函数严格单调的一个充要条件

为推广文献[1]的定理B,利用单侧导数和对称导数给出判别一个函数严格单调的充分必要条件：设f（x）在[a,b]上连续,M为[a,b]的可列子集,在（a,b）-M上,f′＋（x）存在,则f（x）在[a,b]上严格单调增加（减少）的充要条件为：x∈（a,b）-M,f′＋（x）≥0（f′＋（x）≤0）;且f′＋（x）在（a,b）的任一子区间内不恒等于零。上述条件中f′＋（x）换成f′-（x）或fs（x）,结论仍成立。     

柯西中值定理的两种新证法

设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导.直接从拉格朗日中值定理出发,证明了至少存在一点ξ∈（a,b）,使得（f(b)-f(a)）g’（ξ）=（g(b)-g(a)）f’（ξ）.此外,从以P=(f(a), f(b)),Q=(g(a),g(b))为端点的两个向量是否平行的判别式（二阶行列式）出发,证明了同样的结论.     

一类二阶非线性时滞微分系统解的有界性

研究如下一类二阶非线性时滞微分系统 {dx/dt=1/α（x（t））[h（y（t））-φ（x（t））] dy;dt=-α（x（t））{h（y（t））f（x（t））＋[g（x（t））-f（x（t））φ（x（t））]-∫-t^0g′x（x（t＋s））1/α（x（t＋s））[h（y（t＋s））-φ（x（t＋s））]ds-e（t）}（E） 解的有界性,得到了（E）的所有解及其导数有界的充分条件,所获结果改进和扩展了参考文献[1-7]中的相应结果。     

具偏差变元的高阶中立型方程周期解的存在性

本文研究一类具偏差变元的高阶中立型方程d^m/dt^m（x（t）-n∑i=1cix（t-τi））=g（t,x（t-τ（t）））＋p（t）周期解存在性问题，其中f,p和τ为R上连续函数，p（t＋2π）=p（t）,τ（t＋2π）=τ（t）,且f0^2πp（s）ds=0;g∈C（R×R,R）满足g（t＋2π,x）=g（t,x）,A↓x∈R,Ci,ri,（i=1,2,……，n）为常数，m和n为正整数，利用Mawhin重合度拓展定理，我们得到了周期解存在性的结果。     

奇异摄动与临界的多调和方程

令整数k≥1,k＊=2N/（N-2k）（N≥2k＋1）。本文用变分方法首先证明了方程（-△）^ku=｜u｜^k＊-2 u＋λf（x）u,x∈Ω当Ω关于0点是一星型区域且f（x）=1/｜x｜^2k时没有非零解;其次证明了若f（x）〉0,f（x）∈Lloc^∞（Ω／{0}）且满足（1）存在β满足max{0,4k-N}≤β〈2k使得0〈lim｜x｜→0｜x｜^β f（x）=c〈∞;（2）存在δ〉μk使得对α.e.x∈Ω有｜x｜^β f（x）≤1/λδ,则P（k,f）在H0^k（Ω）中有一个非零解。     

一类整函数Hilbert空间的生成元

主要讨论由容许比较函数所确定的整函数Hilbert空间E^2（γ）的生成元，当α，β∈C,│α│〈τ=limn→∞nγ/γn-1时，e^αx＋β是E^2（γ）的生成元。     

关于积分中值定理及推广的积分中值定理的改进

本文改进了积分中值定理及推广的积分中值定理.我们得到了如下的结果:如果函数f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积不变号,则存在ξ∈(a,b)使得integra from n=a to b (f(x)g(x)dx)=f(ξ)integral from n=a to b (g(x)dx).特别是,当g(x)≡1时即有integralfrom =a to b (f(x)dx)=f(ξ)(b-a).     

成本函数的理论与应用问题的探讨

传统成本理论常对成本理论常对成本函数给予线性假设，使得以y=aX^2 bX c作为成本函数模型显得缺乏根据。若我们把变动成本z变动的比率与业务量x变动的比率之比，定义为变动成本弹性：c=△z/z/△x/x。当c为常数时，运用微积分方法和最小平方法原理求得c的同时，可求得变动成本函数z=b.x^c，进而可求得成本函数y=a bx^c。(b为待定常数，a为固定成本）。这样，根据利润函数R=Px-bx^c-a可进行保本、保利和最优化分析。     

罗尔定理的推广

在高等数学中,导数有一个重要的应用,即罗尔定理。为讨论方便,叙述如下。罗尔定理：若函数y＝f（x）满足：1）f（x）在闭区间［ab］上连续;2）f（x）在开区间（ab）内可微;3）f（a）＝f（b）则至少存在一点,使。事实上,我们可以特罗尔定理推广到。维欧氏空间,不过其结论相应地改为在某点的微分等于零。为了证明本文的主要结论,我们先引入一个弓间。引理设O是”内的一个有界闭区域,函数／（工l,…,一。）在n上连续,则此函数必在n上存在最大值与最小值。证明：不妨在0内取一点Po,以户。为中心以r为半径作一个闭球（包括球面）…     

多元函数可微条件的一点改进

现在各版本高等数学教材均把偏导数fx(x,y)、fy(x,y)在(x0,y0)连续作为f(x,y)在(x0,y0)可微的充分条件。本文认为,这个条件尚可减弱为:z=f(x,y)的其中一个偏导数在(x0,y0)连续,另一个偏导数在(x0,y0)存在,同样使z=f(x,y)在(x0,y0)处可微。对此结论作了证明,并举例加以说明。     

三段截尾变量小值概率上界的估计

在给定随机变量X∈[-a,M-a],M＞0,a≥0,且EX＝m1,EX2＝m2的条件下,研究了三段线性函数max（0,X,mX-z）的概率分布的上界,其中m＞1,z＞0,M＞max（m1,z/（m-1））。通过简单的变换,将概率问题转化成了均值问题后,应用对偶的理论,构造控制函数,得到了概率分布的上界。是X∈[-a,＋∞],a≥0,且EX＝m1,EX2＝m2,三段线性函数max（0,X,mX-z）的概率分布（左尾）界的推广。具有很强的理论和重要的实际意义。     

关于推广的重积分中值定理的一个注记

本文推广了文1中的主要结果.我们得到如下的结论:一、令D是n维欧氏空间R中闭长方体区域、若n元函数f(P)在D上连续,g(P)在D上可积不变号,则存在D的内点P_0使得:n重积分(?)…integral from (f(p)g(p)dσ)＝f(p_0)(?)…integral from (g(p)dσ)二、令D是二维欧氏空间R~2中的X—Y型有界闭区域,若f(P)在D上连续,g(P)在D上可积不变号则存在D的内点P_0使得:(?)(f(p)g(p)dσ)=f(p_0)(?)(g(p)dσ).     

加权Bergman空间上的Rudin正交性问题

通过构造广义计数函数N（φ）,α（w）,研究了加权Bergman空间A2a（D）上的Rudin正交性问题.证明了（φ）：D→D解析,（φ）（0）=0时,{（φ）k：k=0,1,2,…}构成加权Bergman空间Aα2（D）的正交集当且仅当函数Nφ（φ）α（w）=∑（φ）（z）∞∑n=1（1-｜z｜2）n＋α＋1是本性径向的;当解析函数（φ）为n阶有限Blaschke乘积且（φ）（0）=0时,若存在正整数N使得∑｜ z ｜ 2N/φ（φ）α（w）是本性径向的,则（φ）=czn,其中c为常数.     

中立型微分方程正解的存在性

考虑中立型微分方程[x（t）＋px（t－τ）］＋Q（t）x（t－σ）＋f（t,x（t－r））＝0（*）在∫~∞Q（S）ds＜∞和对f较弱限制的条件下,得到了方程（*）当｜p｜≠1时存在正解的充分条件。改进和推广了文献的［2,3］的结果。     

一类二阶微分方程组的三点边值问题研究

通过先假设f(t,x)及g(t,y)在[-1,1]×R4连续有界,证明方程组边值xn=f(t,y)yn=g(t,x)x(-1)=a,x(1)=b,y(0)=c存在解,然后通过假设条件(H)讨论f(t,x)及g(t,y)的有界,从而讨论方程组边值问     

整函数及其若干性质

有时我们把多项式a_0 a_1x … a_nx~n称为有理整函数.把 a~x(a>0,a≠1),sinx,cosx等称为超越整函数.那么,究竟什么是整函数?它们之间有哪些联系?又有哪些本质上不同的特性呢?本文试图在这些方面加以阐明.某些性质的推导,我们将采取不太严格的证明.一、整函数的概念在实数集上处处收敛的幂级数:a_0 a_1x a_2x~2 … a_nx~n …(1)是多项式概念的自然推广.事实上,当级数(1)从某项开始,后面各项的系数皆为零时,(1)就是一个多项式.在中学数学中,就曾讨论过一种简单的幂级数:1 x x~2 … x~n …它在|x|<1时收敛.在|x|_(?)≥1时不收敛(发散).级数(1)在数轴上处处收敛的充分必要条件是(?)~n|a_n|(1/2)=0 (2)有时使用级数(1)在数轴上处处收敛的充分条件(不是必要条件):(?)a_n 1/a_n=0 (2)’会更为方便些.例如:对于幂级数1 x/1! x~2/2! x~3/3! … x~n/n! …由于(?)[1/(n 1)!/(1/n!)]=0.所以,它是处处收敛的.它的和函数为e~x,即     

关于半局部可分性

将局部可分性推广到半开集理论中,得到半局部可分性。定义1设X为拓扑空间,S．O．（X）表X中半开集的全体。X∈X,U为X的子集,若存在V∈S．O．（X）,使得x∈VU,则称U为x的S─邻域。凡含x的半开集均为x的S─邻域,并称为x的半开邻域。定义2设X为拓扑空间,（X）。若S．O．（X）的每一个成员都是βS中某些成员的并,即对每一U∈S．O．（X）,存在,使得,则称βS为拓扑空间X的S─基。命题1[1]设Y为拓扑空间X的开子空间。则（1）A是Y的半开集,当且仅当存在X中的半开集A＇,使A＝A＇Y。（2）C是Y中的半闭集,当且仅当存在…     

高等数学中数形结合教学模式的探讨

以利用多项式函数近似表示正弦函数为例,探讨了如何在高等数学中应用动画的形式进行数形结合的教学方法,着重介绍了通过利用动画的形式自动生成函数f（x）及其幂级数展开式的前n项和函数Sn（x）的图形并进行比较的方法,使学生能够轻松有趣地理解函数展开为幂级数的意义及其应用。     

边际分析在生产决策中的作用

在企业的经营管理和生产决策中,经常要研究经济函数,例如产品的总成本函数C(q),总收益函数R(q)和总利润函数L(q),其中q是产品的产量。我们知道,函数的平均值(?)(x)=f(x)/x,函数f(x)在x处变化Ax时的平均变化率Af/Ax=f(x+Ax)-f(x)/Ax,     

带有非局部源的退化奇异半线性抛物方程组的爆破

本文研究的是带有齐次Dirichlet边界条件的非局部退化奇异半线性抛物型方程组正解的爆破性质。在适当的假设条件下得出正解的整体存在与有限时刻爆破以及爆破集是整个区间的结论，进而对于特殊情形α=β，f（s）=esp{ps}，g（s）=exp{qs}，得出了爆破解的一致爆破模式。