bekende kleinste kwadraten procedure, die optimaal is bij Gauss-residuen.
Aan de hand van getallen-voorbeelden wordt een en ander toegelicht.     

Another note on the delay problem in crossing a traffic stream.

In dit artikel wordt hetzelfde vraagstuk behandeld als in dat van prof. dr. ir. J. W. COHEN in Statistica 17–1; het is gebaseerd op dezelfde algemene onder-stellingen. Maar in plaats van uit te gaan van openingen ("gaps") en verkeers-stromen zonder onderbreking ("clusters") richt het zich rechtstreeks op openingen van zodanige lengte dat dwarsverkeer mogelijk is ("Passes") en ketens van één of meer voertuigen, eventueel gescheiden door kortere onderbrekingen, die geen dwarsverkeer toelaten ("Stops"). De tijd h in het artikel van COHEN is als een-heid van tijd genomen.
Men komt dan gemakkelijk tot de algemeen geldende for mule voor de gemid-delde wachttijd, een soortgelijke formule als gebruikelijk voor de gemiddelde wachttijd van een spoedorder in de fabrieksplanning wanneer geen onderbreking van onderhanden werk is toegelaten.
Deze formule geeft duidelijke aanwijzingen voor een organisatie van het verkeer, die de gemiddelde wachttijd tot een minimum maakt. Vervolgens wordt de samenhangonderzocht tussen de twee verschillende methoden van berekening en aan-getoond, dat men de door COHEN gegeven resultaten in de voor de practijk belang-rijke gevallen ook met een eenvoudiger en meer elementaire rekenwijze bereiken kan. Voor geval 1 en 3 van COHEN'S artikel is deze berekening nader uitgewerkt.     

The effect of rounding off in samples

Dit artikel bevat een elementaire behandeling van afrondingseffecten in steekproeven.
Zoals men verwacht, neemt de variantie van het steekproefgermddelde door af ronding der waarnemingen toe met een factor 1 + b ²/12σ _x ², waarbij b het afrondings- interval en σ _x ² de stamvariantie is, in analogie met de bekende correcties van Sheppard. Verder wordt het effect van afronding op de variantie van de steek-proefvariantie onderzocht. Er wordt op gewezen, dat de afrondingsfout ε in één steekproef gecorreleerd is met de afwijking van de nauwkeurige — d.w.z. niet afgeronde — stochastische variabele x van zijn gemiddelde μ, hoewel deze correlatie gemiddeld nul is. Het gevolg is, dat de variantie van de steekproefvariantie toeneemt. Bij "gewone" waarschijnlijkheidsverdelingen, die continue naar nul gaan bij x →, is deze toename gelijk aan
1/ n (1/3 b ²σ _x ²+ 1/180 b ⁴)
waarbij n de grootte van de steekproef is. Bij normale verdelingen is het effect ongeveer twee maal zo groot als de toename volgens de Sheppard's correctie van de afgeronde variantie.     

Simultaneous minimization of the error probabilities in a statistical test: An economic example

Summary Bij het toetsen van hypothesen bestaat een verband tussen de kans op een fout van de eerste soort P(I), de kans op een fout van de tweede soort P(II) en de steekproef-omvang n. Bij een vaste n kan een optimale combinatie van P(I) en P(II) bepaald worden met behulp van een zgn. verliesfunctie. De specificatie van zulk een verliesfunctie is echter in veel gevallen moei-lijk. Vaak kiest men dan maar een P(I) op intultieve gronden. Dit artikel illustreert aan de hand van een eenvoudig economisch model dat zulk een P (I) vrij ver van het optimum kan afwijken. Specificatie van een verliesfunctie is hierbij niet nodig. Een bepaalde economische doelstelling i.e. winst-maximering blijkt hiervoor in de plaats te treden.