Über die verwendung von mittelwertprocessen in der bevölkerungsstatistik und in der Zinsrechnung

Abstract

Im Anschluss an die im Jahre 1916 erschienene Monographie von E. J. Gumbel: “Die Berechnung des Bevölkerungsstandes durch Interpolation” (Leipzig, Vogel) hat Verfasser dieser Zeilen den formalen Aufbau der für die Praxis einfachsten Interpolationsmethoden der mathematisch-statistischen Behandlung zugeführt; auf dieser Grundlage hat dann Gumbel die so erhaltenen verallgemeinerten Ansätze bereits auf praktische Fragen der Bevölkerungslehre angewendet. Im Folgenden sollen einige Resultate dieser Untersuchungen mitgeteilt werden, und zwar in Hinblick darauf, dass dieselben bei der Konstruktion von Volkssterbetafeln und bei der Ausarbeitung der Deckungssysteme in der Socialversicherung Verwendung finden können. Die für die Statistik und für die wirtschaftliche, Mathematik (z. B. Grundlegung der Zinsfunktionen). so wichtigen Mittelwertoperationen erscheinen erst durch die nähere methodische Bearbeitung in der für die zielbewusste Anwendung notwendigen Beleuchtung. Die mathematische Diskussion der Mittelwert-Interpolationen dünkt uns vom statistischen Gesichtspunkt als wesentlich, wenn auch der Verwaltungsstatistiker für primitivere Zwecke eine kürzere Behandlung der präcisen Auseinandersetzung bevorzugt. Dieser Standpunkt erweist sich als gerechtfertigt, sobald man — wie es z. B. in der Lebensversicherungstechnik der Fall ist — nicht nur Abschätzungen im Grossen vornimmt, sondern auf Grundlage des empirischen Materials feinere Berechnungen anstellt, deren numerisches Resultat von der Präcision der Ausgleichungsprocesse abhängt. Hauptziel der folgenden Betrachtung ist die genauere Festlegung der in der Verwaltungsstatistik üblichen rohen Interpolationsansätze, um auf diesem Wege solche Formeln zu gewinnen, die den Erfahrungen besser angepasst werden können und die es weiterhin ermöglichen, dass die Berechnung der auf den Interpolationsprocess beruhenden wichtigern Masszahlen (z. B. verlebte Zeit, Vermehrungsintensität, Fixirung partieller Bevölkerungsmassen, etc.) einer mathematjschen Kritik unterworfen werden können.     

Über die vorausberechnung der bevölkerungsentwicklung in schweden

Abstract

Die andauernde Abnahme der Geburtenzahlen hat in den letzten Jahren ein lebhaftes Interesse für die Frage nach der künftigen Entwicklung der Bevölkerungszahl und der Altersgliederung der Bevölkerung eines Landes hervorgerufen. Es wurden hierüber einerseits eine grosse Anzahl von theoretischen Arbeiten verfasst, andererseits wurden auch wiederholt numerische Berechnungen gemacht, bei denen man von bestimmten Annahmen über die zukünftige Entwicklung der Sterblichkeit und der Geburtenhäufigkeit ausging und daraus die Altersgliederung der Bevölkerung zu verschiedenen Zeitpunkten ableitete.¹     

Über die konstruktion der ausscheidetafel der aktiven

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In der technischen Behandlung der Invaliden- oder Krankenversicherung kommt die Aufgabe vor, aus der Gruppe der Lebenden die Gruppe der Aktiven auszuscheiden. Dies wird in der Praxis vielleicht ausnahmslos derart ausgeführt, dass die Gruppe derjenigen Invaliden gleichen Alters, welche im Laufe eines Jahres invalid werden, weiter Jahr für .Jahr verfolgt wird. Angenommen, dass die Anzahl der Aktiven in einem Zeitpunkt gegeben ist, lässt sich vermittels der gegebenen Wahrscheinlichkeiten die Anzahl der während eines Jahres invalid Gewordenen und am Ende des ersten Jahres und späterer Jahre lebenden Invaliden ermitteln. Die Ausscheidetafel der Aktiven wird auf diese Weise Schritt für Schritt von dem jüngsten Alter zu den höheren weiter aufgebaut.     

Korrelation zwischen drei veränderlichen

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In dem vorigen Band dieser Zeitschrift{ft1} hat Herr Hagstroem auf eine sehr anschauliche Deutung des Korrelationskoeffizienten zwischen zwei stochastisch voneinander abhangigen Veränderlichen hingewiesen. Bezeichnet man bei normaler Häufigkeitsverteilung die Summe der zwischen den beiden Regressionsgeraden eingeschlossenen Haufigkeiten mit {im}, so ist der Korrelationskoeffizient {ir}=cos {im}. --, ein Ausdruck, der dann auf beliebige Häufigkeitsverteilungen so übertragen wird, dass man für {im} die Summe der relativen H.aufigkeiten zwischen den jetzt nicht geradlinig verlaufenden Regressionskurven nimmt. Im Folgenden soll nun gezeigt werden, dass bei drei stochastisch von einander abhängenden Veränderlichen sich die partiellen Korrelationskoeffizienten genau ebenso veranschaulichen lassen, und dass man in ganz entsprechender Weise ein vollkommen symmetrisch gebautes Mass für die Strammheit des Zusammenhanges gewinnen kann. Auch diese Grössen lassen sich, ebenso wie das Herr Hagstroem getan hat, auf beliebige Verteilungen, wo man es dann nicht mehr mit drei ebenen Regressionsflachen zu tun hat, übertragen.     

Die Lebensversicherung mit exponentiell ansteigender Prämienreserve (Sparversicherung)

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Die gebräuchlichste Form der Lebensversicherung ist heute die Kapitalversicherung auf den Todes- und Erlebensfall. Bei ihr wird im Versicherungsfall ein bestimmtes Kapital fällig; als Gegenleistung sind hierfür vom Versicherungsnehmer laufend Prämien zu entrichten in Form von gleichen Jahresbeträgen oder auch gleichen unterjährigen Raten. Dieses Prinzip, einem gleichmässigen Versicherungsschutz einerseits gleichmässig fällig werdende Prämien gleicher Höhe andererseits gegenüberzustellen, wird durch die ausgleichend wirkende Funktion der Prämionreserve möglich, welche die bisher nicht benötigten Teile (Sparprämien) der eingezahlten Prämien jeweils reserviert für die sich zukünftig durch Tad oder Ablauf mehr und mehr häufenden Versicherungsfälle. Damit erfüllt die Prämionrosorve als Regulator eine wichtige versicherungstechnische Aufgabe. Dennoch bleibt sie dem Versicherungsnehmer im allgemeinen unbekannt, weil ihre jeweilige Hohe nur mit Hilfe von umfangreichen Tabellen nach mathematischen Formeln berechnet werden kann, so dass ihr verschwiegenes Dasein nicht selten zu Missverständnissen Anlass gibt.     

Einige versicherungsmathematische graphische Rechentafeln

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1. Der Vorteil der graphischen Tafeln liegt in ihrer Übersichtlichkeit. Anstatt einer Menge von Zahlen in Tabellen mit zwei oder mehreren Argumenten kann aUes in einer Figur anschaulich konzentriert werden. Die Genauigkeit hängt natürlich von den Ausdehnungen der Figur ab, kann aber im allgemeinen zu etwa 3 Ziffern abgeschätzt werden. Wo dies genügt, wird die Aufstellung einer graphischen Tafel hinsichtlich der Arbeitsersparnis zuweilen vorteilhaft sein, denn die rechnerische Arbeit, welche für die Konstruktion nötig ist, ist in der Regel nur ein geringer Bruchteil von dem, was sonst zu tun wäre.     

Über Chr. Kramp's versicherungsmathematische Arbeiten und seine Formel zur Darstellung der Sterblichkeit,nebst einigen Bemerkungen über die Bestätigung seiner Ansichten durch neuere Untersuchungen

Abstract

Christian Kramp, geb. am 10. 7. 1760, gest. am 13. 5. 1826, war einer der berühmtesten Mathematiker seiner Zeit. Seine Hauptwerke, die »Analyse des refractions astronomiques et terrestres» (die sehr viel mehr hält, als der bescheidene Titel verspricht) und die »Arithmétique universelle» werden sogar heute noch manchmal in Schriften zitiert, die sich mit dem Wahrscheinlichkeits-Integral und mit der Theorie der Fakultäten beschäftigen. Um so auffallender ist es, dass zwei Beiträge Kramp's zur Versicherungs-Mathematik in den Jahrgängen 1787 und 1788 des »Leipziger Magazins für reine und angewandteMathematik» bis heute ganz unbeachtet geblieben sind. Die erste Abhandlung ist betitelt: Versuch, die Natur der bisher bekannt gewordenen Sterblichkeitstafeln durch einfache Gleichungen zu bestimmen», die zweite: »Entwurf einer Einrichtungöffentlicher Leibrentenkassen». Auch der Hinweis NEUMANN's in seiner grossen Übersicht über die VersicherungsLiteratur des 18. Jahrhunderts im Jahrgang 1912 der Zeitschr. f. d. gesamte Versich.-Wissensch. hat nicht vermocht, die Aufmerksamkeit der Fachwelt auf die Aufsätze KRAMP's zu lenken.     

Untersuchung über die sterblichkeit der abstinenzlern

Abstract

Die Frage betreffend die Sterblichkeit unter versicherten Abstinenzlern dürfte noch als vollständig ungelöst zu betrachten sein. Die einzige mir bekannte Untersuchung in dieser Richtung ist die von Aktuar P. M. MOORE im Journal of the Institute of Actuaries ¹ veröffentliche Abhandlung: On the comparative Mortality among assured Lives of Abstainers and non Abstainers from Alcoholic Beverage. Die Untersuchung stützt sich auf ein von der Versicherungsgespllschaft United Kingdom Temperance and General Provident Institution geliefertes Material, einer Gesellschaft, die 1840 gebildet wurde und zwei Abteilungen hatte, eine für Absolutisten und eine für Nichtabsolutisten. Von mehreren Seiten ist das erhaltene Resultat einer eingebenden Kritik unterzogen worden. Ich verweise in dieser Beziehung auf die Abhandlung Dr. ANDRAES. Das Material ist übrigens nicht nach der Anzahl durchlebter Versicherungsjahre gruppiert und gibt deshalb vom Lebensversicherungsstandpunkt kein klares Bild über den Sterblichkeitsverlauf.     

Zur Versicherung anormaler Leben

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In einer früheren Note habe ieh versucht, eine Methode zur Konstruktion abgestufter Sterbliehkeitstafeln zu finden, welche dazu geeignet wären, bei der Abschätzung von Prämien für nicht normale Risiken das versicherungstechnische Material zu liefern. Ich hatte zu diesem Zweek für die betreffende Krankheit, als welche in erster Linie und als Beispiel die Tuberkulose gewählt wurde, zunächst die Klasse P definiert, welehe aus allen Individuen besteht, die als Todesursache die Tuberkulose anfweisen werden. Die reziproke Klasse wurde mit S bezeiehnet. Für diese beiden Klassen lassen sich mit Hilfe der schwedischen Todesursachenstatistik die Todesfalls wahrscheinlichkeiten P_x und P _x in den verschiedenen Altersjahren x annähernd bestimmen.     

Eine methode zur Berechnung von Alters- und Invaliditätsrenten bei willkürlicher jährlicher Prämienzahlung

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Die sehwedische staatliche Pensionsversicherung ist bekanntlich als eine kombinierte Alters- und Invaliditätsversieherung organisiert. Mit 67 Jahren oder bei früher eingetretener Invalidität fängt die Auszahlung einer Pension an, deren Betrag sich als ein gewisses Prozent der einbezahlten Prämien ergiebt, für Manner 30 und für Frauen 24 Prozent. Diese Höchsbeträge werden jedoch für diejenigen Personen, die bei dem Inkrafttreten des Alterspensionsgesetzes eine gewisse Altersgrenze überschritten hatten, einigermassen modifiziert.     

Zur Versicherung anormaler Leben

Abstract

Das von dem Direktorenverein der Schwedischen Lebensversicherungsgesellschaften eingesetzte Komitee zur Untersuchung der Sterblichkeit unter tuberkulös belasteten und anderen nichtnormalen Risikos setzt in seinem Gutachten das Vorkommen verschiedener Risikoklassen voraus, charakterisiert durch eine oder mehrere durch ärztliche Untersuchung oder anderweitig konstatierte Krankheitsanlagen. Die Risikoklasse, für die die ärztliche Untersuchung keine Krankheitsanlagen konstatiert hat, kann “die der normalen Risikos” genannt werden. Bezeichnen wir diese Klasse mit N und die verschiedenen nichtnormalen Risikoklassen mit R ₁, R ₂, R ₃, … Man kann also die Risikoklasse R _v als die Menge aller Personen, die beim Abschliessen von Versicherungen erwiesenermassen mit gewissen bestimmten Krankheitsanlagen A _v behaftet sind, definieren. Wir wollen in folgendem eine andere Einteilung der menschlichen Risikos studieren. Nehmen wir an, dass man schon bei der Geburt für jede Person bestimmen könnte, welcher Todesursache sie einmal zum Opfer fallen würde. Auf diese Weise würde die Menschheit in eine grosse Anzahl Risikoklassen eingeteilt. Von jedem einzelnen Individuum wüsste man allerdings nicht seinen Todestag, aber man wüsste zu welcher von diesen Risikoklassen es gehörte und könnte also auf dasselbe die richtige Sterblichkeitstabelle anwenden: man wäre nur einen Schritt (allerdings einen grossen Schritt) der exakten Kenntnis des Lebenslaufes näher gekommen, welcher alle wahrscheinlichkeitstheoretischen Erörterungen erübrigen würde. Zieht man nun eine bestimmte Todesursache B _v in Betracht, so kann man hinsichtlich dieser die Menschheit in zwei Klassen einteilen, solche, die mit Sicherheit dieser Todesursache erliegen, Klasse P _v, und solche, die es nicht tun werden, Klasse S _v. Fügt man als besondere Risikoklasse die ganze Bevölkerung M hinzu, dann hat man alle Risikoklassen definiert, die in vorliegendem Aufsatz behandelt werden sollen.     

Über das Aequivalenzprinzip

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Das Prinzip von der Gleichheit von Leistung und Gegenleistung wird in der Lebensversicherungsmathematik in der Regel so ausgesprochen: Es soll für einen beliebigen, innerhalb der Versicherungsdauer gelegenen Zeitpunkt die vorhandene Rücklage im Vereine mit dem versicherungstechnischen Barwert sämmtlicher noch zu erwartender Leistungen des Versicherten stets gleich sein dem versicherungstechnischen Barwert sammtlicher noch zu erwartender Leistungen des Versicherers. Unter versicherungstechnischem Barwert ist hiebei der auf diesen Zeitpunkt unter Rücksicht auf die Wahrscheinlichkeit der Leistung und die Verzinsung bezogene Wert dieser Leistungen zu verstehen. Unter den Leistungen des Versicherers sollen die vertraglich bedingten Zahlungen, aber auch die Verwaltungskosten und Dividendenzahlungen verstanden sein. Der Zeitpunkt, auf welchen die versicherungstechnischen Barwerte der beiderseitigen Leistungen bezogen werden, ist im übrigen willkürlich, nur muss er stets für Leistung und Gegenleistung derselbe sein. Das Aequivalenzprinzip gilt in gleicher weise für den Beginn und das Ende der Versicherungsdauer. Hieraus folgt in bekannter Weise die nur vom formal mathematischen Standpunkte verschiedene, inhaltlich aber völlig gleichwertige Darstellung der Rücklage in der prospektiven bezw. retrospektiven Gestalt, während der Rücklage selbst als einer nach den gewählten Rechnungsgrundlagen zu schätzenden Grösse, immer nur ein prospektiver Charakter zukommt.     

Anwendung der Volterra'schen Integralgleichungen in der mathematischen Statistik

Abstract

In der vorliegenden Abhandlung, welche einen Auszug aus den in den Abhandlungen der tschechoslowakischen Akademie für Wissenschaften (Rozpravy ?eské akademie) veröffentlichten Arbeiten darstellt ¹ Pon?iti Volterrových integrálnich rovnie v matematické statistice Jahrg. XXVI. No. 26, Praha 1917. O jisté integrodifferenciálni rovnici Jahrg. XXIX. No. 15, Praha 1920. wird die Theorie der Integral- und Integrodifferentialgleichungen auf die Lösung wichtiger Probleme der mathematischen Statistik angewendet. Das Ziel der Arbeit ist zu zeigen, dass die Volterra'schen Integral- und Integrodifferentialgleichungen die mathematische Grundlage für die Beschreibung zahlreicher sog. Kollektiverscheinungen bilden. Es handelt sich dabei um Probleme, welche die Praxis bereits seit langer Zeit mittels angenäherter Methoden durch Rekursionsprozesse oder mit, Hilfe von Hypothesen, die dem heutigen Stande unseres Wissens nicht mehr entsprechen, löst. Diese Probleme, wenn wir sie genau formulieren und auf alle Erkenntnise der Praxis und Theorie Rücksicht nehmen wollen, führen zu den Integral- und Integrodifferentialgleichungen, ohne deren Studium die Lösung also nicht vollständig ist.     

Untersuchung über die Kränklichkeit in den staatlich unterstützten Krankenkassen Schwedens

Abstract

Von den Vorschriften, die für die staatlich unterstützten Krankenkassen gelten, werde ich hier nur so viel mitteilen, was für den Aufbau der mathematiscben Formeln notwendig ist, sowie einige Tatsachen, die bei Vergleichen mit anderen Kränklichkeitsmaterialien von Bedeutung sind. Im übrigen wird auf das Gesetz über Krankenkassen hingewiesen.     

Betrachtungen über den effektiven Zinsfuss bei Anleihen

Der Umstand dass der effektive Zinsfuss einer Anleihe, die im Laufe von n Jahren (Terminen) zurückgezahlt werden soll, im Allgemeinen durch eine Gleichung n:ten Grades bestimmt ist, hat bekanntlich zu der Anwendung einer ganzen Reihe von verschiedenen Näherungsmethoden zur Feststellung dieses Zinsfusses geführt. Indessen ist die Litteratur über die Frage eigentlich recht sparsam, und man hat den Eindruck dass vielleicht jeder Finanzmathematiker, der sich mit diesen Fragen effektiv beschäftigt, allmählich sein eigenes Verfahren. ausarbeitet, und dass man sich scheuht die Hülfsmittel — die man in dieser Weise anwendet, und die wohl immer recht einfach oder sogar rein empirisch sind — zu veröffentlichen; und daran tut man vielleicht nicht ganz recht. So kennt der Verfasser dieser Zeilen schon verschiedene solche einfache Methoden oder Hülfsmittel anderer Finanzmathematiker, die nicht veroffentlicht worden sind, und ebenso hat er auch selbst seit vielen Jahren verschiedene andere mehr oder wenig empirische Methoden dieser Art benutzt, von denen unten die eine etwas naher erörtert werden soll.     

Eksamen i forsikringsvidenskab og statistik ved københavns universitet. l′ del. den skriftlige prøve

Abstract

Es kann nicht fehlen, dass sich der von Mises in zwei jüngst erschienenen Abhandlungen ¹ “Fundamentalsätze” und. “Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung” in Lichtensteins mathem. Zeitschrift, 4 und 5. Band. angebahnten Neuordnung der Wahrscheinliehkeitsrechnung eine solche der mathematischen Statistik (in der Folge m. St.) anschliesst. Der genannte Forscher hat sie auch bereits angekündigt, ² Ibid. Band 5. S. 52. Wenn ich es trotzdem unternehme, in diesem Zeitpunkte mich über die Grundlagen dieser Wissenschaft zu äussern, so habe ich die Auffassung, dass bei dieser Neuordnung die Bedürfnisse der Praxis nicht übersehen werden sollten. Die Entwicklung, welche die theoretische Statistik auf Grund einer axiomatisch fundierten Wahrscheinlichkeitsrechnung mogölicherweisenehmen könnte, lässt die Befürchtung nicht von der Hand weisen, dass die der Forschung abträgliche Kluft, die dermalen zwischen den mathematisch orientierten und den Verwaltungs-Statistikern besteht, sich noch erweitere. Es ist an sich zu beklagen, dass die grosse schöpferische Arbeit der Ersteren auf die Praxis so gut wie keinen Einfluss genommen hat. In unseren Quellenwerken werden alljährlich grosse Mengen von Absolut- und Relativzahlen ohne jeden Anhaltspunkt fär ihre kritische Wertung veröffentlicht, obgleieh schon in der ersten theoretischen Statistik (von Theodor Wittstein), also schon vor mehr ala 50 Jahren, die bezäglichen Anforderungen klar formuliert und nachmalig des öfteren wiederholt wurden.     

Randbemerkungen über den Verlauf der Deckungskapitalien; ihre differentialgleichungen und gewisse ihnen angeknüpfte identitäten

Abstract

Es kann in der Lebensversicherung mitunter von Interesse sein eine gewisse Übersicht darüber zu gewinnen wie sich das Deckungskapital irgend eines vorgelegten Versicherungsbestandes (unter bestimmter Voraussetzung der Sterblichkeit und des Zinsfusses) mit den Jahren ändern wird. Es handelt sich dabei oft um die Abschätzung des Zeitspunktes für den Eintritt des Maximums des Deckungskapitals eines solchen Bestandes, und um die Höhe dieses Kapitals zu diesem Zeitpunkte. Solche Fragen entstehen z. B. bei aussterbenden Versicherungseinrichtungen und namentlich bei Übertragungen von ganzen Versicherungsbeständen, wie sie in dieser Zeit so häufig vorkommen. Der Gegenstand bietet kaum Schwierigkeiten, ist vielmehr theoretisch einfach; jedoch aber nicht ohne Interesse, weshalb eine ganz kurze Auseinandersetzung angepasst sein dürfte. Wir werden dann bei derselben Gelegenheit, obwohl es für die so gestellte Aufgabe nicht nötig war, einige allgemeine Differentialgleichungen und Identitäten ableiten, die mit derselben Aufgabe in enger Verbindung stehen.     

Ans?tze einer Betriebswirtschaftlichen theorie des versicherungsunternehmens

Zusammenfassung Insgesamt liegen für eine güterliche Theorie des Wirtschaftens im Versicherungsunternehmen bereits heute viele Ans?tze vor, insbesondere soweit es den Risikoausgleichsproze? betrifft. Dagegen stecken die produktionstheoretischen Ans?tze für die übrigen Input-Output-Beziehungen noch in den Kinderschuhen. Dies entpricht dem allgemein zu beobachtenden Rückstand in der betriebswirtschaftlichen Erforschung von Dienstleistungsunternehmen.      

Zur Theorie der Selekttafeln

Die Untersuchung der Sterblichkeit einer Bevölkerung zeigt, dass die Sterblichkeitsfunktionen (Sterbenswahrseheinlichkeit, Erlebenswahrscheinlichkeit, Sterblichkeitsintensität u. a. m.) nur von einer Veränderlichen, dem Alter abhängen. Im Gegensatz hiezu zeigen bekanntlich die Sterblichkeitsuntersuchungen, die an versicherten Personen vorgenommen wurden, eine Abhängigkeit der Sterblichkeitsfunktionen von zwei Parametern, dem Alter und der seit Versicherungsbeginn abgelaufenen Dauer. Diese Untersuchungen lehren, dass die Sterblichkeit der Neueingetretenen weitaus geringer ist als die Sterblichkeit von Personen, die bereits längere Zeit hindurch versichert sind und dass die Sterblichkeit der Neueingetretenen erst im Laufe einiger Jahre dieses Mass erreicht. Quantitativ wird diese Abhängigkeit der Sterblichkeit von der seit Versicherungsbeginn abgelaufenen Dauer durch die Selektionstafeln beschrieben, als Erklärung für diese Erscheinung wird teils die Auslese der Versicherungsgesellschaften, teils die Selbstauslese der Versicherten angeführt.     

Zur theorie der stabilität statistischer Reihen

Abstract

Wie ist die auffallende Gesetzmässigkeit der auf Massenbeobachtungen beruhenden statistischen Zahlen zu erklären? Wie sind deren Schwankungen rationell zu deuten? Diese Fragen bilden den eigentlichen Kernpunkt jeder Theorie der Statistik, die mehr sein will, als ein buntes Nebeneinander von technischen Regeln über den Modus procedendi beim Sammeln und Ordnen der Massenbeobachtungen.