The Efficiency of Some Distribution-Free Tests

Laten T₁ en T₂ twee toetsen zijn voor dezelfde hypothese θ=θ₀betreffende de waarde van een parameter θ, Zij verder de onbetrouwbaarheidsdrempel van beide toetsen gelijk aan α en het onderscheidingsvermogen tegen de alternatieve hypothese θ=θ₁ geliik aan 1-β. Indien toets T₁ nu n₁ waarnemingen vergt en toets T₂n₂ waarnemingen, dan wordt de relatieve doeltreffendheid (Eng.: efficiency) van toets T₁ ten opzichte van toets T₂ (als toetsen voor θ=θ₀ tegen θ=θ₁ gegeven door: e = n₂/n₁. Indien men de waarde van θ₁ op een bepaalde wijze naar θ₀ laat convergeren bij toenemende n₁, is het in vele gevallen, door gebruik te maken van een stelling van α en β Deze limiet-waarde wordt de asymptotische relatieve doeltreffendheid (volgens Pitman) genoemd. In dit artikel wordt een overzicht gegeven van hetgeen bekend is over de asymptotische relatieve doeltreffendheid van een aantal verdelingsvrije toetsen ten opzichte van de corresponderende standaardtoetsen.
De conclusie van de schrijver is, dat men bij het gebruik van verdelingsvrije methoden met een hoge doeltreffendheid (bijv. de symmetrietoets en de twee-steek-proeven-toets van Wilcoxon, de toets van Kruskal voor k steekproeven en de methode van m rangschikkingen) slechts zeer weinig informatie kan verliezen en dat zelfs het gebruik van minder doeltreffende verdelingsvrije methoden gerechtvaardigd kan zijn.     

The effect of rounding off in samples

Dit artikel bevat een elementaire behandeling van afrondingseffecten in steekproeven.
Zoals men verwacht, neemt de variantie van het steekproefgermddelde door af ronding der waarnemingen toe met een factor 1 + b ²/12σ _x ², waarbij b het afrondings- interval en σ _x ² de stamvariantie is, in analogie met de bekende correcties van Sheppard. Verder wordt het effect van afronding op de variantie van de steek-proefvariantie onderzocht. Er wordt op gewezen, dat de afrondingsfout ε in één steekproef gecorreleerd is met de afwijking van de nauwkeurige — d.w.z. niet afgeronde — stochastische variabele x van zijn gemiddelde μ, hoewel deze correlatie gemiddeld nul is. Het gevolg is, dat de variantie van de steekproefvariantie toeneemt. Bij "gewone" waarschijnlijkheidsverdelingen, die continue naar nul gaan bij x →, is deze toename gelijk aan
1/ n (1/3 b ²σ _x ²+ 1/180 b ⁴)
waarbij n de grootte van de steekproef is. Bij normale verdelingen is het effect ongeveer twee maal zo groot als de toename volgens de Sheppard's correctie van de afgeronde variantie.     

Multimodality in a family of probability densities, with application to a linear mixture of two normal densities.

In dit artikel worden enige eigenschappen samenhangende met het aantal toppen van kansdichtheden afgeleid. Beschouwd wordt de situatie bij een dichtheid h(x, θ) (met θ parametervektor), die voor elke toegestaneparameterwaarde θɛθ tweemaal differentieerbaar is naar x, terwijl zowel h zelf, als zijn eerste en tweede afgeleide naar x, continu zijn in (x, θ). In paragraaf 2 worden enige eigenschappen afgeleid van de verzamelingen θ_k (k > o) van parameterwaarden waar strikt k-toppigheid optreedt (definitie in paragraaf 1) en θ_o van die parameterwaarden, waarbijh(x, θ) voor geen enkele k (> o) aan de eisen voor strikte k-toppigheid voldoet. In paragraaf 3 wordt h(x, θ) gespecialiseerd tot een lineair mengsel van twee kansdichtheden en in paragraaf 4 wordt gedetailleerd het geval van een lineair mengsel van twee normale dichtheden nagegaan.     

The best quadratic estimator of the residual variance in regression analysis

De beste kwadratische schattingsfunctie van de storingsvariantie in regressie-analyse.
Dit artikel handelt over de schatting van de variantie σ² van de storingen in de regressieanalyse onder klassieke veronderstellingen: niet-stochastische waarden aangenomen door de verklarende variabelen en normaliteit, onafhankelijkheid en homoskedasticiteit van de storingen. Bekend is dat de schatting volgens maximale aannemelijkheid neerkomt op net bepalen van de kwadratensom van de volgens kleinste-kwadraten geschatte storingen en deling door T (het aantal waarne-mingen); voorts, dat de schatting die minimale variantie heeft binnen de klasse van schattingsfuncties die zuiver zijn en kwadratisch in de afhankelijke variabele (de beste zuivere kwadratische schattingsfunctie) gevonden wordt door genoemde kwadratensom te delen door T–A, waarbij λ het aantal te schatten coëfficiënten is [d.w.z. het aantal verklarende variabelen (+ 1 indien een constante term aanwezig is)]. Hier wordt aangetoond, dat de schattingsfunctie van σ² die een minimaal tweede moment heeft binnen de klasse van schattingsfuncties die kwadratisch zijn in de afhankelijke variabele (de beste kwadratische schattingsfunctie) gevonden wordt door de kwadratensom van de volgens kleinste kwadraten geschatte storingen te delen door T–Λ+ 2.     

A different solution of a problem posed by Theil and Schweitzer

De vraag naar de nauwkeurigste (d.i. kleinste tweede moment) schatter van de restvariantie a² bij lineaire regressieanalyse met isomore onafhankelijke normaal verdeelde residuen wordt opnieuw beantwoord, maar longs vrijwel geheel andere weg dan door THEIL en SCHWEITZER [3] bewandeld. Het blijkt bovendien dat deling van de residuele som van kwadraten door het bijbehorende aantal vrijheids-graden + 2 niet alleen in de klasse der kwadratische funk ties der waarnemingen maar zelfs in de klasse van alle veelvouden van zuivere schattingen van σ² de nauwkeurigste is. Gebruik wordt gemaakt van de in een appendix bewezen stelling, dat de traditionele schatter van σ², waarbij de residuele som van kwadraten door het bijbehorend aantal vrijheidsgraden wordt gedeeld, de nauwkeurigste is onder alle zuivere schatters.     

Generalization of Wilcoxon Statistic for the Case of k Samples.

Doel van het volgende artikel is om aan te tonen, hoe verschillende bekende ranginvariante k-steekproeven toetsen kunnen worden voortgebracht volgens één zelfdeprincipe. Dit principe is als volgt. Begin met de statistischegrootheden U_ij en U_0j van WILCOXON te construeren (U_ij uit de i-de enj-desteekproeven; U_0j uit de j-de steekproefen alle andere tezamen; i, j = 1k). Laat vervolgens het symbool T_ij de aanduiding zijn voor de genormaliseerde U_ij en T_0j voor de genormali-seerde U_0j. Beschouw tenslotte de absolute waardeofhetkwadraatvaneenzodanige lineaire functie van de T_ij of de T_0j, dat deze absolute waarde ofditkwadraateen zo groot mogelijke waarde heeft (waarbij deze maximalisering plaats vindt over een geschikte verzameling van coëfficienten-combinaties). Als resultaat verkrijgt men dan de toetsingsgrootheden van TERPSTRA, STEEL, KRUSKAL-WALLIS, en een nieuwe toetsingsgrootheid.     

The estimation of the two-dimensional distribution of a statistical set, based on the marginal distributions of its strata

In dit artikel wordt een methode ontwikkeld, met behulp waarvan men de simul-tane verdelingsfunctie F(x,y) van twee stochastische variabelen x en y kan aan-passen, voor het geval dat de steekproeven van x en y onafhankelijk van elkaar ge-nomen zijn.
De methode is gebaseerd op de veronderstelling dat de gehelepopulatie, waarop x en y betrekking hebben, bestaat uit een groot aantal subpopulaties; voor deze subpopulaties moet gelden dat de stochastische variabelen x en y dezelfde voor-waardelijke verdelingsdichtheid f( x/y ) hebben, terwijl alle voorwaardelijke ver-delingsdichtheden f( y / x ) verschillend moeten zijn. Daarnaast wordt aangegeven hoe men uit dezelfde gegevens de correlatiecoëfficient van x en y kan schatten. Als analogon van deze "enkelvoudige" correlatiecoefficient wordt de z.g. collec-tieve correlatiecoëfficient van twee stochastische vectoren gedefinieerd, terwijl tenslotte wordt gedemonstreerd hoe het een en ander kan worden toegepast bij de voorspelling van het toekomstige verloop van tijdreeksen.     

The correlation theory for stationary stochastic processes applied to exponential smoothing

Er wordt aangetoond dat tijdreeksen x (t), die stationaire eerste incrementen y (t) met een zeer speciale correlatiefunctie (φ_yy() hebben, d.m.v. exponential smoothing optimaal in de zin van Wiener geëxtrapoleerd worden.
De smoothing parameter a. is gemakkelijk met behulp van (φ_yy() te berekenen. Het blijkt bovendien dat deze parameter soms ook groter dan één kan zijn. Een aantal generalisatus worden gediscussieerd en voor een daarvan wordt de extra-polatie formule berekend.     

Gemiddelde en kwadraatsom opnieuw bekeken

In 1952 merkte V an Y zeren [1] in dit tijdschrift op dat in de meeste elementaire leer-boeken de onafhankelijkheid van en s ², berekend uit een aselecte steekproef uit de normale verdeling, niet wordt bewezen.
In net bulletin van de VVS 1975, nr. 8 wijdt ook D e K roon [2] hieraan aandacht.
Om de in laatstgenoemd artikel ontwikkelde gedachtengang nog eens onder de aandacht te brengen met name ook van statistische assistenten en analisten en hun docenten, wordt in deze mededeling de hierna te formuleren stelling tot in details elementair bewezen.     

On the existence of bivariate moments of lower order given the existence of moments of higher order

Dit artikel geeft een voorbeeld van een twee-dimensionale waarschijnlijkheidsdcht-heid met de eigenschap, dat het bestaan van momenten van de vorm E(g^ky^l ) niet het bestaan garandeert van alle momenten van lagere orde, E(g^myⁿ ) met 0myⁿ ) met 0 < m < k en 0 < n < l is, dat de drie momenten E(x^k), E(y^l ) en E(x^ky^l ) bestaan, alsmede een iets algemener resultaat.     

Regen, een toepassing van dynamische programering

Veel mensen zal het wel eens overkomen zijn dat ze tijdens een wandeling overvallen werdcn door een regenbui. De eerste reactie in zo'n situatie is in de regel, hard te gaan lopen teneinde zo droog mogelijk thuis te komen. Bij sommigen echter zal ongetwijfeld wel eens de vraag zijn opgekomen hoeveel effect dat harde lopen nu heeft; als je hard loopt ben je weliswaar eerder thuis maar je vangt ook meer regen per tijdseenheid, en stel je voor dat het al gauw ophoudt met regenen. In dit verhaaltje wordt het probleem van de optimale strategie aan de orde gesteld, wat is de optimale snelheid in verschillende omstandigheden. Als criterium gebruiken we de (verwachte) totale hoeveelheid opgevangen regen. Daarbij gaan we er van uit dat de regen recht naar beneden valt en homogeen verdeeld is over de ruimte. In paragraaf 1 wordt aangenomen dat het blijft regenen. In paragraaf 2 wordt rekening gehouden met de mogelijkheid dat het ophoudt met regenen en daarna droog blijft. In paragraaf 3 nemen we aan dat het steeds opnieuw kan gaan regenen.     

The occurrence of "twin" storms from the North West on the Dutch coast

Het optreden van "tweelingstormen" aan de Nederlandse kust.
Enige dagen voor Kerstmis 1954 volgden twee vrij zware stormen dicht op elkaar (21 en 23 December). Dit deed de vraag rijzen of wellicht zulke "tweelingstormen" vaker voorkomen dan te rijmen volt met een aselecte verdeling van stormen over de dagen van een jaar. Bij een dergelijk onderzoek — hier gebaseerd op windsnelheden gemeten in den Helder van 1904—1944 en van 1945—1953—dient rekening gehouden te worden met seizoeneffecten. De "jaarlijkse gang" der stormfrequentie werd onderzocht en een sinus-vormige kromme werd aangepast (fig. 3). De waargenomen en de theoretisch verwachte frequentie — de laatste onder de hypothese van aselectheid — van de tijdsintervallen tussen op elkaar volgende stormen werden berekend en uitgezet in fig. 2. Een toets, gebaseerd op combinatie van 2 × 2-tabellen, werd toegepast om deze hypothese te toetsen.
Daarbij bleek, dat tweeling-stormen inderdaad vaker voorkomen dan op grond van aselecte verdeling der stormen te verwachten is en wel ongeveer twee a drie maal zo vaak. De kans op een storm is twee en drie dagen na een storm groter dan anders. Dit feit kan van belang zijn voor de keuze van de hoogte van zee-dijken. Een meteorologische verklaring van dit verschijnsel wordt te dezer plaatse niet gegeven.     

On X2- tests for contingency tables of negative multinomial types

Om te toets of die twee kenmerke waarvolgens die frekwensies in 'n gebeurlikseidstabel opgestel is onafhanklik is, word gewoonlik 'n X² toets gebruik. In die opstelling van so 'n toets word die totale frekwensie as vas beskou. In hierdie artikel word aangetoon hoe 'n X²-toets nog gebruik kan word wanneer die steekproefneming voortgesit word totdat 'n vooraf vasgestelde frekwensie in een selbereik word. Die totale frekwensie is dan 'n stogastiese veranderlike. Die eienskappe van die randverdelings van 'n negatiewe multinomiaalverdeling word gebruik om die parameters wat in die X²-verdeling optree te skat.     

Merkkeuze bij consumenten

Bij iedere aankoop van een produkt waarvan meer dan één merk wordt aangeboden, moet de consument een keuze doen uit de beschikbare merken. Welk merk wordt gekozen is afhankelijk van: eerder gekochte merken, de winkel waarin wordt gekocht en marketing variabelen zoals prijs en reclame. De invloed van eerder gekochte merken kan worden weergegeven door merkkeuzemodellen, waarvan er in het artikel enkele worden besproken. Deze modellen worden vervolgens toegepast op empirische gegevens. Hierdoor wordt inzicht verkregen in de aard van het merkkeuzeproces. Voor dezelfde empirische gegevens wordt ook de invloed op de merkkeuze onderzocht van winkelkeuze en marketing variabelen.     

A note on the delay problem in crossing a traffic stream

In dit artikel wordt de wachttijd onderzocht van een voetganger die een weg oversteekt met eenrichtingverkeer, voor het geval dat de verkeersstroom bestaat uit openingen ("gaps") en verkeersstromen zonder onderbreking ("clusters"). De tijdsduur van de gaps en ook van de clusters zijn onderling onafhankelijke sto-chastische variabelen. Een voetganger steekt pas over als de tijd die de eerst-volgende passerende auto nodig heeft om het oversteekpunt te bereiken tenminste h tijdseenheden is. De kans dat een voetganger onmiddellijk oversteekt wordt dan berekend. Daarna wordt de Laplace-Stieltjes getransformeerde van de wacht-tijdverdeling berekend en wordt een uitdrukking afgeleid voor de gemiddelde wachttijd. De gemiddelde wachttijd wordt dan onderzocht in het geval dat de clusters een constante duur hebben en er wordt aangetoond dat de gemiddelde wachttijd minimaal is als de verhouding van de gemiddelde "cluster"duur en de gemiddelde "gap"duur constant is.     

Some computational aspects of a trimloss problem

In dit artikel wordt het probleem van de afvalbeperking behandeld, dat bij het snijden van papier en andere materialen optreedt. Het blijkt, dat in het geval dat de schrijvers bestudeerden, de lineaire programmerings-matrix sterk kon worden vereenvoudigd door toepassing van een gemakkelijk hanteerbaar criterium.
Voorts wordt ingegaan op het vinden van de begin-oplossing en het verdere verloop van het iteratieproces     

Another note on the delay problem in crossing a traffic stream.

In dit artikel wordt hetzelfde vraagstuk behandeld als in dat van prof. dr. ir. J. W. COHEN in Statistica 17–1; het is gebaseerd op dezelfde algemene onder-stellingen. Maar in plaats van uit te gaan van openingen ("gaps") en verkeers-stromen zonder onderbreking ("clusters") richt het zich rechtstreeks op openingen van zodanige lengte dat dwarsverkeer mogelijk is ("Passes") en ketens van één of meer voertuigen, eventueel gescheiden door kortere onderbrekingen, die geen dwarsverkeer toelaten ("Stops"). De tijd h in het artikel van COHEN is als een-heid van tijd genomen.
Men komt dan gemakkelijk tot de algemeen geldende for mule voor de gemid-delde wachttijd, een soortgelijke formule als gebruikelijk voor de gemiddelde wachttijd van een spoedorder in de fabrieksplanning wanneer geen onderbreking van onderhanden werk is toegelaten.
Deze formule geeft duidelijke aanwijzingen voor een organisatie van het verkeer, die de gemiddelde wachttijd tot een minimum maakt. Vervolgens wordt de samenhangonderzocht tussen de twee verschillende methoden van berekening en aan-getoond, dat men de door COHEN gegeven resultaten in de voor de practijk belang-rijke gevallen ook met een eenvoudiger en meer elementaire rekenwijze bereiken kan. Voor geval 1 en 3 van COHEN'S artikel is deze berekening nader uitgewerkt.     

The distance method for estimating densities

De afstandsmethode voor het schatten van een dichtheid, bijv. het stamtal per ha in bossen, werd voorgesteld en uitgewerkt door F. E. Essed [1], Men zou deze ook kunnen interpreteren ah een "wachttijdmethode" ter bepaling van de frequentie per tijdseenheid van een (in de tijd) poisson verdeelde gebeurtenis als het binnenkomen van gesprekken op een telefooncentrale. In dit artikel wordt de methode verder ontwikkeld, waarbij een toepassing, nl. het tellen van slakken (van de soort Galba trunculata, gastheer van de leverbot) in greppels -dit als onderdeel van een onderzoek naar de biologie van de leverbot -, nader wordt beschreven (par. 2).
Na definities (par 1.0) (in bosbouwkundige termen) van achtereenvolgens: een bos, een toevallig bos, een (homogeen) poisson-bos een locaalpoisson-bos, worden enige nieuwe schatters gedefinieerd ((1) en (2) in par. 1.1.), en hun eigenschappen voor een homogeen poisson-bos besproken. Voor een locaal poisson-bos wordt een afzonderlijke schatter besproken (par. 1.2). In par. 1.3 wordt een homogeniteits-toets besproken, alsook een dichtheidsschatter, die al naar de omstandigheden een telling van bomen of een afstandsmeting is.
In par. 1 worden de statistische technieken met enkele hulptabellen besproken. Par. 2 beschrijft het ontwikkelen van een veldmethode voor het tellen van slakken bij het leverbotonderzoek. Par. 3 geeft de wiskundige achtergrond voor de methoden beschreven in par. 1.     

De oplossing van een kwaliteitsprobleem door het gebruik van proefschema's

Samenvatting  Het artikel geeft een beschrijving van de strategie en de methoden, die worden gebruikt voor het zoeken naar de oorzaak van een kwaliteitsvermindering bij dubbelspiralen voor gloeilampen. Er wordt niet alleen aandacht besteed aan de beschrijving en motivering van de gekozen proefschema's maar ook aan de praktische uitvoering van de experimenten. Het fabricage-proces is nl. dermate gecompliceerd dat niet kon worden volstaan met de instructie de experimenten in aselecte volgorde uit te voeren.
Het gehele onderzoek wordt uitqevoerd aan de hand van een drietal proefschema's. De keuze van het tweede en derde proefschema volgt logisch uit de uitkomsten van de voorafgaande proef. Na vol-tooiing van de derde proef is ondubbelzinnig aangetoond dat de belangrijkste oorzaak van de kwaliteitsvermindering is gevonden.     

Transforms for finding probabilities and variate values of a distribution function in tables of a related distribution function

Het verband tussen enige bedkende verdelingen.
In dit artikel worden enkele schema's gegeven voor het verband tussen een aantal van de meest bekende verdelingen. Bovendien wordt een aantal andere relaties besproken. He doel van dit artikel is drieledig. Ten eerste kunnen statistische afdelingen, die in het bezit zijn van een uitgebreide tabellenverzamelign de gegeven transformaties gebruiken om bestaande tabellen uit andere tabellen te vervolledigen ten dienste van bepaalde praktische toepassingen. Ten tweede kunnen statistici, die niet in het bezit van volledige tabellenverzamelingen zijn, ontbreakende tabellen vervanden tussen deze verdelingen leiden tot meer inzicht in bepaalde toetsings-methoden. Dit laatste punt wordt niet uitvoerig uitgewerkt.
Par. 1. geeft een inleiding en overzicht; par. 2 vermeldt de gebruikte symbolen en verwijst naar bekende tabellenverzamelingen; par. 3 en 4 geven schematisch de transformaties weer; par. 5 geeft een schematisch overzicht van de relaties; par. 6 geeft een aantal numerieke voorbeelden; in de appendix worden de wiskundige formules van de verdelingen vermeld.
Afleidingen worden niet gegeven.