Sulla nozione di riassunto esaustivo

Si studiano dal punto di vista formale (ponendosi in un quadro astratto molto generale) le relazioni tra la nozione di riassunto esaustivo «in senso classico» e quella di riassunto esaustivo «in senso bayesiano». In particolare si analizzano, per ciascuna di queste nozioni, le condizioni di validità della fattorizzazione di Neyman.

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Résumé On étudie d'un point de vue purement formel (en se plaçant dans un cadre abstrait très général) les relations entre la notion de résumé exhaustif «au sens classique» et celle de résumé exhaustif «au sens bayesien».On analyse notamment, pour chacune de ces deux notions, les conditions de validité de la factorisation de Neyman.

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Pubblichiamo volentieri questo articolo di G. Letta, che per l'impostazione astratta si allontana alquanto dall'ambito degli interessi scientifici di questa Rivista, perché l'argomento trattato è strettamente legato ad un lavoro di D. M. Cifarelli ed E. Regazzini recentemente comparso sul nostro periodico (vedi [3] e la 2^a parte in questo fascicolo).     

Rovina,assicurazione e scambi di attività finanziarie

Viene fornita la soluzione in forma chiusa di un problema di ottimizzazione dinamica stocastica, consistente nella scelta ottimale tra consumo e risparmio e nella composizione ottimale di portafoglio, in presenza di possibilità di rovina assicurabile.Dal punto di vista della teoria assicurativa, il lavoro amplia alcuni modelli recenti sull'assicurazione ottima, poiché segue un approccio del tipo «equilibrio generale» con due tipi di agenti eterogenei anziché parziale.Dal punto di vista della teoria di portafoglio, esso si discosta dai modelli tradizionali perché giustifica l'esistenza di scambi sui mercati finanziari e ne spiega l'entità.In questo senso il lavoro amplia alcuni contributi recenti sui flussi di capitale includendovi la possibilità di rovina e l'esistenza di una assicurazione contro di essa.

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Summary This paper provides an analytical solution for a multiperiod stochastic optimization problem, namely consumption and portfolio choice with partial risk insurance.An opposed to some recent optimal-insurance models a general-equilibrium approach —with two classes of heterogeneous agents—is adopted.Furthermore, the paper departs from traditional portfolio analysis in that it emphasises the dynamics of financial markets and justifies the existence of market trading.In this sense, it widens some recent general-equilibrium results on capital flows by including bankruptcy risk and insurance.

     

Impostazione Bayesiana di un problema di analisi discriminatoria nell'ambito di un modello non parametrico

Seguendo l'impostazione predittiva delineata da J. Aitchison e I. R. Dunsmore (1975) viene proposto un modello non-parametrico di analisi discriminatoria dal punto di vista bayesiano.Si ricorre a tal fine ad una versione modificata dello schema di scambiabilità parziale e si utilizza il processo «mistura di prodotti di processi di Dirichlet» introdotto da D. M. Cifarelli ed. E. Regazzini (1978). Si presenta infine un'applicazione del modello ad un tipico problema di diagnosi medica.

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J. Aitchison and I. R. Dunsmore (1975) have stressed the importance of the predictive distribution for the solution of classical statistical problems. Following this approach we show initially how a modified version of the model of partial exchangeability can be usefully applied to derive the so called diagnostic distribution. Subsequently a nonparametric model of discriminatory analysis is derived, wherein a crucial role is played by a particular process named «mixture of products of Dirichlet processes» introduced by D. M. Cifarelli and E. Regazzini (1978) following a paper by C. E. Antoniak (1974) which in turn generalized the well known Dirichlet process developed by T. S. Ferguson (1973). Finally a numerical application to a medical problem is provided.

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Versione definitiva pervenuta il 24-9-81

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNAFA-CNR. L'argomento di questo lavoro mi è stato suggerito dal professor Eugenio Regazzini. A quest'ultimo ed al prof. Donato Michele Cifarelli sono grato per avermi segnalato alcune oscurità nel testo originario.     

Problemi di minimax di tipo discreto: Un approccio unificato mediante il teorema dell'alternativa di Motzkin

Si dimostrano delle condizioni del primo ordine, alcune necessarie e altre sufficienti per problemi di minimax di tipo discreto, utilizzando prevalentemente il teorema dell'alternativa di Motzkin.

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In this paper discrete minimax problems are considered.Some first order optimality conditions for minimax problems in hypothesis of different kind about the set of constraints are proved.We don't suppose that the set is convex, as treated by V. F. Dem'yanov and V. M. Malozemov.For the proofs it has often been used the alternative Motzkin's theorem.

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Pervenuto il 28-3-82

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Lavoro eseguito nell'ambito del progetto di ricerca «Equilibrio in modelli matematici con aspettative razionali».     

Equivocations for transposition ciphers

In a transposition cipher the message sequence is subdivided into blocks of equal length and each block is shuffled according to a chosen key. To evaluate the performance of a transposition cipher we take a Shannon-theoretic standpoint and compute relevant equivocations. It is wellknown that transposition ciphers are strongly ideal for memoryless stationary sources (key and cryptogram are independent). We consider also message equivocation and key-appearance equivocation and do not assume that the length of the intercepted cryptogram is a multiple of the block-length. The index of coincidence of the source statistics is shown to be a relevant parameter, at least asymptotically.

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Riassunto Il principio della trasposizione è uno dei più antichi in crittografia, ma non è obsoleto: i cifrari a trasposizione vengono adoperati come blocchi costitutivi di alcuni dei più autorevoli cifrari attualmente in uso, come il DES dell'IBM che è stato adottato dal National Bureau of Standards americano. Il messaggio in chiaro che si vuol cifrare viene spezzato in blocchi di ugual lunghezza e ciascun blocco viene «trasposto» (anagrammato) secondo una permutazione fissa e segreta (la chiave del cifrario). In questo lavoro le prestazioni dei cifrari a trasposizione vengono valutate dal punto di vista della teoria di Shannon, calcolando certe «equivocazioni» pertinenti: tali equivocazioni quantificano l'incertezza di una spia che abbia intercettato il crittogramma; dopo l'intercettazione le equivocazioni a priori si trasformano in equivocazioni a posteriori secondo un meccanismo di tipo bayesiano. Se la sorgente dei messaggi è data da un processo stocastico stazionario senza memoria, è ben noto che per quanto concerne la chiave le equivocazioni a priori e a posteriori coincidono: i cifrari a trasposizione sono in questo caso «fortemente ideali».Noi consideriamo anche l'equivocazione sul messaggio e quella sulla «comparsa della chiave» (quest'ultima è significativa nel caso di «attacchi con testo in chiaro»). L'equivocazione sul messaggio si ottiene da quella sulla chiave, che è una costante indipendente dalla lunghezza del crittogramma intercettato, al modo seguente: si somma un contributo periodico che si annulla solo quando tale lunghezza è un multiplo della lunghezza di blocco, e si sottrae una correzione infinitesima (pari all'equivocazione sulla comparsa della chiave) la cui velocità di convergenza è asintoticamente determinata dall' «indice di coincidenza» della distribuzione di probabilità che regola la sorgente dei messaggi.

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Questo lavoro è parte del programma di ricerca del GNIM-CNR. È incluso nel programma dell'International Symposium of Information Theory, Brighton (Inghilterra), giugno 1985.     

«Una condizione necessaria e sufficiente di minimax per il problema dei dadi truccati»

Nell'articolo si fornisce una condizione necessaria e sufficiente di minimax locale per il problema dei dadi truccati». Tale condizione integra una condizione necessaria di minimax proposta dall'Autore in un precedente lavoro. La verifica della condizione non presenta difficoltà in relazione alla regolarità dei vincoli. Una applicazione significativa à esposta relativamente al caso di dimensione 5.

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Summary A necessary and sufficient condition for the minimax loaded dice problem is proposed. An application of this condition for the casen=5 is given.

     

About an interactive model for sexual populations

In this paper the continuous random mating two-sex model with «harmonic mean» fertility function, partially investigated by Schoen (1983), is studied. Its closed form solution in the phase space is obtained in virtue of the homogeneity of the vector field considered. By introducing the notion of survival ability it has been clarified the balancing role played by the «marriage market».

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Riassunto Questo lavoro tratta il modello a «media armonica» per popolazioni sessuate parzialmente studiato da Schoen (1983). Si ricavano e si studiano dettagliatamente le soluzioni corrispondenti a quei valori dei parametri che individuano i casi più rilevanti dal punto di vista demografico. Per completezza, si presentano cornunque i diagrammi di fase in relazione a tutti i possibili valori delle «capacità di sopravvivenza». È stato così possibile definire chiaramente le situazioni che danno luogo, nel lungo periodo, a comportamenti di tipo stabile secondo la definizione di Lotka, facendo, in particolare, luce sul ruolo giocato dal «mercato matrimoniale».

     

L'approccio di B. De Finetti per la riassicurazione individuale proporzionale. Modelli semplificati e considerazioni operative

Viene studiato il problema della determinazione della strategia riassicurativa ottima in caso di riassicurazione individuale proporzionale, secondo l'approccio media-varianza. In particolare si analizzano alcuni modelli semplificati nei quali si raggruppano le polizze di un portafoglio sulla base di certe caratteristiche di omogeneità; ciò consente di ridurre in maniera sensibile la complessità dei calcoli previsti nella procedura generale. Completano il lavoro considerazioni di carattere operativo.

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Summary The optimal reinsurance strategy for the proportional reinsurance problem in a meanvariance framework is investigated. In order to simplify the algorithmic complexity, simple models based on the aggregation of portfolio policies are studied. Some operational remarks are added.

     

Approccio di tipo max-min per la determinazione del prezzo psicologico in caso di incertezza

Si considera un modello, già noto in letteratura, in cui un produttore deve determinare il prezzo unitario di vendita del bene che produce. Scopo di questo lavoro è generalizzare il modello suddetto al caso di incertezza nell'informazione e studiare l'esistenza delle soluzioni del problema che consegue da tale generalizzazione.

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Summary Let us consider a model, known in literature, in which a producer must determine the unitary selling-price of the commodity that he produces. Purpose of this paper is to generalize such a model for case of uncertainty in the information and to study the existence for the problem connected with this generalization.

     

Sull'accumulo di un capitale in condizioni di incertezza

Si considera il problema dell'accumulo di un capitale, mediante versamenti annui in presenza di inflazione. Si assume che l'intensità di inflazione sia un processo stocastico governato da un modello lineare dinamico e si determina la distribuzione di probabilità del valore nominale tran anni di un capitale avente un prefissato valore reale (a prezzi odierni). Quindi si determinano i versamenti ottimi (nel senso della teoria delle decisioni), sia nel caso di decisione in blocco, sia nel caso di decisione sequenziale. Si considera infine il caso in cui anche i fattori di montante siano aleatori.

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The paper considers the problem of the constitution of a capital through annual deposits, when inflation is present.The intensity of inflation is assumed to be a random process driven by a dynamic linear model and then the probability distribution of the nominal value after n years of a capital, whose real value today is fixed, is determinend.Then the optimal deposits are determined, both in the case of block decision, and in the sequential case. The case of random discount factors is considered, as well.

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNAFA-CNR.     

Funzioni di utilità di gruppo ed avversione al rischio multivariata

In questo lavoro si studia l'impatto che l'avversione al rischio multivariata ha in un problema di decisione di gruppo, note le misure di avversione al rischio relative alle funzioni di utilità dei singoli individui. Supponendo che tali funzioni siano aggregate in accordo al principio di Pareto e che ad ogni decisione di gruppo sia associato un profitto che deve essere suddiviso tra gli individui del gruppo stesso, si analizzazo i legami tra l'avversione al rischio degli individui e quella del gruppo, soprattutto nei casi in cui le funzioni di utilità sono additive e multilineari.

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In this paper, a methodology for modeling group decision-making problem is presented and links between group and individual multivariate risk aversion are studied.After a decision, a group will recive a payoff which must be devided among the members of the group itself: properties of the group utility functions and the sharing rule are investigated in connection with individual and collective risk aversion, under different assumptions concerning the form of the group utility function.

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Versione definitiva pervenuta il 27-7-1981

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNAFA-CNR.     

Sulla valutazione di un contratto di interest rate swap

Si affronta il problema della valutazione di un Interest Rate Swap, fornendo condizioni di realizzabilità del contratto e indicazioni sulla scelta del tasso di valutazione nel caso di utilizzo del criterio del valore atteso del r.e.a.. Infine, si introducono e si studiano alcune definizioni di equivalenza finanziaria per flussi di cassa aleatori.

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Summary In this paper we have considered some problems concerning the valuation of an Interest Rate Swap contract. Initially, we give some conditions which guarantee, in a uniperiodal and multiperiodal approach, the realization of the contract. Then, we study the valuation problem in a DCF context, referring in particular to the choice of valuation rate. We also introduce and discuss some definitions of financial equivalence having into account the aleatority of cash flows.

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Ringrazio E. Castagnoli, M. Cigola, P. Manfredi e L. Peccati per i numerosi commenti e suggerimenti ricevuti in fase di elaborazione e stesura di questo lavoro. Naturalmente, la responsabilità per eventuali errori è totalmente da attribuirsi all'autore.     

Optimal replacement with a single unloaded standby

The problem of optimal replacement for two andn components with a single unloaded standby is solved. The solution is determined by the relative costs of failure for each component and is independent of the actual failure time, other than immediate replacement being specified. Conditions for the existence of a single critical number policy are derived and the general policy is described.

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Riassunto Si risolve il problema della sostituzione ottimale perdue en componenti con un singolo pezzo di «unloaded standby». La soluzione è determinata dai costi relativi del guasto per ogni componente ed è indipendente dal tempo specifico in cui il guasto è avvenuto, salvo che sia assunta l'immediata sostituzione. Si derivano condizioni per l'esistenza di una politica basata su un solo numero critico e si studia la politica generale.

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The authors wish to thank an anonymous referee for identifying errors in mathematical expressions, and also Professor Leonardo Sbrocchi.     

A new formula on a particular type of «Gambler's ruin» problem withN players

The «gambler's ruin» problem both in the fair game and in the unfair game with two players is a classical one. Some results are known also for a fair ruin game among more than two players. In this note an unfair ruin game among more than two players is tackled and a new formula is derived.

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Riassunto Il problema della rovina in un gioco (equo o non) tra due giocatori è classico. Alcuni risultati sono noti per un gioco equo di rovina tra più di due giocatori.In questa nota un gioco non equo di rovina tra più di due giocatori è preso in considerazione, ricavando per esso una nuova formula.

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Work performed under the auspices of GNAFA, Italian C.N.R.     

On certainty equivalent

Riassunto Come noto, una funzione continua e strettamente monotona individua una media associativa di una variabile aleatoria (v.a.)X.Nel presente lavoro si confrontano due medie associativeM _f eM _g , indotte da due diverse funzionif eg, allo scopo di individuare, nella classe delle v.a.X limitate, l'estremo superiore della loro differenza in modulo.Sotto alcune ipotesi, in particolare chef sia una trasformazione crescente e concava dig, si forniscono condizioni necessarie e/o sufficienti di estremo superiore della differenza in questione.Da un punto di vista applicativo, qualoraf eg siano interpretabili come funzioni di utilità e quindi le medie associative considerate assumano il significato di certi equivalenti, l'estremo superiore della loro differenza può rappresentare il margine di contrattazione (sul prezzo) che un venditore ed acquirente potenziali hanno a disposizione. Se poig è lineare ef è concava allora la differenza considerata è il premio di rischio.

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Partially supported by M.U.R.S.T. and C.N.R.     

Sulla stima della media e del secondo momento di una popolazione tramite campioni con risposta casualizzata

Il campionamento con risposta casualizzata, introdotto da S. L. Warner per la stima di proporzioni ed in seguito applicato dallo stesso autore e da altri alla stima di quantità, è stato oggetto di un recente studio di D. Olivieri che, proposto un semplice metodo di casualizzazione, perviene ad una stima non distorta della media della popolazione oggetto d'indagine.Nel presente lavoro si sviluppa lo studio di Olivieri fornendo una stima non distorta del secondo momento della popolazione e si propone un'altra stima della media e della varianza della popolazione ottenuta tramite un metodo di casualizzazione di più semplice applicazione.

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The randomized response technique of sampling was proposed for the first time by S. L. Warner for the estimation of proportions and then applied, by Warner himself and other authors, to the estimation of quantities.This technique has been recently the object of an approach by D. Olivieri who suggests an easy randomization method and obtains an unbiased estimate of the population mean.In this paper the approach of D. Olivieri is implemented, reaching an unbiased estimate of the second moment of the population; moreover, an other estimate of the mean and of the variance of the population, obtained by an easier-to apply method of randomization, is proposed.

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Versione definitiva pervenuta il 12-1-81     

An algorithm for resource allocation with constraints in an input-output framework

In a large corporation or at the national level, planning involves a large number of inter-related activities competing for the same resources. In spite of its rather restrictive assumptions, Leontief's Input-Output model is still one of the best tool for the study of physical and financial flows between activities or economic sectors. A simple algorithm to find its solution when the available resources are limited is presented in this paper. The properties of that algorithm that was incorporated in an inter-industrial model built in Venezuela are proven and are followed by examples of application.

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Riassunto In grandi imprese o in sistemi economici nazionali la pianificazione riguarda un numero elevato di attività interrelate che fanno uso delle stesse risorse. Nonostante le ipotesi di base piuttosto restrittive, il modelloinput-output di Leontief è ancora uno degli strumenti più efficaci per lo studio dei flussi fisici e finanziari tra attività o settori economici.In questo lavoro viene presentato un semplice algoritmo per individuare la soluzione d'un problema di pianificazione quando sono limitati gli ammontari delle risorse. Sono dimonstrate alcune proprietà di questo algoritmo, che fu impiegato su un modello di relazioni interindustriali costruito in Venezuela e sono fornite alcune applicazioni esemplificatrici.

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Versione definitiva pervenuta il 14-2-1983     

Un modello di controllo ottimo per i margini finanziari

In questo lavoro viene affrontato un problema di decisioni sui margini finanziari che può essere inquadrato nell'ambito dei problemi di controllo outimo governati da equazioni integrali di Volterra. Dopo una descrizione del problema economico e delle operazioni finanziarie coinvolte, si schematizza il modello nell'ambito del controllo ottimo regolato da equazioni di tipo integrale che ammettono controlli discontinui di tipo bang-bang. Si danno condizioni necessarie per l'esistenza di soluzioni ottime e, infine, si esamina un caso particolare per evidenziare come il metodo considerato consenta di analyzzare e di individuare le strategie adeguate qualora si specifichino le funzioni in questione.

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Summary In this paper a decision problem for financial margins is investigated. The scheme of the model is a particular control problem governed by a Volterra integral equation, where the optimal control is usually discontinuous (bang-bang control).We provide necessary conditions in order to have optimal solutions and we solve the problem in a particular case.

     

Sulla vitalità di un mercato finanziario

Questo lavoro discute un modello di mercato finanziario basato sulla teoria della vitalità associata allo studio delle inclusioni differenziali. Il modello permette di esplicitare l'esistenza di una relazione di dipendenza tra le quantità di un titolo detenute dagli agenti ed il suo prezzo di mercato. Basandosi su questa, è possibile ottenere rigorosamente l'esistenza di un sentiero temporale per il prezzo senza bisogno di introdurre ipotesiad hoc.

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Summary This work discusses a model of a financial market based on viability theory and differential inclusions. The model makes it explicit the existence of a relationship between the quantities of a security held by agents and its market price. Based on this, we show how to establish rigorously the existence of a time path for the price which in the literature is usually assumed without much justification.

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Ringraziamo E. Castagnoli per alcuni utili commenti. Le conversazioni con J.-P. Aubin, F. Moriconi e F. Ortu sull'etimologia e l'interpretazione dei concetti di vitalità ci sono state di grande beneficio.     

Processi stocastici semi-markoviani non-omogenei conservativi

In questo lavoro si introduce il concetto di non-omogeneità nei processi stocastici semi-markoviani conservativi. Si dimostra un teorema di esistenza per la soluzione dell’equazione integrale associata al processo. Si studia infine in un caso particolare il comportamento asintotico di tale soluzione.

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Aim of this paper is to state an existence theorem for the integral equation imbedded with a non-homogenous semi-markov process. If some stochasticity conditions are satisfied, the solution is sole. Finally we study the asymptotic behaviour of this solution in a particular case, that is for a class of birth-and-death linear non-homogenous process.

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Lavoro svolto nell’ambito del GNIM-CNR, Sezione problemi non numerici.