Aspetti dinamici di leggi finanziarie scindibili

Vengono studiate le proprietà delle intensità istantanee di interesse di leggi finanziarie scindibili non necessariamente omogeneef(x, s, t). Esse risultano dipendenti dal montante e dal tempo finale secondo il modello . Ciò porta ad ottenere una naturale corrispondenza fra leggi finanziarie scindibili ed equazioni differenziali ordinarie. Si esaminano in dettaglio i casi particolari di leggi uniformi, leggi omogenee e leggi uniformi-omogenee, individuando la forma delle equazioni differenziali ad esse associate. Si estendono infine i risultati a leggi finanziarie del tipo , che dipendono anche dalla variabile istante decisionale .

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Summary We study the properties of the interest rates of the so-called scindibili financial laws (not necessarily homogeneous)f(x, s, t). They explicity depend on the value off andt only, according to the form . This suggests a natural correspondence between such financial laws and ordinary differential equations.The particular cases of uniform laws, homogeneous laws and uniform-homogeneous laws are examined and the structure of the associated differential equations are obtained.The previous results are extended to the financial laws of type which also depend on a decisional time .

     

Disequilibrium models due to a “learning by doing” process

Sommario Si considerino fluttuazioni e crescita in un modello neo-keynesiano in tre diverse ipotesi macroeconomiche, che danno origine a diversi modelli matematici in tempo discreto, o mappe. In particolare si analizza un modello di crescita bidimensionale, rappresentato da un endomorfismo lineare a tratti. Separando il comportamento dinamico delle pendenze di rette che escono dall'origine, dalla dinamica dei punti su tali rette, si mostra che il comportamento dinamico del modello è governato dalla dinamica di un endomorfismo unidimensionale. Ciò semplifica lo studio dei valori di biforcazione che creano rette invarianti, su cui le traiettorie sono divergenti, e consente di determinare il bacino di attrazione di regioni assorbenti che contengono i cammini di crescita, regolari o caotici.

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Fluctuations and growth in a new-keynesian model are considered in three different macroeconomic assumptions, giving rise to different mathematical models in discrete time, or maps. In particular a two-dimensional growth model represented by a piecewise linear endomorphism is analysed. Separating the dynamics of the slopes of straight lines issuing from the origin, from those of the points on these lines, it is shown that the dynamics of the model are governed by the dynamics of a one-dimensional endomorphism. This simplifies the study of the bifurcation values which create invariant lines on which the trajectories are divergent, and enable us to determine the basin of attraction of the absorbing region which includes regular or chaotic growth paths.

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This paper relates to the activities of the M.U.R.S.T. Group Dinamiche Nonlineari ed Applicazioni alle Scienze Economiche e Sociali.     

Una successione di approssimanti per difetto della probabilita' di rovina

In[1] abbiamo stabilito un confine inferiore della probabilità di rovina ψ (u) cioè, psstoR=1-ψ si è mostrato che (*) $$R(u) \leqslant \frac{{1 - \tfrac{a}{c}}}{{1 - \tfrac{{a\mu }}{c}\int_0^u {(1 - F(x)) d x} }} = R(0)k_1 (u), u \geqslant 0$$ dovele costantia, c e μ e la funzioneF hanno il significato che è precisato nel seguito. Noi mostreremo l'esistenza, nella classeC _b delle funzioni continue e limitate, della soluzione dell'equazione integrale (2), cui soddisfa la funzioneR, prescindendo dalla continuità dell'operatore associato all'equazione, ma facendo ricorso soltanto a condizioni di monotonia e alla scelta diR(0)k ₁ quale funzione da cui fare partire il processo iterativo; processo che, ad ogni stadio, porge un confine superiore diR migliore del precedente, e che converge uniformemente sui limitati di [0,+∞) verso la soluzione di (2).     

Problemi di classificazione e connessione in una classe di grafi planari a facce esagonali

Aldo Ruscitti è mancato a Roma il 20 agosto 1978 a soli 39 anni di età. Era stato assistente ordinario e professore incaricato di Istituzioni di Analisi Matematica nella Facoltà di Scienze Statistiche Demografiche e Attuariali dell’Università di Roma. Sin dalla preparazione della tesi di laurea, i suoi interessi scientifici erano stati rivolti alle applicazioni della matematica in campo economico. Nell’ultimo periodo della sua attività si era impegnato in ricerche sulla struttura di particolari classi di grafi, settore nel quale aveva conseguito risultati a livello internazionale. Con la pubblicazione postuma di questo contributo di A. Ruscitti intendiamo rendere un affettuoso omaggio alla memoria di un caro amico che tra i primi aveva voluto entrare a far parte della famiglia dell’AMASES.

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On the problems of classification and enumeration in a class of 6-valent planar graphs

In this article the author investigates the problems of classification and enumeration of maps with the vertices of degree six and with the faces of cardinality two or three. The graphs in this class are analysed in terms of the maximal number of vertices with degree two they possess on the boundary of their faces. Special emphasis is placed on the problem of the connectivity of these graphs, according with the suggestion of B. Grünbaum and J. Zaks (see [4], p. 112): in particular the author proves that there exist 5-connected graphsG _n in this class with degreen> , for all εN.

     

On the flexible functional forms

This note proposes a general structure of the so-called flexible functional forms able to describe direct utility functions. It is obtained by solving the functional equation:

Global dynamics in models of fluctuating growth Part II: Three dimensional systems

The dynamics of a model of fluctuating growth, where non-constant returns are allowed, is represented, under Goodwin's classical assumptions, by a non-autonomous two-dimensional system, which can be transformed into an autonomous three-dimensional one. We describe the global phase portrait of the latter, in the two cases of increasing and decreasing returns, proving, in particular, the absence of economically meaningful attractors. However the orbits exhibit different features in the two cases: namely they asymptotically converge to a singular point, where the economy dies, if the returns are decreasing, and diverge, spiralling around a certain line, if the returns are increasing.

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Riassunto Un modello non-lineare di crescita alla Goodwin, in cui i rendimenti possono essere non costanti, è rappresentato da un sistema dinamico piano non autonomo, che può essere trasformato in un sistema autonomo tridimensionale. Viene descritto il comportamento globale di quest'ultimo nei due casi di rendimenti crescenti o decrescenti. Si dimostra, in particolare, l'assenza di attrattori economicamente significativi ed il diverso carattere delle orbite: mentre, se i rendimenti sono crescenti, le traiettorie convergono asintoticamente ad un punto singolare dove l'economia muore, nel caso opposto le traiettorie sono illimitate e spiraleggiano intomo ad una retta che ha la direzione dell'assek (la variabile di stato che rappresenta lo stock di capitale).

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This paper relates to the activities of the M.P.I. Group Dinamiche Non-Lineari nelle Scienze Economiche e Sociali.     

Global dynamics in models of fluctuating growth Part I: Two dimensional systems

We consider a modified version of Goodwin's celebrated non-linear model of fluctuating growth, where the incomeY is a quadratic function of the capital stockk, in order to take into account the possibility of increasing or decreasing returns. The dynamics of the model is then defined by a non-autonomous system of two differential equations. Assuming the labour supply,N, and the productivity,a, to be constant in the time, the model becomes autonomous and can be embedded in a stable family of planar dynamical systems whose flows and bifurcations are globally described

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Riassunto Si considera una versione modificata del modello di crescita non-lineare di Goodwin, in cui il reddito,Y, è una funzione quadratica dello stock di capitale,k, così da permettere la possibilità di rendimenti crescenti o decrescenti. La dinamica del modello viene allora rappresentata da un sistema non autonomo di due equazioni differenziali. Con l'ipotesi che l'offerta di lavoro,N, e la produttività,a, siano costanti nel tempo, il modello diventa autonomo e può essere immerso in una famiglia stabile di sistemi dinamici piani, di cui vengono descritti i flussi globali e le biforcazioni.

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This paper relates to the activities of the M.P.I. Group Dinamiche Non-Lineari nelle Scienze Economiche e Sociali.     

Arbitrage and completeness in financial markets with given <Emphasis Type="Italic">N</Emphasis>-dimensional distributions

Abstract In this paper, we focus on the following problem: given a financial market, modelled by a process , and a family of probability measures on , with N a positive integer and the time space, we search for financially meaningful conditions which are equivalent to the existence and uniqueness of an equivalent (local) martingale measure (EMM) Q such that the price process S has under Q the pre-specified finite-dimensional distributions of order N (N-dds) . We call these two equivalent properties, respectively, N -mixed no free lunch and market N -completeness. They are based on a classification of contingent claims with respect to their path-dependence on S and on the related notion of N-mixed strategy. Finally, we apply this approach to the Black-Scholes model with jumps, by showing a uniqueness result for its equivalent martingale measures set. Mathematics Subject Classification (2000): 60G48, 91B28 Journal of Economic Literature Classification: G12, D52     

Dorfman on economic interpretation of optimal control theory: An extension

In the context of a more general model of capital accumulation involving time lags in the response of the state variable (the rate of change of the capital stock) to changes in the values of the decision variables, we establish the main propositions of Optimal Control Theory by means of economic analysis.

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Riassunto Robert Dorfman [3] ha mostrato come ricavare le principali proposizioni della teoria del Controllo Ottimale attraverso l'analisi economica. Il modello d'accumulazione del capitale che lui ha formulato assume che il tasso di cambiamento dello stock di capitale risponderà instantaneamente sia ai valori delle variabili di controllo sia ai valori della variabile di stato.Noi ci proponiamo, qui di estendere il modello formulato da Dorfman con l'inclusione dilags temporali nella risposta dello tasso di cambiamento delle variabili di controllo. Stabiliamo anche quello che abbiamo denominato «the Extended Maximum Principle» usando sostanzialmente le idee di base della teoria del capitale. Infine noi mostriamo che le condizioni necessarie per l'esistenza di una soluzione ottima del nostro problema coincidono con quelle ricavate dall'analisi economica.

     

Proprietà degli operatori monotoni per problemi di ottimizzazione vettoriale

In questa nota si assegnano condizioni per la monotonia della funzione di ottimo e si dimostrano alcune relazioni fra problemi reciproci, sia nel caso in cui si considera un problema di ottimizzazione scalare vincolata, che in quello in cui si introduce una funzione obiettivo vettoriale, in presenza di uno o piu vincoli. Si formulano infine alcune applicazioni economiche.

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First of all we consider a scalar problem withk inequality constraints max {f(x):g _i (x)b _i ,i=1, ...,k, xD} and analyze the conditions under which the optimal solution is not strictly dominated with respect to the constraint operatorG(x)=[g ₁(x),...,g _k (x)] in the sense of the vector programming. Furthermore we link optimal solutions for reciprocal problems such as and min {G(x):f(x)=(b), xD}. Since the minimization problem is a vector one we pass to study monotonicity properties for the optimum-value correspondence individuated by a vector optimization problem with one or more constraints in order to establish on one hand that the constraint is active at the solution point, on the other hand that the optimal solution is not strictly dominated with respect to the constraint operator.These results allow us to give an interesting interpretation to some economic problems.

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Lavoro eseguito nell'ambito del Gruppo G.N.A.F.A. del C.N.R. per l'anno 1979.

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Presentato alle Giornate Attuariali Triestine e della A.M.A.S.E.S., Trieste, 14–16 Giugno 1979.     

Una nuova caratterizzatione dell'ammissibilità nella teoria delle decisioni

In questo lavoro viene fornita una nuova caratterizzazione dell'ammissibilità attraverso un adeguato uso della nozione di ammissibilità parziale. Questa caratterizzazione consente di affrontare le questioni riguardanti la completezza della classe delle decisioni ammissibiliti sotto condizioni «maneggevoli». Fornisce inoltre un approccio unificante al problema della completezza che consente di derivare, come casi particolari, alcuni risultati già noti nella letteratura sull'argomento.

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In this paper a new characterization of admissibility is given for general decision problems. It is based on an adequate use of the notion of partial admissibility.A general decision problem is usually synthetized by a triplet (, , ) where is the states (or parameters) space, the set of available decisions and is a family of real valued functions defined on and expressing numerically the consequences of choosing when the state is . The set is regarded as a subset of the space of all real valued functions on endowed with the topology of pointwise convergence.As for as admissibility is concerned all the pertinent information about decisions are contained in the corresponding functionsW .This allows to introduce a notion of partial admissibility through the neigh-bourhoods of this topology. Admissibile decisions are then shown to be limits of monotone non increasing sequences of partially admissible decisions.Moreover this topological characterization allows to prove the completeness of classes of admissible decisions under acceptable systems of conditions which contain as special cases, known results in literature.

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Lavoro svolto nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni del C.N.R.     

Approximating the solution of an integral equation arising in the theory of risk: A comment

This note describes accelerated two sided approximation schemes for the solution of the integral equation

Sulla dinamica dell'allocazione della ricchezza

Le teorie tradizionali di selezione del portafoglio e di equilibrio sui mercati finanziari con informazione perfetta non spiegano né l'esistenza di flussi di capitale, né il volume degli scambi sui mercati stessi. Lo scopo di questo lavoro, che segue il contributo di Dumas (1986), è di giustificare e caratterizzare la dinamica dei mercati finanziari, ossia gli scambi in essi effettuati. In contrasto con il lavoro di Dumas, aui a) dal punto di vista matematico, sono date soluzioni in forma chiusa; b) dal punto di vista della finanza è messo in chiaro il ruolo degli investitori che non hanno comportamenti dihedging. L'ottenimento di soluzioni in forma chiusa apre la strada allo studio della dinamica dei mercati finanziari e dei corrispondenti prezzi, in opposizione al consueto approccio statico.

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Summary Traditional theories of portfolio selection and market equilibrium with rational symmetric information explain neither the existence of capital flows, nor the volume of trade on financial markets. The purpose of this paper, which follows the work by Dumas (1986), is to justify and characterise the dynamics of capital markets. As opposed to Dumas's paper, here two goals are attained: i) from the mathematical point of view, analytic solutions are provided; ii) as for financial theory, the role of investors with no hedging behaviour is clarified. The achievement of explicit solutions opens the way to further developments in the study of financial market flows and indicators in a dynamic framework, instead of the usual static one.

     

Alcune nuove nozioni di semicontinuità per multifunzioni

Si introducono nuove nozioni di semicontinuità per multifunzioni che estendono quelle classiche relative alle funzioni. Inoltre, utilizzando tali generalizzazioni si studia la semicontinuità superiore di una funzione del tipo inf _v∈N(u) f(u, v). Infine, si applicano i risultati ottenuti ad un problema di scelta del prezzo.

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Summary In this paper new notions of semicontinuity for multifunctions are introduced; this definitions extend the classical notions concerning the functions. Moreover, using this generalizations, the upper semicontinuity of a function like inff(u, v) is studied. In the last section the results obtained are applied to av∈N(u) problem of selection price.

     

Sull'accumulo di un capitale in condizioni di incertezza

Si considera il problema dell'accumulo di un capitale, mediante versamenti annui in presenza di inflazione. Si assume che l'intensità di inflazione sia un processo stocastico governato da un modello lineare dinamico e si determina la distribuzione di probabilità del valore nominale tran anni di un capitale avente un prefissato valore reale (a prezzi odierni). Quindi si determinano i versamenti ottimi (nel senso della teoria delle decisioni), sia nel caso di decisione in blocco, sia nel caso di decisione sequenziale. Si considera infine il caso in cui anche i fattori di montante siano aleatori.

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The paper considers the problem of the constitution of a capital through annual deposits, when inflation is present.The intensity of inflation is assumed to be a random process driven by a dynamic linear model and then the probability distribution of the nominal value after n years of a capital, whose real value today is fixed, is determinend.Then the optimal deposits are determined, both in the case of block decision, and in the sequential case. The case of random discount factors is considered, as well.

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNAFA-CNR.     

The completion of security markets

Abstract In this article we study the completion by options of a two-period security market in which the space of marketed securities is a subspace X of . Although there are important results about the completion (by options) Z of X, the problem of the determination of Z in its general form is still open. In this paper we solve this problem by determining a positive basis of Z. This method of positive bases simplifies the theory of security markets and also answers other open problems of this theory. In the classical papers of this subject, call and put options are taken with respect to the riskless bond 1 of . In this article we generalize this theory by taking call and put options with respect to different risky vectors u from a fixed vector subspace U of . This generalization was inspired by certain types of exotic option in finance. Mathematics Subject Classification (2000): 46B40, 46A35, 91B28, 91B30 Journal of Economic Literature Classification: G190, D520     

La quasi-ammissibilitá nella teoria generale delle decisioni

In questo lavoro, la nozione di quasi-ammissibilità, come ampliamento della nozione di ammissibilità, viene formalizzata esplicitando una topologia sullo spazio funzionale in cui sono immerse le funzioni di perdita corrispondenti alla classe di decisioni del problema. Per questa via è possibile analizzare il concetto di quasi-ammissibilità senza restrizioni sullo spazio degli stati di natura. Si verifica poi, che le nozioni già note di ε-ammissibilità costituiscono casi particolari del-l’impostazione più generale qui proposta.

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It is known that in Decision Theory under Uncertainty the notion of admissibility and almost-admissibility plays an important role since it does not depend properly on the chosen optimality criterion. The main goal of the known notions of ε-admissibility is to conveniently enlarge the class of the admissible decision rules, which for some problems can be empty. Once observed that the notion of ε-equivalence between two decision rules is based on the fact that the decision are “close” each other, it is then natural to study the notion of ε-equivalence in a topological context. Here the functional space of the loss functions associated to the class of the decision rules is equipped with the product topology which the functional space is naturally endoved of. It this framework it is possible to study the notion of almost-admissibility independently of the characteristics of the states space. The known definitions of ε-admissibility are then reduced to particular cases of this more general approach.

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Lavoro eseguito nell’ambito del Gruppo Nazionale per l’Analisi Funzionale e le sue Applicazioni del C.N.R.     

Alcune osservazioni su indici di durata per operazioni finanziarie di scadenza finale aleatoria

In questa nota si propone una definizione didurata media finanziaria per operazioni finanziarie il cui numero di poste è aleatorio. Dopo aver fornito alcune proprietà di tale indice, si introducono ulteriori indici di durata studiandone le relazioni intercorrenti. Infine, si considera il caso di un'emissione obbligazionaria (dal punto di vista del sottoscrittore) e, dopo aver verificato alcuni dei risultati precedentemente ottenuti, si dimostrano particolari proprietà della durata media finanziaria.

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Summary In this paper, we define duration for a financial operation with a random number of cash-flows and prove some general results. Then, we introduce other duration indices and prove some appealing relationships among them. Finally, we consider a bond issue and prove further results about duration in this particular case.

     

Una funzione ordinale di benessere sociale

In questo lavoro trattiamo il problema di come amalgamare preferenze di individui in una preferenza sociale in relazione a certe alternative determinando una preferenza sociale che soddisfa i due Assiomi e le Condizioni 1,4,5 di Arrow.

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Summary In this paper we deal with the problem of how to amalgamate individual preferences to form one social preference in relation to certain alternatives determining a social preference satisfying the 2 Axioms and the 1, 4, 5 Conditions of Arrow.