Recenti sviluppi teorici del «Capital Asset Pricing Model»

Il presente studio prende in esame il CAPM e ne illustra i principali approcci teorici più recenti; soprattutto in questi ultimi anni, infatti, l'argomento ha attirato l'attenzione degli studiosi in campo finanziario e si presenta ancora molto interessante per i possibili sviluppi futuri. Senza esaurire l'argomento, che comporterebbe una trattazione molto ampia e una molteplicità di modelli a questo collegati, è parso utile ripercorrere l'iter logico e cronologico di questa teoria al fine di osservare come da un modello relativamente semplice sia stata a poco a poco enucleata tutta una serie di importanti problemi collaterali.

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This paper reviews the theoretical literature on the CAPM, considering the most important and recent approaches.Actually this model has been studied and developed very much in the financial field and further applications can be obtained in the future. The logical and historical development of the CAPM has been here the perspective to observe this theory, without exhausting the literature in this field, so the main aim is to present the relevant importance of the actual theory and some important problems which come from that.

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Lavoro svolto nell'ambito della ricerca CNR n. 78.00551.10.     

Una applicazione dell'approccio multistato ai fondi pensione

La modellistica multistato ha avuto recentemente significative applicazioni nelle assicurazioni di persone ed è stata impiegata anche nello studio di problemi connessi a schemi previdenziali (per questi ultimi si vedano ad esempio i lavori di Amsler, Wilkie, Linnemann). In questa nota si propone una applicazione di tale approccio all'assicurazione di invalidità — vecchiaia — superstiti nel tempo continuo, sia nel caso in cui si lavori con cause di eliminazione permanente che temporanea.

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Summary Recently the mathematics of multistate models has significantly been applied to the insurance of persons and has also been employed in the study of problems connected with pension schemes (e.g. papers written by Amsler, Wilkie, Linnemann). In this paper we suggest a time-continuous application of this approach to a pension scheme providing retirement, disability and death pensions, considering causes of permanent as well as temporary decrement and assuming the probabilistic structure is that of a time-inhomogeneous Markov process. Moreover, the paper presents the formulae of the expected present value of contributions and of benefits. In this regard, some approximate formulae are proposed for the above mentioned values.

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Ricerca finanziata con fondi 60% MURST. L'intero lavoro è frutto di una collaborazione che riguarda ogni parte del medesimo. I contributi personali di R. Pelessoni riguardano i paragrafi 2.2, 2.4, 2.5, quelli di M. Zecchin riguardano i paragrafi 1, 2.1, 2.3.     

A non-parametric statistical model for the control of Italian insurance companies

The problem of evaluating the solvency of insurance companies is tackled through the use of a non-parametric statistical model, constructed using decision-tree techniques. The model is tested on a sample of Italian non-life insurance companies and its performance over the test period compared with those of linear and quadratic parametric models.

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Riassunto Il problema della valutazione della solvibilità delle imprese di assicurazione è affrontato con l'impiego di un modello statistico non parametrico, costruito con le tecniche degli alberi delle decisioni. Viene proposta una sperimentazione del modello su un campione di imprese assicuratrici italiane operanti nei rami nonvita ed effettuata una analisi comparata intertemporale con gli standards di efficienza registrati su modelli parametrici lineare e quadratico.

     

Forecasting quarterly movements of the lira/pound-sterling exchange rate: Random walks,drift, seasonality and variable parameters

Quarterly logarithmic changes of the lira/pound-exchange rate for the period 1973 Q1 to 1989 Q1 are examined and the forecasting performance of some simple time series models is evalutated. The performance of the random walk model with drift is examined as a method of forecasting one quarter ahead lira/pound-sterling exchange rate changes. This model is then extended to incorporate seasonal movements. The assumptions of constant drift and seasonal patters are relaxed and the models are estimated using variable parameter regression based on state-space modelling using the Kalman filter. The within and out-of-sample performance of the models illustrates that an improvement in forecast accuracy is obtained by including seasonal variation. However, the results do not appear to be improved by allowing the parameters to follow a random walk, AR(1) or AR(2) process. The random walk model with drift and seasonal patterns performs better at predicting exchange rate movements than predictions based on the forward rate.

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Riassunto Questo saggio esamina il movimcnto dei valori logaritmici dei dati trimestrali per i tassi di cambio tra la lira e la sterlina, per il periodo che va dal primo trimestre del 1973 al primo trimestre del 1989.Si valuta la bontà della previsione dei modelli semplici. Si dà una valutazione dell' attendibilità del modello di passeggiata a caso con variazione, intendendolo come un metodo per prevedere, con un anticipo di tre mesi, i movimenti dei tassi di cambio tra la lira e la sterlina.Questo modello viene poi esteso per incorporare movimenti stagionali, le ipotesi di movimenti costanti casuali e stagionali sono indebolite e i modelli vengono valutati usando analisi di regressione con parametri variabili fondate sui modelli di stato-spaziale usando il filtro di Kalman.L'attendibilità, dentro e fuori il campione, dei modelli dimostra che un miglioramento nell'esattezza delle precisioni viene ottenuto con l'inclusione della variazione stagionale.I risultati, però, non migliorano quando i parametri seguono una passeggiata a caso, un processo AR(1) o un processo AR(2).Il modello della passeggiata a caso con variazione e i movimenti stagionali riescono meglio a pronosticare movimenti dei tassi di cambio che non le previsioni fondate sui tassi fissi di cambio anticipati.

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A revised draft of the paper presented at the 6th. Meeting of the European Working Group on Financial Modelling at Hautes Etudes Commerciales, Liège, Belgium, 27/28 November, 1989     

Problemi di minimax di tipo discreto: Un approccio unificato mediante il teorema dell'alternativa di Motzkin

Si dimostrano delle condizioni del primo ordine, alcune necessarie e altre sufficienti per problemi di minimax di tipo discreto, utilizzando prevalentemente il teorema dell'alternativa di Motzkin.

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In this paper discrete minimax problems are considered.Some first order optimality conditions for minimax problems in hypothesis of different kind about the set of constraints are proved.We don't suppose that the set is convex, as treated by V. F. Dem'yanov and V. M. Malozemov.For the proofs it has often been used the alternative Motzkin's theorem.

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Pervenuto il 28-3-82

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Lavoro eseguito nell'ambito del progetto di ricerca «Equilibrio in modelli matematici con aspettative razionali».     

On the solutions in rational expectations models

This paper deals with the solutions to macroeconomic models with rational expectations. A first purpose is to demonstrate that two forms of the efficient-market equation commonly used in the literature may be treated as approximations of the same general equation, of different orders with respect to perturbative forces of the market. Second aim is to show how the perturbative terms can be given explicit forms. Finally, the paper addresses the question of finding contributions which can concur to explain the phenomenon usually referred to asstock price volatility.

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Riassunto Si è interessati alla soluzione di modelli macroeconomici con aspettativa razionale. In primo luogo si vuole dimostrate come due forme differenti dell'equazione del mercato efficiente utilizzate nella letteratura possano essere considerate approssimazioni della stessa equazione generale, di ordini diversi rispetto alle forze perturbative del mercato. Si vuole quindi individuare una tecnica per dare forma esplicita ai termini perturbativi. Infine, si va alla ricerca di contributi che possano concorrere a spiegare il fenomeno noto comevolatilità dei prezzi del mercato azionario.

     

Sulla vitalità di un mercato finanziario

Questo lavoro discute un modello di mercato finanziario basato sulla teoria della vitalità associata allo studio delle inclusioni differenziali. Il modello permette di esplicitare l'esistenza di una relazione di dipendenza tra le quantità di un titolo detenute dagli agenti ed il suo prezzo di mercato. Basandosi su questa, è possibile ottenere rigorosamente l'esistenza di un sentiero temporale per il prezzo senza bisogno di introdurre ipotesiad hoc.

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Summary This work discusses a model of a financial market based on viability theory and differential inclusions. The model makes it explicit the existence of a relationship between the quantities of a security held by agents and its market price. Based on this, we show how to establish rigorously the existence of a time path for the price which in the literature is usually assumed without much justification.

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Ringraziamo E. Castagnoli per alcuni utili commenti. Le conversazioni con J.-P. Aubin, F. Moriconi e F. Ortu sull'etimologia e l'interpretazione dei concetti di vitalità ci sono state di grande beneficio.     

Alcune proprietà strutturali delle reti di Petri

Dopo aver richiamato i concetti fondamentali sulle reti di Petri, si espongono alcune considerazioni sul problema della raggiungibilità ambientato nello spazio delle transizioni. Si introducono quindi alcune nozioni sulla stabilità e limitatezza strutturali delle reti di Petri, che vengono illustrate con un'applicazione a reti di divisori di frequenza binari. Il problema di decidere della stabilità o limitatezza di una rete di Petri è ricondotto a un problema di programmazione lineare.

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After recalling the basic concepts about Petri nets, we consider some aspects of the reachability problem in transition space. In particular, some theorems are given on the markings which enable given firing sequences.The new concept of stability of a Petri net is then introduced and we show that it is possible to decide efficiently if a net is stable or bounded by solving a unique linear programming problem.An application to binary frequency divisors is given last.

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Lavoro eseguito nell'ambito del Progetto CP dell'Università degli Studi di Milano e dell'Honeywell Information Systems Italia, e del programma di ricerca finanziato dal C.N.R., contratto n. 79.00701.02.     

La rovina del giocatore con dipendenza markoffiana nel processo di alternativa

Il problema della rovina del giocatore è generalizzato considerando un'ipotesi di dipendenza markoffiana omogenea nel processo di alternativa in luogo del più particolare schema bernoulliano. In tale ipotesi sono determinate esplicitamente la probabilità di rovina e la durata media del gioco. Sui risultati ottenuti sono poi basate alcune considerazioni concernenti la gestione del rischio per questa classe di modelli.

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Summary The classical gambler's ruin problem is generalized: markovian turns are considered instead of bernoullian ones. Ruin probability and expected duration of the game are explicitly derived. Some final remarks about risk management in this hypothesis are made.

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Lavoro effettuato nell'ambito delle attività della ricerca Modelli della teoria del rischio, finanziata dal M.P.I. 60%.     

Dini derivatives in optimization — Part III

This note is a sequel to the analysis of the main properties and applications of Dini derivatives, discussed by the authors in their previous papers [10,11].In particular we show how the generalized convexity of nonsmooth maps could be characterized by the generalized monotonicity of the Dini derivatives.

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Sommario Questa nota è la continuazione di due precedenti lavori degli stessi autori, publicati sulla Rivista di Matematica per le Scienze Economiche e Sociali e riguardanti le principali proprietà ed applicazioni nella teoria dell'ottimizzazione delle derivate direzionali (o numeri derivati) di Dini. Nel presente lavoro tale strumento matematico viene utilizzato al fine di estendere al caso non differenziabile i vari concetti di convessità generalizzata e di monotonia generalizzata proposti soprattutto da Karamardian e Schaible per il caso di funzioni differenziabili.

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Research supported by M.U.R.S.T. and CARIPLO.

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Partially supported by Hungarian National Research Fund (Grant # T 013967).     

Strong measures of concordance and convergence in probability

It is shown that convergence in probability is sufficient for a strong measure of concordance to converge to one, and that convergence to one of a strong measure of concordance, along with convergence in law, is sufficient for convergence in probability.

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Riassunto Si mostra che la convergenza in probabilità è condizione sufficiente perché una misura forte della concordanza converga a uno, e che la convergenza a uno di una misura forte della concordanza, insieme con la convergenza in legge, è condizione sufficiente per la convergenza in probabilità.

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Partially supported by M.P.I. (Gruppo di ricerca «Modelli probabilistici»).     

Alcune proprietà ed applicazioni finanziarie della media antiarmonica

In questa Nota si ottengono alcune proprietà della media antiarmonica di ordine 2 utilizzando note leggi del pendolo composto e viene messo in evidenza che essa non è sempre una media interna.Si considera poi la media antiarmonica di ordineK ponderata con pesi di segno qualunque e ne viene infine illustrato l'uso e il significato in alcuni problemi di matematica finanziaria.

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Summary In this paper, an interpretation in terms of the reduced compound pendulum length for the second order antiharmonic means, as proposed by De Finetti, is given. By pendulum laws some properties mean are obtained. Finally this paper explains the meaning and the use for the antiharmonic weighted mean of orderk, with reference to some financial mathematics problems.

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Lavoro eseguito nell'ambito del gruppo GNAFA del C.N.R.

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Ringrazio il prof. E. Volpe di Prignano per i suggerimenti e le osservazioni critiche ad una precedente stesura di questo lavoro.     

A parametric simplex-like algorithm for a fractional programming problem

A few theoretical results are given for the fractional programming problem where the objective function is the product of an affine function and a linear fractional function and where the feasible region is a polytope. Moreover, a simplex-like algorithm is proposed to solve the same problem when the feasible region is bounded. The algorithm is based on the exploration of a set of suitably defined optimal level solutions.

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Riassunto Nel lavoro vengono esposti alcuni risultati teorici per un problema di programmazione frazionaria nel quale la funzione oggetto è data dal prodotto tra una funzione affine e una funzione lineare definita su una regione ammissibile poliedrica. Viene inoltre formulato un algoritmo di tipo simplesso che consente la risoluzione del problema qualora la regione ammissibile sia limitata. Tale algoritmo è basato sulla esplorazione di un insieme opportunamente definito di soluzioni ottime di livello.

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This research was partially supported by MURST.     

On certainty equivalent

Riassunto Come noto, una funzione continua e strettamente monotona individua una media associativa di una variabile aleatoria (v.a.)X.Nel presente lavoro si confrontano due medie associativeM _f eM _g , indotte da due diverse funzionif eg, allo scopo di individuare, nella classe delle v.a.X limitate, l'estremo superiore della loro differenza in modulo.Sotto alcune ipotesi, in particolare chef sia una trasformazione crescente e concava dig, si forniscono condizioni necessarie e/o sufficienti di estremo superiore della differenza in questione.Da un punto di vista applicativo, qualoraf eg siano interpretabili come funzioni di utilità e quindi le medie associative considerate assumano il significato di certi equivalenti, l'estremo superiore della loro differenza può rappresentare il margine di contrattazione (sul prezzo) che un venditore ed acquirente potenziali hanno a disposizione. Se poig è lineare ef è concava allora la differenza considerata è il premio di rischio.

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Partially supported by M.U.R.S.T. and C.N.R.     

Notes on pareto improvement in incomplete financial markets

these notes describe some recent developments in the analysis of the possibilities for Pareto improvement when, in a competitive environment, financial markets are incomplete. The basic framework is a general methodology for investigating the welfare effects of policy or institutional changes in equilibrium models, when these can be characterized in terms of perturbing the solutions to a system, of smooth equations. Two particular scenarios are discussed in detail: First, the situation where a central government can intervene in the form of wealth taxes and subsidies, and second, the situation where the financial institutions can be modified by increasing the number of available instruments.

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Sommario Queste osservazioni descrivono alcuni sviluppi recenti dell'analisi del miglioramento paretiano quando, in un contesto competitivo, i mercati finanziari sono incompleti. La struttura di riferimento è la metodologia generale per indagare gli effetti sul benessere sociale di cambiamenti politici o istituzionali nei modelli di equilibrio, quando questi possono essere caratterizzati come una perturbazione delle soluzioni di un sistema di equazioni. Due scenari particolari vengono discussi in dettaglio: nel primo, un governo centrale può intervenire attraverso la tassazione sulla ricchezza e le sovvenzioni; nel secondo, le istituzioni finanziarie possono essere modificate mediante l'aumento degli strumenti disponibili.

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While working in this general area I have benefitted substantially from interaction and collaboration with several of my, sometime Penn colleagues or students, Alex Citanna, Atsushi Kajii, Marcos Lisboa and Antonio Villanacci. Conversations at various points with Ronel Elul, John Geanakoplos, Heracles Polemarchakis and especially, Paolo Siconolfi have also been extremely helpful and illuminating. None of them, however, is responsible for my biases and idiosyncrasies. These notes were prepared for a presentation at the AMASES Conference held in Pugnochiuso, Italy during September 25–28, 1995.     

On the foundations of stochastic non-price rationing and the adjustment of prices

The paper presents a general model of an economy with price stickiness. The model is structually equivalent to a generalized game. Strategies are vectors of transaction offers and the list of all agents'transaction offers determines agents'strategy sets, by means of quantity signals. An equilibrium in this game is an equilibrium with quantity rationing. If the quantity signals consist of the aggregate values of demands and supplies, then compatible rationing mechanisms must be manipulable and stochastic.The study of price adjustment between successive plays of the game calls for a measure of the size of disequilibrium in an equilibrium. Since under stochastic rationing equilibrium transaction offers differ from actual trades, the ratios of aggregrate demands and supplies provide such a measure. In order that it be reliable in spite of agents' incentives to manipulate, their preference structures must meet a (weak) condition.

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Sunto Il lavoro presenta un modello generale di un'economia con vischiosità dei prezzi. Il modello è strutturalmente equivalente a un gioco generalizzato. Le strategie sono vettori di offerte di transazione e la lista delle offerte di transazione di tutti gli agenti determina, attraverso segnali di quantità, gli insiemi di strategie degli agenti. Un equilibrio in questo gioco è un equilibrio con razionamento delle quantità. Se i segnali di quantità si identificano nei valori aggregati di domande e offerte, allora i meccanismi compatibilie di razionamento devono essere manipolabili e stocastici.Lo studio dell'aggiustamento di prezzo in successive ripetizioni del gioco richiede una misura del disequilibrio in un equilibrio. Dato che, in caso di equilibrio stocastico con razionamento, le offerte di transazione differiscono dagli scambi effettuati, i raporti tra domande e offerte aggregate fomiscono tale misura. Per renderla affidabile nonostante gli incentivi degli agenti a manipolarla, le loro strutture di preferenze devono soddisfare una (debole) condizione.

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This paper builds upon notes [Weinrich (1984c), (1984d)] written at C.O.R.E., Louvain-La-Neuve, Belgium, while I was a Research Fellow there. I am grateful to Volker Böhm and the participiants of the micro seminar at VPI & SU for helpful discussions and suggestions.     

A note on principal components and morse theorem

We consider a real random vector X with cumulant generating function ψ_X, non-singular covariance matrix and zero expectation and prove that a principal component transformation of X is the Jacobian at the origin of a Morse-transformation for ψ_X. Subsequently, a similar result is stated removing the nondegeneracy assumption. Finally, we discuss the possibility to apply our results in a statistical framework.

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Riassunto Si considera un vettore aleatorio a valori reali X con funzione generatrice dei cumulanti ψ_X, matrice di varianza-covarianza non singolare e valore atteso nullo e si dimostra che una trasformazione delle componenti principali di X è lo jacobiano nell'origine di una trasformazione di Morse per ψ_X. Successivamente un risultato simile viene stabilito rimuovendo l'assunzione di non singolarità. Infine si discute la possibilità di applicare il nostro risultato in ambito statistico.

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Partially supported by M.U.R.S.T.     

Dorfman on economic interpretation of optimal control theory: An extension

In the context of a more general model of capital accumulation involving time lags in the response of the state variable (the rate of change of the capital stock) to changes in the values of the decision variables, we establish the main propositions of Optimal Control Theory by means of economic analysis.

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Riassunto Robert Dorfman [3] ha mostrato come ricavare le principali proposizioni della teoria del Controllo Ottimale attraverso l'analisi economica. Il modello d'accumulazione del capitale che lui ha formulato assume che il tasso di cambiamento dello stock di capitale risponderà instantaneamente sia ai valori delle variabili di controllo sia ai valori della variabile di stato.Noi ci proponiamo, qui di estendere il modello formulato da Dorfman con l'inclusione dilags temporali nella risposta dello tasso di cambiamento delle variabili di controllo. Stabiliamo anche quello che abbiamo denominato «the Extended Maximum Principle» usando sostanzialmente le idee di base della teoria del capitale. Infine noi mostriamo che le condizioni necessarie per l'esistenza di una soluzione ottima del nostro problema coincidono con quelle ricavate dall'analisi economica.

     

A new formula on a particular type of «Gambler's ruin» problem withN players

The «gambler's ruin» problem both in the fair game and in the unfair game with two players is a classical one. Some results are known also for a fair ruin game among more than two players. In this note an unfair ruin game among more than two players is tackled and a new formula is derived.

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Riassunto Il problema della rovina in un gioco (equo o non) tra due giocatori è classico. Alcuni risultati sono noti per un gioco equo di rovina tra più di due giocatori.In questa nota un gioco non equo di rovina tra più di due giocatori è preso in considerazione, ricavando per esso una nuova formula.

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Work performed under the auspices of GNAFA, Italian C.N.R.     

Equivocations for transposition ciphers

In a transposition cipher the message sequence is subdivided into blocks of equal length and each block is shuffled according to a chosen key. To evaluate the performance of a transposition cipher we take a Shannon-theoretic standpoint and compute relevant equivocations. It is wellknown that transposition ciphers are strongly ideal for memoryless stationary sources (key and cryptogram are independent). We consider also message equivocation and key-appearance equivocation and do not assume that the length of the intercepted cryptogram is a multiple of the block-length. The index of coincidence of the source statistics is shown to be a relevant parameter, at least asymptotically.

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Riassunto Il principio della trasposizione è uno dei più antichi in crittografia, ma non è obsoleto: i cifrari a trasposizione vengono adoperati come blocchi costitutivi di alcuni dei più autorevoli cifrari attualmente in uso, come il DES dell'IBM che è stato adottato dal National Bureau of Standards americano. Il messaggio in chiaro che si vuol cifrare viene spezzato in blocchi di ugual lunghezza e ciascun blocco viene «trasposto» (anagrammato) secondo una permutazione fissa e segreta (la chiave del cifrario). In questo lavoro le prestazioni dei cifrari a trasposizione vengono valutate dal punto di vista della teoria di Shannon, calcolando certe «equivocazioni» pertinenti: tali equivocazioni quantificano l'incertezza di una spia che abbia intercettato il crittogramma; dopo l'intercettazione le equivocazioni a priori si trasformano in equivocazioni a posteriori secondo un meccanismo di tipo bayesiano. Se la sorgente dei messaggi è data da un processo stocastico stazionario senza memoria, è ben noto che per quanto concerne la chiave le equivocazioni a priori e a posteriori coincidono: i cifrari a trasposizione sono in questo caso «fortemente ideali».Noi consideriamo anche l'equivocazione sul messaggio e quella sulla «comparsa della chiave» (quest'ultima è significativa nel caso di «attacchi con testo in chiaro»). L'equivocazione sul messaggio si ottiene da quella sulla chiave, che è una costante indipendente dalla lunghezza del crittogramma intercettato, al modo seguente: si somma un contributo periodico che si annulla solo quando tale lunghezza è un multiplo della lunghezza di blocco, e si sottrae una correzione infinitesima (pari all'equivocazione sulla comparsa della chiave) la cui velocità di convergenza è asintoticamente determinata dall' «indice di coincidenza» della distribuzione di probabilità che regola la sorgente dei messaggi.

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Questo lavoro è parte del programma di ricerca del GNIM-CNR. È incluso nel programma dell'International Symposium of Information Theory, Brighton (Inghilterra), giugno 1985.