The Efficiency of Some Distribution-Free Tests

Laten T₁ en T₂ twee toetsen zijn voor dezelfde hypothese θ=θ₀betreffende de waarde van een parameter θ, Zij verder de onbetrouwbaarheidsdrempel van beide toetsen gelijk aan α en het onderscheidingsvermogen tegen de alternatieve hypothese θ=θ₁ geliik aan 1-β. Indien toets T₁ nu n₁ waarnemingen vergt en toets T₂n₂ waarnemingen, dan wordt de relatieve doeltreffendheid (Eng.: efficiency) van toets T₁ ten opzichte van toets T₂ (als toetsen voor θ=θ₀ tegen θ=θ₁ gegeven door: e = n₂/n₁. Indien men de waarde van θ₁ op een bepaalde wijze naar θ₀ laat convergeren bij toenemende n₁, is het in vele gevallen, door gebruik te maken van een stelling van α en β Deze limiet-waarde wordt de asymptotische relatieve doeltreffendheid (volgens Pitman) genoemd. In dit artikel wordt een overzicht gegeven van hetgeen bekend is over de asymptotische relatieve doeltreffendheid van een aantal verdelingsvrije toetsen ten opzichte van de corresponderende standaardtoetsen.
De conclusie van de schrijver is, dat men bij het gebruik van verdelingsvrije methoden met een hoge doeltreffendheid (bijv. de symmetrietoets en de twee-steek-proeven-toets van Wilcoxon, de toets van Kruskal voor k steekproeven en de methode van m rangschikkingen) slechts zeer weinig informatie kan verliezen en dat zelfs het gebruik van minder doeltreffende verdelingsvrije methoden gerechtvaardigd kan zijn.     

Another note on the delay problem in crossing a traffic stream.

In dit artikel wordt hetzelfde vraagstuk behandeld als in dat van prof. dr. ir. J. W. COHEN in Statistica 17–1; het is gebaseerd op dezelfde algemene onder-stellingen. Maar in plaats van uit te gaan van openingen ("gaps") en verkeers-stromen zonder onderbreking ("clusters") richt het zich rechtstreeks op openingen van zodanige lengte dat dwarsverkeer mogelijk is ("Passes") en ketens van één of meer voertuigen, eventueel gescheiden door kortere onderbrekingen, die geen dwarsverkeer toelaten ("Stops"). De tijd h in het artikel van COHEN is als een-heid van tijd genomen.
Men komt dan gemakkelijk tot de algemeen geldende for mule voor de gemid-delde wachttijd, een soortgelijke formule als gebruikelijk voor de gemiddelde wachttijd van een spoedorder in de fabrieksplanning wanneer geen onderbreking van onderhanden werk is toegelaten.
Deze formule geeft duidelijke aanwijzingen voor een organisatie van het verkeer, die de gemiddelde wachttijd tot een minimum maakt. Vervolgens wordt de samenhangonderzocht tussen de twee verschillende methoden van berekening en aan-getoond, dat men de door COHEN gegeven resultaten in de voor de practijk belang-rijke gevallen ook met een eenvoudiger en meer elementaire rekenwijze bereiken kan. Voor geval 1 en 3 van COHEN'S artikel is deze berekening nader uitgewerkt.     

Planning the maintenance of simple machinery

In het artikel is een methode beschreven voor het berekenen van de optimale tijden, waarop preventief onderhoud van apparatuur, instrumenten en machines dient te geschieden, indien deze apparatuur, enz. zich na dit preventief onderhoud zowel als na een reparatie tengevolge van een storing gedraagt alsof ze nieuw is. Gemakshalve is dit type apparatuur in de titel "simple machinery" genoemd.
In het eerste deel (paragraaf 1 en 2) wordt beschreven hoe deze optimum tijden afgelezen kunnen worden uit een aantal grafieken. Het tweede deel (paragraaf 3 t/m 9) geeft de theorie en enige additionele informatie, die verkregen kan worden door het uitvoeren van enige eenvoudige berekeningen. Deze informatie maakt het mogelijk de kosten van reparaties, preventief onderhoud, enz. en het verlies van produktieve tijd tussen een machine, waarvan het preventief onderhoudsschema optimaal is te vergelijken met dat van een machine met niet optimaal berekend onderhoudsschema.
Doordat de oorspronkelijke theorie, afkomstig van Morse [1], door de wijze van benadering en afleiding, gegeven in dit artikel eenvoudiger toegankelijk ge-worden is, kan nu in de olie-industrie worden nagegaan, welke onderhoudsschema's verbeterd kunnen worden. Hierbij wordt in gedachten gehouden, dat de theorie slechts toepasbaar is op die apparatuur, die voldoet aan bovenstaande "simple machinery" definitie.
De Appendix geeft de wiskundige afieidingen, gebruikt in het artikel.     

The estimation of the two-dimensional distribution of a statistical set, based on the marginal distributions of its strata

In dit artikel wordt een methode ontwikkeld, met behulp waarvan men de simul-tane verdelingsfunctie F(x,y) van twee stochastische variabelen x en y kan aan-passen, voor het geval dat de steekproeven van x en y onafhankelijk van elkaar ge-nomen zijn.
De methode is gebaseerd op de veronderstelling dat de gehelepopulatie, waarop x en y betrekking hebben, bestaat uit een groot aantal subpopulaties; voor deze subpopulaties moet gelden dat de stochastische variabelen x en y dezelfde voor-waardelijke verdelingsdichtheid f( x/y ) hebben, terwijl alle voorwaardelijke ver-delingsdichtheden f( y / x ) verschillend moeten zijn. Daarnaast wordt aangegeven hoe men uit dezelfde gegevens de correlatiecoëfficient van x en y kan schatten. Als analogon van deze "enkelvoudige" correlatiecoefficient wordt de z.g. collec-tieve correlatiecoëfficient van twee stochastische vectoren gedefinieerd, terwijl tenslotte wordt gedemonstreerd hoe het een en ander kan worden toegepast bij de voorspelling van het toekomstige verloop van tijdreeksen.     

The frequency of industrial accidents

In aansluiting aan een artikel van B. A. Maguire, E. S. Pearsonen A. H. A. Wynn (1951), waarin een theorie wordt ontwikkeld betreffende de verdeling van de tussen twee op elkaar volgende ongevallen verlopende tijdsduur, wordt in het onderstaande een methode gegeven voor het bestuderen van de verdeling der tijdsintervallen tussen twee ongevallen bij variërende personeelsterkte.
Als resultaat van deze aanvulling is het nu mogelijk om voor verschillende bedrijven — c.q. voor eenzelfde bedrijf in verschillende perioden — de hypothese omtrent gelijke — c.q. gelijkblijvende — afhankelijkheid tussen tijdsintervallen en personeelsterkte te toetsen.     

A note on the delay problem in crossing a traffic stream

In dit artikel wordt de wachttijd onderzocht van een voetganger die een weg oversteekt met eenrichtingverkeer, voor het geval dat de verkeersstroom bestaat uit openingen ("gaps") en verkeersstromen zonder onderbreking ("clusters"). De tijdsduur van de gaps en ook van de clusters zijn onderling onafhankelijke sto-chastische variabelen. Een voetganger steekt pas over als de tijd die de eerst-volgende passerende auto nodig heeft om het oversteekpunt te bereiken tenminste h tijdseenheden is. De kans dat een voetganger onmiddellijk oversteekt wordt dan berekend. Daarna wordt de Laplace-Stieltjes getransformeerde van de wacht-tijdverdeling berekend en wordt een uitdrukking afgeleid voor de gemiddelde wachttijd. De gemiddelde wachttijd wordt dan onderzocht in het geval dat de clusters een constante duur hebben en er wordt aangetoond dat de gemiddelde wachttijd minimaal is als de verhouding van de gemiddelde "cluster"duur en de gemiddelde "gap"duur constant is.     

Note on unbiased estimation of the squared multiple correlation coefficient

Zoals bekend is het kwadraat van de correlatie-coëfficiënt bij regressie-analyse een onzuivere schatting van zijn tegenhanger in de populatie. Deze onzuiverheid wordt afgeleid tot op de orde 1/T, waarbij T het aantal waarnemingen is. Door een schatting van deze onzuiverheid van het kwadraat van de gewone correlatie-coëfficiënt af te trekken wordt een nieuwe schatting van de correlatie in de populatie verkregen, die zuiver is tot op de orde 1/T, hetgeen van de op de gebruikelgke wijzen gecorrigeerde correlatie-coëfficiënten niet gezegd kan worden.     

Price determination based on quality An Application of Minimax

Samenvatting
Het komt dikwijh voor dat een partij goederen van eigenaar wisselt zonder dat hetzij koper hetzij verkoper de kwaliteit ervan precies kennen. In dergelijke ge-vallen wordt de prijs gewoonlijk vastgesteld op basis van een door arbitrage be-paalde kwaliteit. Het in dit artikel te bespreken contract werd in de Rotterdamse haven afgesloten tussen een koper en een verkoper die geregeldpartijen van elkaar overnamen met het doel te bezuinigen op arbitragekosten en tijd. Zij trachtten dit te bereiken door het onderling eens te worden over de kwaliteit volgens van te voren contractueel vastgelegde "spelregels".
Het resulterende "spel" kan met behulp van de minimax redenering worden opgelost - en vormt als zodanig een der zeer weinige voorbeelden van een praktijk-voorbeeld van speltheorie. De spelregels hidden echter niet tot het gewenste resultaat, en men gaat nu weer met de alouds vertrouwde orthodoxe arbitrage te werk.     

Generalization of Wilcoxon Statistic for the Case of k Samples.

Doel van het volgende artikel is om aan te tonen, hoe verschillende bekende ranginvariante k-steekproeven toetsen kunnen worden voortgebracht volgens één zelfdeprincipe. Dit principe is als volgt. Begin met de statistischegrootheden U_ij en U_0j van WILCOXON te construeren (U_ij uit de i-de enj-desteekproeven; U_0j uit de j-de steekproefen alle andere tezamen; i, j = 1k). Laat vervolgens het symbool T_ij de aanduiding zijn voor de genormaliseerde U_ij en T_0j voor de genormali-seerde U_0j. Beschouw tenslotte de absolute waardeofhetkwadraatvaneenzodanige lineaire functie van de T_ij of de T_0j, dat deze absolute waarde ofditkwadraateen zo groot mogelijke waarde heeft (waarbij deze maximalisering plaats vindt over een geschikte verzameling van coëfficienten-combinaties). Als resultaat verkrijgt men dan de toetsingsgrootheden van TERPSTRA, STEEL, KRUSKAL-WALLIS, en een nieuwe toetsingsgrootheid.     

Confidence intervals associated with a straight line fitted by least squares

Een betrouw baarheidsstrook voor een rechte lijn, bepaald met behulp van kleinste kwadraten.
In de regressie-analyse kan men op vrij eenvoudige wijze een betrouwbaarheidsinterval vinden voor één punt van de regressielijn, behorende bij een willekeurig gegeven waarde van de abscis. Dit onderwerp wordt in de meeste handboeken over statistiek behandeld. In tegenstelling hiermee wordt een andere vraag, die hier nauw rnee samenhangt, meestal niet behandeld. Dit is het bepalen van een betrouwbaarheidsstrook voor de lijn in zijn geheel. In dit artikel worden beide methoden besproken.     

The occurrence of "twin" storms from the North West on the Dutch coast

Het optreden van "tweelingstormen" aan de Nederlandse kust.
Enige dagen voor Kerstmis 1954 volgden twee vrij zware stormen dicht op elkaar (21 en 23 December). Dit deed de vraag rijzen of wellicht zulke "tweelingstormen" vaker voorkomen dan te rijmen volt met een aselecte verdeling van stormen over de dagen van een jaar. Bij een dergelijk onderzoek — hier gebaseerd op windsnelheden gemeten in den Helder van 1904—1944 en van 1945—1953—dient rekening gehouden te worden met seizoeneffecten. De "jaarlijkse gang" der stormfrequentie werd onderzocht en een sinus-vormige kromme werd aangepast (fig. 3). De waargenomen en de theoretisch verwachte frequentie — de laatste onder de hypothese van aselectheid — van de tijdsintervallen tussen op elkaar volgende stormen werden berekend en uitgezet in fig. 2. Een toets, gebaseerd op combinatie van 2 × 2-tabellen, werd toegepast om deze hypothese te toetsen.
Daarbij bleek, dat tweeling-stormen inderdaad vaker voorkomen dan op grond van aselecte verdeling der stormen te verwachten is en wel ongeveer twee a drie maal zo vaak. De kans op een storm is twee en drie dagen na een storm groter dan anders. Dit feit kan van belang zijn voor de keuze van de hoogte van zee-dijken. Een meteorologische verklaring van dit verschijnsel wordt te dezer plaatse niet gegeven.     

The distance method for estimating densities

De afstandsmethode voor het schatten van een dichtheid, bijv. het stamtal per ha in bossen, werd voorgesteld en uitgewerkt door F. E. Essed [1], Men zou deze ook kunnen interpreteren ah een "wachttijdmethode" ter bepaling van de frequentie per tijdseenheid van een (in de tijd) poisson verdeelde gebeurtenis als het binnenkomen van gesprekken op een telefooncentrale. In dit artikel wordt de methode verder ontwikkeld, waarbij een toepassing, nl. het tellen van slakken (van de soort Galba trunculata, gastheer van de leverbot) in greppels -dit als onderdeel van een onderzoek naar de biologie van de leverbot -, nader wordt beschreven (par. 2).
Na definities (par 1.0) (in bosbouwkundige termen) van achtereenvolgens: een bos, een toevallig bos, een (homogeen) poisson-bos een locaalpoisson-bos, worden enige nieuwe schatters gedefinieerd ((1) en (2) in par. 1.1.), en hun eigenschappen voor een homogeen poisson-bos besproken. Voor een locaal poisson-bos wordt een afzonderlijke schatter besproken (par. 1.2). In par. 1.3 wordt een homogeniteits-toets besproken, alsook een dichtheidsschatter, die al naar de omstandigheden een telling van bomen of een afstandsmeting is.
In par. 1 worden de statistische technieken met enkele hulptabellen besproken. Par. 2 beschrijft het ontwikkelen van een veldmethode voor het tellen van slakken bij het leverbotonderzoek. Par. 3 geeft de wiskundige achtergrond voor de methoden beschreven in par. 1.     

Simultaneous minimization of the error probabilities in a statistical test: An economic example

Summary  Bij het toetsen van hypothesen bestaat een verband tussen de kans op een fout van de eerste soort P (I), de kans op een fout van de tweede soort P (II) en de steekproef-omvang n . Bij een vaste n kan een optimale combinatie van P (I) en P (II) bepaald worden met behulp van een zgn. verliesfunctie. De specificatie van zulk een verliesfunctie is echter in veel gevallen moei-lijk. Vaak kiest men dan maar een P (I) op intultieve gronden. Dit artikel illustreert aan de hand van een eenvoudig economisch model dat zulk een P (I) vrij ver van het optimum kan afwijken. Specificatie van een verliesfunctie is hierbij niet nodig. Een bepaalde economische doelstelling i.e. winst-maximering blijkt hiervoor in de plaats te treden.     

Regen, een toepassing van dynamische programering

Veel mensen zal het wel eens overkomen zijn dat ze tijdens een wandeling overvallen werdcn door een regenbui. De eerste reactie in zo'n situatie is in de regel, hard te gaan lopen teneinde zo droog mogelijk thuis te komen. Bij sommigen echter zal ongetwijfeld wel eens de vraag zijn opgekomen hoeveel effect dat harde lopen nu heeft; als je hard loopt ben je weliswaar eerder thuis maar je vangt ook meer regen per tijdseenheid, en stel je voor dat het al gauw ophoudt met regenen. In dit verhaaltje wordt het probleem van de optimale strategie aan de orde gesteld, wat is de optimale snelheid in verschillende omstandigheden. Als criterium gebruiken we de (verwachte) totale hoeveelheid opgevangen regen. Daarbij gaan we er van uit dat de regen recht naar beneden valt en homogeen verdeeld is over de ruimte. In paragraaf 1 wordt aangenomen dat het blijft regenen. In paragraaf 2 wordt rekening gehouden met de mogelijkheid dat het ophoudt met regenen en daarna droog blijft. In paragraaf 3 nemen we aan dat het steeds opnieuw kan gaan regenen.     

"How to obtain the optimum from a linear programming problem, when the calculations have to be carried out in a decentralized way"

Samenvatting Er zijn verscheidene betrouwbare, snelle elektronische rekenmachines met een groot geheugen verkrijgbaar. Ondanks het feit, dat deze machines in staat zijn grote lineaire programmeringsproblemen op te lossen, blijven er een aantal over, die niet in zijn geheel opgelost kunnen worden of die om andere redenen niet in zijn geheel opgelost zullen worden. In zo'n geval wordt het totale probleem vaak gesplitst in deelproblemen. Men doet dit door aan een aantal variabelen waarden toe te kennen, waarvan men hoopt, dat ze ongeveer zo groot zullen zijn als die, die men verkregen zou hebben na oplossing van het totale lineaire programmeringsproblm. Aangezien men in de praktijk vaak genoegen neemt met pseudo-optimale antwoorden, geeft zo'n combinatie van oplossingen van deelproblemen in het algemeen bruikbare resultaten, mits de gegeven schattingen voor de variablen, die maakten dat het totale probleem gesplitst kon worden, niet te ver van de goede waarden zullen afwijken. Aangezien men dit zonder het oplossen van het totale probleem nooit te weten zal komen, blijft het raadzaam te proberen deze schattingen op een dusdanige wijze te verbeteren, dat ze de waarden behorende bij de optimale oplossing benaderen. In 1961 werd hiervoor een werkwijze ontwikkeld bij de Bataafse Internationale Petroleum Maat-schappij N.V. die op 7 maart 1962 intern gerapporteerd werd in een rapport, dat ongeveer gelijkluidt aan de titel van dit artikel. Past men de hierin beschreven werkwijze toe, dan verbetert men iteratief de schattingen en wel op een dusdanige wijze, dat de waarde van de doelfunctie van het totale probleem van stap tot stap beter wordt. Evenals in het rechtstreeks toepassen van lineaire programmering is het theoretisch mogelijk, dat twee na elkaar verkregen combinaties van resultaten, een zelfde waarde van de doelfunctie opleveren. De kans hierop wordt echter in de, in dit artikel beschreven methode, veel kleiner. Hieruit blijkt, dat de resultaten, verkregen na het verrichten van enkele stappen, een beter resultaat geven, dan de eerste schatting. Is men dus gedwongen om welke reden dan ook, het rekenwerk te stoppen, dan heeft men een beter resultaat verkregen dan dat, behorende bij de eerste schatting. Vaak zal het ook niet nuttig zijn verder te gaan met het rekenwerk, aangezien ervaring heeft geleerd, dat de grootste verbeteringen in het begin te verwachten zijn. Theoretisch kan men door het volgen van de methode het optimum bereiken. De methode werd echter niet met dit doel voor ogen antwikkeld en kan in dat geval te langzaam zijn en daardoor te kostbaar werken. Alhoewel de methode het eenvoudigst toe te passen is, indien men de deelproblemen op één plaats ter beschikking heeft, werd ze ontwikkeld teneinde gedecentralizeerd werken toe te laten. In zo'n geval zal er enige informatie van een centraal punt naar de plaatsen. waar de deelproblemen behandeld worden verzonden moeten worden en terug; deze hoeveelheid informatie is echter gering. Summary Nowadays most electronic computers have large memories and are able to carry out calculations very rapidly. Nevertheless, it may be impractical or impossible for some computers to solve very big linear programming problems without some modifications to the problem. Fortunately, the optimal answer is not always needed, but any possible improvement of an estimated answer may be of great value. In this article it is shown, how this can be reached by splitting the integrated problem of a bigger company into several natural. and much smaller, problems, linked by certain variables. Furthermore a method is described for finding an improved answer to that inte grated problem. It is reached by first estimating the linking variables and then improving this estimate in a number of systematic steps. It is developed for cases where the calculation work is carried out on a decentralized basis, but works even easier in cases where all calculation work is carried out on the same place. In the first case there has to be a flow of information between places, where calculations on smaller problems are carried out and the place where the calculations are carried out on the sizes of the linking variables only. Theoretically the optimum may be reached in a finite number of steps, but when calculations have to stop before reaching the overall optimum, an improvement will have been achieved, since each solution obtained is at least as good as, but generally better than the preceeding one. The method is developed in 1961. For non-mathematicians it may be difficult to understand an article written in matrix-notation. Therefore, the proofs and derivations in this article are given without matrix-notation. Consequently the method will be more easily understood by those, who are likely to use it, the more so, since proofs and derivations are given for a limited number of variables and blocks only.     

De oplossing van een kwaliteitsprobleem door het gebruik van proefschema's

Samenvatting  Het artikel geeft een beschrijving van de strategie en de methoden, die worden gebruikt voor het zoeken naar de oorzaak van een kwaliteitsvermindering bij dubbelspiralen voor gloeilampen. Er wordt niet alleen aandacht besteed aan de beschrijving en motivering van de gekozen proefschema's maar ook aan de praktische uitvoering van de experimenten. Het fabricage-proces is nl. dermate gecompliceerd dat niet kon worden volstaan met de instructie de experimenten in aselecte volgorde uit te voeren.
Het gehele onderzoek wordt uitqevoerd aan de hand van een drietal proefschema's. De keuze van het tweede en derde proefschema volgt logisch uit de uitkomsten van de voorafgaande proef. Na vol-tooiing van de derde proef is ondubbelzinnig aangetoond dat de belangrijkste oorzaak van de kwaliteitsvermindering is gevonden.     

The distribution of the brightness of stars. A Poisson-process with "time"-dependent parameter

Bij de optische waarneming van sterren uit een satelliet is het belangrijk voor het richtmechanisme te weten wat de verdeling van de helderheid van de helderste ster en van het verschil in helderheid van de helderste en op een na helderste is op de verzameling van alle mogelijke te kiezen gezichtsveldjes van de kijker.
Het model is een Poisson-proces met "tijds" afhankelijke parameter. Een monotone transformatie voert dit proces over in een tijdsonafhankelijk proces, waarna toepassing van bekende eigenschappen tot de oplossing leidt.
Een dusdanige transformatie lijkt ook voor andere tijdsafhankelijke processen een nuttig middel om een oplossing te verkrijgen.     

Simultaneous minimization of the error probabilities in a statistical test: An economic example

Summary Bij het toetsen van hypothesen bestaat een verband tussen de kans op een fout van de eerste soort P(I), de kans op een fout van de tweede soort P(II) en de steekproef-omvang n. Bij een vaste n kan een optimale combinatie van P(I) en P(II) bepaald worden met behulp van een zgn. verliesfunctie. De specificatie van zulk een verliesfunctie is echter in veel gevallen moei-lijk. Vaak kiest men dan maar een P(I) op intultieve gronden. Dit artikel illustreert aan de hand van een eenvoudig economisch model dat zulk een P (I) vrij ver van het optimum kan afwijken. Specificatie van een verliesfunctie is hierbij niet nodig. Een bepaalde economische doelstelling i.e. winst-maximering blijkt hiervoor in de plaats te treden.     

Lineaire regressie-analyse, ook bij gegevens in strijd met het model

Samenvatting Robuuste lineaire regressie-analyse volgens A ndrews (1973) wordt behandeld. Deze methode is bestand tegen enige fouten in zowel de verklarende variabele(n) als in de te verklaren variabele. Zij levert
i. een opsplitsing van de waarnemingen in begrijpelijke en onbegrijpelijke bij het gekozen model, en ii. parameterschattingen met nauwelijks verlies aan doeltreffendheid bij Gauss-residuen ** en met grote winst aan doeltreffendheid bij residuen met langere staart. zulks vergeleken met de bekende kleinste kwadraten procedure, die optimaal is bij Gauss-residuen.
Aan de hand van getallen-voorbeelden wordt een en ander toegelicht.     

Multimodality in a family of probability densities, with application to a linear mixture of two normal densities.

In dit artikel worden enige eigenschappen samenhangende met het aantal toppen van kansdichtheden afgeleid. Beschouwd wordt de situatie bij een dichtheid h(x, θ) (met θ parametervektor), die voor elke toegestaneparameterwaarde θɛθ tweemaal differentieerbaar is naar x, terwijl zowel h zelf, als zijn eerste en tweede afgeleide naar x, continu zijn in (x, θ). In paragraaf 2 worden enige eigenschappen afgeleid van de verzamelingen θ_k (k > o) van parameterwaarden waar strikt k-toppigheid optreedt (definitie in paragraaf 1) en θ_o van die parameterwaarden, waarbijh(x, θ) voor geen enkele k (> o) aan de eisen voor strikte k-toppigheid voldoet. In paragraaf 3 wordt h(x, θ) gespecialiseerd tot een lineair mengsel van twee kansdichtheden en in paragraaf 4 wordt gedetailleerd het geval van een lineair mengsel van twee normale dichtheden nagegaan.