Eine approximative Technik der Invaliditätsversicherung

Abstract

Die wichtigsten Rechnungsgründe der Invaliditätsversicherung sind, neben dem Zinsfuss, die Invaliditätshäufigkeit der Aktiven und der Abgang der Invaliden (infolge Sterblichkeit und Reaktivierung). Dieser wird gewöhnlich vom Alter und von der verflossenen Dauer der Invalidität, jene (i_x ) dagregen nur vom Lebensalter abhängig angenommen. Neben diesen Hauptrechnungsgründen ist noch die Anzahl Aktiven, nötig.     

Zur Kritik der Ersatzmethoden der direkten Bestimmung von Erbzahlen bei nicht repräsentativem Material

Abstract

Für die Untersuchung auf bestimmte Erbzahlen bei unvollständigem einseitig ausgelesenem Material gibt es zwei Methoden : 1. den Vergleich der in dem un vollständigen Material gefundenen Häufigkeit bestimmter Merkmalträger mit der Erwartung auf Grund der Annahme einer bestimmten Erbregel , wobei k die Grösse der Sippschaften, p die erwartete Erbzahl und q = 1 ? p ist. Diese Formel ist von mir schon 1912 aufgestellt. Bernstein nennt diese Methode nicht sehr glücklich die apriorische. Erstmals ist sie 1916 praktisch von Apert angewandt. Man wird sie besser als direkte Vergleichsmethode bezeichnen.

2. Die Feststellung der Häufigkeit s des Merkmals bei den Gesehwistern seiner Träger, T. Ist deren Zahl t, k die Sippschaftsgrösse, t_x die Zahl der Träger mit x Trägergeschwisten, so ergibt sich theoretisch .

     

Über die Konvergenz des Iterationsverfahrens bei der Berechnung des effektiven Zinsfusses der Anleihen

Abstract

1. Auf den Seiten dieser Zeitschrift hat man mehrmals die Frage nach der Anwendbarkeit der Iteration zur Errechnung der Effektivverzinsung der Anleihen diskutiert. ¹ In erster Linie sind hier die folgenden Aufsätze zu erwahnen : Man ist dabei von der Formel ausgegangen, wo i ₁ nomineller Zinsfuss, k Ausgabekurs, F_t Rückzahlung nach t Jahren und ist. Es hat sich ergeben, dass der direkte Iterationsprozess in der Regel, d. h. in den in der Praxis wirklich vorkommenden Fällen, zu konvergieren scheint, jedoch lassen sich auch Beispiele konstruieren, wo dies nicht der Fall ist ² Ein solches hat Herr von Mises a. a. O. vorgeführt. , und es dürfte, wie Herr Holme bemerkt hat, sehr schwer sein, dasjenige Gebiet abzugrenzen, innerhalb dessen die genannte Konvergenz sich bewührt. Man kan zwar, wenigstens teilweise, der Meinung des Herrn Steffensen ¹ In erster Linie sind hier die folgenden Aufsätze zu erwahnen : beitreten, dass die Frage nach der mathematischen Konvergenz des Verfahrens für die Praxis von untergeordneter Bedeutung ist, weil es dem Praktiker in erster Linie nur darauf ankommt, wie schnell eine qenüqende Annäherung zu erreichen ist. Die Frage besitzt jedoch unleugbares theoretisches Interesse, wozu noch kommt, dass es auch dem Praktiker nicht gleichgültig sein kann, ob und in welchen Fällen ein Verfahren überhaupt verwendbar ist. Es dürfte daher nicht überflüssig sein, eine möglichst allgemeingültige Lösung der Frage zu suchen. Dies ist der Zweck der folgenden Zeilen.     

äber das Gauss'sche Fehlergesetz

Abstract

Das Gauss'sche Fehlergesetz besagt bekanntlich, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der zufällige Fehler einer Beobachtung zwischen zwei Grenzen x ₁ und x ₂ (>; x ₁) liegt, durch das Integral gegeben ist, wo σ eine Konstante bedeutet, die von den Anordnungen bei der Beobachtung und vom Beobachter abhängt. Die Bedeutung dieses Gesetzes ist indessen nicht auf die Fehlertheorie beschränkt, sondern dasselbe spielt eine wichtige Rolle in mehreren Wissensgebieten, wo statistisches Material bearbeitet wird, besonders in der Biologie. Es ist deshalb sehr wünschenswert einen richtigen Einblick darin zu gewinnen, unter welchen Umständen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von der genannten Art entsteht. Gauss' eigene Herleitung stützt sich auf verschiedene Annahmen, die vielleicht in der Fehlertheorie plausibel sind, in anderen Gebieten aber keine Berechtigung haben, und dieselbe kann deshalb nicht einer allgemeinen Theorie zu Grunde gelegt werden.     

Zur Berechnung des effektiven Zinsfusses

Im Jahrgang XV, 1932, der Aktuarietidskrift, S. 225, versucht Herr Holme den Nachweis zu liefern, dass die Gleichung für den effektiven Zinsfnss i einer Anleihe (i ₁ = nomineller Zinsfuss, k = Ausgebekurs, F _t = Rückzahlung nach t Jahren) durch Iteration lösbar sei. Der Beweis ist jedoch lückenhaft. Es wird S. 227 für den Fall k < 1 nur gezeigt, dass mit als Anfangswert die Iterierten von ungeradem Index eine fallende, die von geradem Index eine steigende Folge bilden, wobei der gesuchte Wurzelwert zwischen den Folgen eingeschlossen wird. Es fehlt jedoch der Nachweis dafür, dass die Grenzwerte der beiden Folgen zusammenfallen und gleich dem Wurzelwert sind. Dieser Nachweis lässt sich nicht erbringen und die Behauptung, dass die Gl. (1) sich bei k < 1 durch Iteration lösen lässt, ist im allgemeinen unrichtig.     

Über die Bestimmung des systematischen Fehlers,den man bei der Schätzung gewisser Funktionen apriorischer Wahrscheinlichkeiten aus empirischen relativen Häufigkeiten begeht,mittels einer unendlichen Reihe

Abstract

A. A. Tschuprow hat in seinen beiden Schriften: Grundbegriffe und Grundprobleme der Korrelationstheorie. Leipzig und Berlin 1925. (zitiert als A) und On the mathematical expectation of the moments of frequency distributions. Biometrica Bd. XII. (zitiert als B) die Grundlagen der Theorie der systematischen Fehler in der Wahrscheinlichkeitslehre im Zusammenhang entwickelt. Von ihm wird stets das Schema der Ziehungen aus einer Urne mit pk weissen und qk roten Kugeln (p + q= 1) zugrunde gelegt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, mit N Zügen mit Zurücklegen r weisse Kugeln zu ziehen:      

Über die Berechnung der Leibrente bei Veränderung des Zinsfusses.

Abstract

Herr K. A. POUKKA hat in einer unter dem gleichem Titel erschienenen Arbeit¹ fü die zum Zinsfuss i+h zu berechnende Leibrente eine Näherungsformel. abgeleitet, welche sehr zufriedenstellende Resultate gibt. Die Formel wird aus der Reihenentwicklung gewonnen, für welche Herr POUKKA eine Ableitung mitteilt.     

Die wahrscheinliche Le bensdauer und die Sterblichkeitsmessung

Im Gegensatz zur durchschnittlichen Lebensdauer hat die wahrscheinliche Lebensdauer in der Versicherungstechnik wohl kaum je eine wirkliche Anwendung gefunden. Der Grund hierfür dürfte hauptsächlich in der recht schwierigen mathematischen Definition dieser Masszahl zu such en sein. Während die durchschnittliche Lebensdauer bekantlich explicite definiert ist, so ist die wahrscheinliche Lebensdauer — wir werden sie mit t^tx bezeichnen — implicite durch die Gleichung definiert.     

Über eine Ungleichung der mathematischen Statistik

Abstract

1. Es sei ?(x) eine für ? ∞ < x < + ∞ reelle nichtnegative Funktion, die für x = a ihr Maximum hat und von a nach beiden Seiten monoton abnimmt. ¹ d. h. ?(x) ≦ ?(x′) für jedes x und jedes zwischen α und x gelegene x′. Ferner sei und konvergent.     

Sur un point de la théorie des erreurs accidentelles

Abstract

Dans son traité de la théorie des erreurs ¹ Theorie der Beobachtungsfehler, Leipzig 1891. M. E. Czuber s'occupe page 202–204 du calcul de la valeur probable de la plus petite erreur dans une série d'observations. En admettant la loi de Gauss il en trouve l'expression , où n est le nombre des observations et . Afin d'évaluer l'intégrale qui représente σ, M. Czuber la remplace par , eu remarquant que la valeur de est très petite, dès que k est en quelque façon considérable. Pour les petites valeurs de x la fonction θ(x) ne diffère que légèrement de hx, dit-il ensuite, de sorte que nous aurons comme valeur approchée de σ . En supposant le nombre n très grand, il est clair, dit M. Czuber, qu'on peut choisir k de manière que (1-hk)ⁿ⁺¹ soit négligeable; il parvient ainsi à la valeur definitive .     

Eksamen i forsikringsvidenskab og statistik ved københavns universitet. l′ del. den skriftlige prøve

Abstract

Es kann nicht fehlen, dass sich der von Mises in zwei jüngst erschienenen Abhandlungen ¹ “Fundamentalsätze” und. “Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung” in Lichtensteins mathem. Zeitschrift, 4 und 5. Band. angebahnten Neuordnung der Wahrscheinliehkeitsrechnung eine solche der mathematischen Statistik (in der Folge m. St.) anschliesst. Der genannte Forscher hat sie auch bereits angekündigt, ² Ibid. Band 5. S. 52. Wenn ich es trotzdem unternehme, in diesem Zeitpunkte mich über die Grundlagen dieser Wissenschaft zu äussern, so habe ich die Auffassung, dass bei dieser Neuordnung die Bedürfnisse der Praxis nicht übersehen werden sollten. Die Entwicklung, welche die theoretische Statistik auf Grund einer axiomatisch fundierten Wahrscheinlichkeitsrechnung mogölicherweisenehmen könnte, lässt die Befürchtung nicht von der Hand weisen, dass die der Forschung abträgliche Kluft, die dermalen zwischen den mathematisch orientierten und den Verwaltungs-Statistikern besteht, sich noch erweitere. Es ist an sich zu beklagen, dass die grosse schöpferische Arbeit der Ersteren auf die Praxis so gut wie keinen Einfluss genommen hat. In unseren Quellenwerken werden alljährlich grosse Mengen von Absolut- und Relativzahlen ohne jeden Anhaltspunkt fär ihre kritische Wertung veröffentlicht, obgleieh schon in der ersten theoretischen Statistik (von Theodor Wittstein), also schon vor mehr ala 50 Jahren, die bezäglichen Anforderungen klar formuliert und nachmalig des öfteren wiederholt wurden.     

Über den Einfluss einer Änderung der Sterblichkeit auf die Prämienreserve

Abstract

In einer Note über die Theorie des Deekungskapitales habe ieh für das reduzierte Kapital der gemisehten Versicherung auf die Beträge At den Ausdruck gebraueht (1) wobei als Deckungsintensität bezeichnet wurde.     

Anwendung der Volterra'schen Integralgleichungen in der mathematischen Statistik

Abstract

In der vorliegenden Abhandlung, welche einen Auszug aus den in den Abhandlungen der tschechoslowakischen Akademie für Wissenschaften (Rozpravy ?eské akademie) veröffentlichten Arbeiten darstellt ¹ Pon?iti Volterrových integrálnich rovnie v matematické statistice Jahrg. XXVI. No. 26, Praha 1917. O jisté integrodifferenciálni rovnici Jahrg. XXIX. No. 15, Praha 1920. wird die Theorie der Integral- und Integrodifferentialgleichungen auf die Lösung wichtiger Probleme der mathematischen Statistik angewendet. Das Ziel der Arbeit ist zu zeigen, dass die Volterra'schen Integral- und Integrodifferentialgleichungen die mathematische Grundlage für die Beschreibung zahlreicher sog. Kollektiverscheinungen bilden. Es handelt sich dabei um Probleme, welche die Praxis bereits seit langer Zeit mittels angenäherter Methoden durch Rekursionsprozesse oder mit, Hilfe von Hypothesen, die dem heutigen Stande unseres Wissens nicht mehr entsprechen, löst. Diese Probleme, wenn wir sie genau formulieren und auf alle Erkenntnise der Praxis und Theorie Rücksicht nehmen wollen, führen zu den Integral- und Integrodifferentialgleichungen, ohne deren Studium die Lösung also nicht vollständig ist.     

On the connection between tests of significance for correlation coefficients and for differences between means

1. Some questions about the connection between statistical tests of significance for simple and multiple correlation coefficients and for differences between sample means (and between sample means and population means) of variables of one or several dimensions are treated in this paper. The distributions of the random variables that are considered in such tests are given, under certain conditions, by frequency functions of the following types ¹ the recently published treatise “Mathematical Methods of Statistics” by Professor Harald Cramér (Uppsala 1945). : where - ∞ < t < ∞, n≧1; where where 0 < t < ∞, k≧1, n≧k; and where .     

Über Chr. Kramp's versicherungsmathematische Arbeiten und seine Formel zur Darstellung der Sterblichkeit,nebst einigen Bemerkungen über die Bestätigung seiner Ansichten durch neuere Untersuchungen

Abstract

Christian Kramp, geb. am 10. 7. 1760, gest. am 13. 5. 1826, war einer der berühmtesten Mathematiker seiner Zeit. Seine Hauptwerke, die »Analyse des refractions astronomiques et terrestres» (die sehr viel mehr hält, als der bescheidene Titel verspricht) und die »Arithmétique universelle» werden sogar heute noch manchmal in Schriften zitiert, die sich mit dem Wahrscheinlichkeits-Integral und mit der Theorie der Fakultäten beschäftigen. Um so auffallender ist es, dass zwei Beiträge Kramp's zur Versicherungs-Mathematik in den Jahrgängen 1787 und 1788 des »Leipziger Magazins für reine und angewandteMathematik» bis heute ganz unbeachtet geblieben sind. Die erste Abhandlung ist betitelt: Versuch, die Natur der bisher bekannt gewordenen Sterblichkeitstafeln durch einfache Gleichungen zu bestimmen», die zweite: »Entwurf einer Einrichtungöffentlicher Leibrentenkassen». Auch der Hinweis NEUMANN's in seiner grossen Übersicht über die VersicherungsLiteratur des 18. Jahrhunderts im Jahrgang 1912 der Zeitschr. f. d. gesamte Versich.-Wissensch. hat nicht vermocht, die Aufmerksamkeit der Fachwelt auf die Aufsätze KRAMP's zu lenken.     

On the remainder in the central limit theorem

Abstract

Let X^bv (v = 1,2, ..., n) be independent random variables with the distribution functions F_bvx) and suppose . We define a random variable by where and denote the distribution function of X by F (x.