Über die herleitung einiger formeln für mittlere fehler

Abstract

In meiner Arbeit »Zur Korrelationstheorie»¹ habe ich u. a. Formeln zur Berechnung des mittleren Fehlers eines partiellen Regressionskoeffizienten und eines partiellen Korrelationskoeffizienten abgeleitet. Die hierbei angewandte Methode liefert zwar das Resultat in aller Strenge, sie lässt aber noch an Einfachheit zu wunschen ubrig, und es geht aus den Entwickelungen nicht hervor, inwieweit sie auf andere gleichartige Aufgaben anwendbar ist. Im folgenden wird eine Darstellung dieser Methode gegeben, indem versucht wird, dieselbe so einfach wie moglich zu gestalten und die Tragweite derselben zugleich moglichst klar hervortreten zu lassen.     

Über Chr. Kramp's versicherungsmathematische Arbeiten und seine Formel zur Darstellung der Sterblichkeit,nebst einigen Bemerkungen über die Bestätigung seiner Ansichten durch neuere Untersuchungen

Abstract

Christian Kramp, geb. am 10. 7. 1760, gest. am 13. 5. 1826, war einer der berühmtesten Mathematiker seiner Zeit. Seine Hauptwerke, die »Analyse des refractions astronomiques et terrestres» (die sehr viel mehr hält, als der bescheidene Titel verspricht) und die »Arithmétique universelle» werden sogar heute noch manchmal in Schriften zitiert, die sich mit dem Wahrscheinlichkeits-Integral und mit der Theorie der Fakultäten beschäftigen. Um so auffallender ist es, dass zwei Beiträge Kramp's zur Versicherungs-Mathematik in den Jahrgängen 1787 und 1788 des »Leipziger Magazins für reine und angewandteMathematik» bis heute ganz unbeachtet geblieben sind. Die erste Abhandlung ist betitelt: Versuch, die Natur der bisher bekannt gewordenen Sterblichkeitstafeln durch einfache Gleichungen zu bestimmen», die zweite: »Entwurf einer Einrichtungöffentlicher Leibrentenkassen». Auch der Hinweis NEUMANN's in seiner grossen Übersicht über die VersicherungsLiteratur des 18. Jahrhunderts im Jahrgang 1912 der Zeitschr. f. d. gesamte Versich.-Wissensch. hat nicht vermocht, die Aufmerksamkeit der Fachwelt auf die Aufsätze KRAMP's zu lenken.     

Über die Grundformeln der Invaliditätsversicherung

Abstract

Zweck dieser Arbeit ist die Entwicklung des Formelbestandes der biometrischen Grössen der Invaliditätsversicheruugunter möglichst allgemeinen, sogleich näher zu präzisierenden Voraussetzungen. Bekanntlich hat die Invaliditätsversicherung in seinen verschiedellen Formen (Pensions- und Sozialversicherung, Mitversicherung zusätzlicher Invaliditatsrente oder Prämienfreiheit im Invaliditätsfall bei Kapitalversicherungen n. a. m.) mit vielen Schwierig-keiten zu kämpfen, und zwar sowohl in praktischer als auch in theoretischer Hinsicht. Auf die praktischen Schwierigkeiten solI hier nicht näher eingegangen werden, es genügt auf die diesbezügliche sehr umfangTeiche Literatur zu verweisen; im folgendell wird vorausgesetzt, dass bestimmte Konventionen hinsichtlich solcher Begriffe wie Aktivität (Enverbs- oder Dienstfähigkeit) und Invalidität festgelegt worden sind.     

Über die konstruktion der ausscheidetafel der aktiven

Abstract

In der technischen Behandlung der Invaliden- oder Krankenversicherung kommt die Aufgabe vor, aus der Gruppe der Lebenden die Gruppe der Aktiven auszuscheiden. Dies wird in der Praxis vielleicht ausnahmslos derart ausgeführt, dass die Gruppe derjenigen Invaliden gleichen Alters, welche im Laufe eines Jahres invalid werden, weiter Jahr für .Jahr verfolgt wird. Angenommen, dass die Anzahl der Aktiven in einem Zeitpunkt gegeben ist, lässt sich vermittels der gegebenen Wahrscheinlichkeiten die Anzahl der während eines Jahres invalid Gewordenen und am Ende des ersten Jahres und späterer Jahre lebenden Invaliden ermitteln. Die Ausscheidetafel der Aktiven wird auf diese Weise Schritt für Schritt von dem jüngsten Alter zu den höheren weiter aufgebaut.     

Eine methode zur Berechnung von Alters- und Invaliditätsrenten bei willkürlicher jährlicher Prämienzahlung

Abstract

Die sehwedische staatliche Pensionsversicherung ist bekanntlich als eine kombinierte Alters- und Invaliditätsversieherung organisiert. Mit 67 Jahren oder bei früher eingetretener Invalidität fängt die Auszahlung einer Pension an, deren Betrag sich als ein gewisses Prozent der einbezahlten Prämien ergiebt, für Manner 30 und für Frauen 24 Prozent. Diese Höchsbeträge werden jedoch für diejenigen Personen, die bei dem Inkrafttreten des Alterspensionsgesetzes eine gewisse Altersgrenze überschritten hatten, einigermassen modifiziert.     

Über die Beurteilung statistischer Reihen auf ihren Zufallscharakter

Abstract

Die folgenden Ausführungen verfolgen nicht den Zweck, neue Resultate bekannt zu machen; sie sollen nur einige der neueren Entwicklungen in einer allgemeiner verständlichen Form wiedergeben. Manche der neueren Schriften über theoretische Statistik sind nämlich in der Ableitung der Resultate so knapp und lassen den mathematischen Apparat gegenüber sachlichen Erklärungen so sehr vorwalten, dass es mitunter schwierig ist, ihnen zu folgen. ¹ Ich habe dabei beispielsweise im Auge die Arbeit Al. A. Tschuprows “Zur Theorie der Stabilität statistischer Reihen” in den Jahrgängen 1918–1919 dieser Zeitschrift, seine Arbeit “On the mathematical Expectation of the Moments of Frequency Distribution” im XII. Bande der Biometrika, in welch letzterer schon der Anblick der Seiten zeigt, wie sehr die sachliche Erklärung gegenüber dem Formelwesen zurücktritt; aber auch L. v. Bortkiewicz's “Die Iterationen” (1917) legen dem Leser stellenweise zu viel auf. Das aber liegt gewiss nicht im Interesse der Verbreitung ihrer Ergebnisse.     

über die Entwicklung der Erneuerungsfunktion in eine Potenzreihe

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In einer Personengesamtheit soll das Ausscheiden von Personen infolge Todesfall kompensiert werden durch Neuzutritte gleichaltriger Personen, sodass der Umfang der Gesamtheitkonstant bleibt.     

Über die vorausberechnung der bevölkerungsentwicklung in schweden

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Die andauernde Abnahme der Geburtenzahlen hat in den letzten Jahren ein lebhaftes Interesse für die Frage nach der künftigen Entwicklung der Bevölkerungszahl und der Altersgliederung der Bevölkerung eines Landes hervorgerufen. Es wurden hierüber einerseits eine grosse Anzahl von theoretischen Arbeiten verfasst, andererseits wurden auch wiederholt numerische Berechnungen gemacht, bei denen man von bestimmten Annahmen über die zukünftige Entwicklung der Sterblichkeit und der Geburtenhäufigkeit ausging und daraus die Altersgliederung der Bevölkerung zu verschiedenen Zeitpunkten ableitete.¹     

Über die versicherten-sterblichkeit in Finnland. 1920–1930

Abstract

Ende des Jahres 1932 trafen die finnischen Lebensversicherungsgesellschaften Massnahmen für eine gemeinsame Untersuchung über die Sterblichkeit ihrer Versicherten während des J ahrzehntes 1920–1930. In dieser Absicht gab en die Aktuare der verschiedenen Gesellschaften den Herren Dr. Emil Wessel, Dr. E. A. Hintikka und Professor Dr. R. Nevanlinna in Auftrag einen Entwurf zur Ausführung einer solchen Untersuchung zu machen. Anfang Dezember war der Vorschlag des Dreier-Komitees fertig, der auch genehmigt wurde, sodass die Arbeit im Anfang des folgenden Jahres beginnen konnte.     

Über die Begriffe Schiefheit und Exzess in der mathematischen Statistik

Abstract

Danish life assurance for some time has been characterized by a very high yield of interest as compared with a moderate official valuation rate. This has resulted in bonus additions up to several times the face amounts assured by the policies. In order to introduce new types of assurance coverage to cope with these conditions, it will prove useful to look at the valuation of life policies from a slightly new angle.     

Über Lehensversicherungsordnungen

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Eine Lebellsversicherullgsordllullg für die Mitglieder einer Vereinigung wird auf diese Weise konstruiert:     

Über die Berechnung der Leibrente bei Veränderung des Zinsfusses

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1. In dieser Zeitschrift haben die Herren Steffensen ¹ 1918, Häft. 1–2, S. 82–97. , Meidell ² 1918, Häft. 3–4, S. 180–198. und Palmqvist ³ 1921, Häft. 3, S. 152–178. Näherungsformeln zur Berechnung der Veränderung der Leibrente bei der Veränderung des Zinsfusses veröffentlicht.     

Über osculierende interpolation

In MARKOFF'S ?Differenzenrechnung? wird das allgemeine Problem der Interpolation auf folgende Weise formuliert:     

Über mechanische Ausgleichung

Wenn die Meinungen der Mathernatiker über den Wert uad die Anwendbarkeit der mechanischen Ausgleichung immer noch so sehr auseinandergehen wie es wirklich der Fall zu sein scheint, so dürfte dies wohl zum grossen Teil darauf zurückzuführen sein, dass die ganze Frage Vom rein theoretischen Staridpunkte aus trotz allem vielleicht immer noch nicht genügend beleuchtet worden ist.     

Über das Aequivalenzprinzip

Abstract

Das Prinzip von der Gleichheit von Leistung und Gegenleistung wird in der Lebensversicherungsmathematik in der Regel so ausgesprochen: Es soll für einen beliebigen, innerhalb der Versicherungsdauer gelegenen Zeitpunkt die vorhandene Rücklage im Vereine mit dem versicherungstechnischen Barwert sämmtlicher noch zu erwartender Leistungen des Versicherten stets gleich sein dem versicherungstechnischen Barwert sammtlicher noch zu erwartender Leistungen des Versicherers. Unter versicherungstechnischem Barwert ist hiebei der auf diesen Zeitpunkt unter Rücksicht auf die Wahrscheinlichkeit der Leistung und die Verzinsung bezogene Wert dieser Leistungen zu verstehen. Unter den Leistungen des Versicherers sollen die vertraglich bedingten Zahlungen, aber auch die Verwaltungskosten und Dividendenzahlungen verstanden sein. Der Zeitpunkt, auf welchen die versicherungstechnischen Barwerte der beiderseitigen Leistungen bezogen werden, ist im übrigen willkürlich, nur muss er stets für Leistung und Gegenleistung derselbe sein. Das Aequivalenzprinzip gilt in gleicher weise für den Beginn und das Ende der Versicherungsdauer. Hieraus folgt in bekannter Weise die nur vom formal mathematischen Standpunkte verschiedene, inhaltlich aber völlig gleichwertige Darstellung der Rücklage in der prospektiven bezw. retrospektiven Gestalt, während der Rücklage selbst als einer nach den gewählten Rechnungsgrundlagen zu schätzenden Grösse, immer nur ein prospektiver Charakter zukommt.     

Über die Berechnung der Leibrente bei Veränderung des Zinsfusses.

Abstract

Herr K. A. POUKKA hat in einer unter dem gleichem Titel erschienenen Arbeit¹ fü die zum Zinsfuss i+h zu berechnende Leibrente eine Näherungsformel. abgeleitet, welche sehr zufriedenstellende Resultate gibt. Die Formel wird aus der Reihenentwicklung gewonnen, für welche Herr POUKKA eine Ableitung mitteilt.     

Über die Konvergenz des Iterationsverfahrens bei der Berechnung des effektiven Zinsfusses der Anleihen

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1. Auf den Seiten dieser Zeitschrift hat man mehrmals die Frage nach der Anwendbarkeit der Iteration zur Errechnung der Effektivverzinsung der Anleihen diskutiert. ¹ In erster Linie sind hier die folgenden Aufsätze zu erwahnen : Man ist dabei von der Formel ausgegangen, wo i ₁ nomineller Zinsfuss, k Ausgabekurs, F_t Rückzahlung nach t Jahren und ist. Es hat sich ergeben, dass der direkte Iterationsprozess in der Regel, d. h. in den in der Praxis wirklich vorkommenden Fällen, zu konvergieren scheint, jedoch lassen sich auch Beispiele konstruieren, wo dies nicht der Fall ist ² Ein solches hat Herr von Mises a. a. O. vorgeführt. , und es dürfte, wie Herr Holme bemerkt hat, sehr schwer sein, dasjenige Gebiet abzugrenzen, innerhalb dessen die genannte Konvergenz sich bewührt. Man kan zwar, wenigstens teilweise, der Meinung des Herrn Steffensen ¹ In erster Linie sind hier die folgenden Aufsätze zu erwahnen : beitreten, dass die Frage nach der mathematischen Konvergenz des Verfahrens für die Praxis von untergeordneter Bedeutung ist, weil es dem Praktiker in erster Linie nur darauf ankommt, wie schnell eine qenüqende Annäherung zu erreichen ist. Die Frage besitzt jedoch unleugbares theoretisches Interesse, wozu noch kommt, dass es auch dem Praktiker nicht gleichgültig sein kann, ob und in welchen Fällen ein Verfahren überhaupt verwendbar ist. Es dürfte daher nicht überflüssig sein, eine möglichst allgemeingültige Lösung der Frage zu suchen. Dies ist der Zweck der folgenden Zeilen.     

Über den Einfluss einer Änderung der Sterblichkeit auf die Prämienreserve

Abstract

In einer Note über die Theorie des Deekungskapitales habe ieh für das reduzierte Kapital der gemisehten Versicherung auf die Beträge At den Ausdruck gebraueht (1) wobei als Deckungsintensität bezeichnet wurde.     

Über die verwendung von mittelwertprocessen in der bevölkerungsstatistik und in der Zinsrechnung

Abstract

Im Anschluss an die im Jahre 1916 erschienene Monographie von E. J. Gumbel: “Die Berechnung des Bevölkerungsstandes durch Interpolation” (Leipzig, Vogel) hat Verfasser dieser Zeilen den formalen Aufbau der für die Praxis einfachsten Interpolationsmethoden der mathematisch-statistischen Behandlung zugeführt; auf dieser Grundlage hat dann Gumbel die so erhaltenen verallgemeinerten Ansätze bereits auf praktische Fragen der Bevölkerungslehre angewendet. Im Folgenden sollen einige Resultate dieser Untersuchungen mitgeteilt werden, und zwar in Hinblick darauf, dass dieselben bei der Konstruktion von Volkssterbetafeln und bei der Ausarbeitung der Deckungssysteme in der Socialversicherung Verwendung finden können. Die für die Statistik und für die wirtschaftliche, Mathematik (z. B. Grundlegung der Zinsfunktionen). so wichtigen Mittelwertoperationen erscheinen erst durch die nähere methodische Bearbeitung in der für die zielbewusste Anwendung notwendigen Beleuchtung. Die mathematische Diskussion der Mittelwert-Interpolationen dünkt uns vom statistischen Gesichtspunkt als wesentlich, wenn auch der Verwaltungsstatistiker für primitivere Zwecke eine kürzere Behandlung der präcisen Auseinandersetzung bevorzugt. Dieser Standpunkt erweist sich als gerechtfertigt, sobald man — wie es z. B. in der Lebensversicherungstechnik der Fall ist — nicht nur Abschätzungen im Grossen vornimmt, sondern auf Grundlage des empirischen Materials feinere Berechnungen anstellt, deren numerisches Resultat von der Präcision der Ausgleichungsprocesse abhängt. Hauptziel der folgenden Betrachtung ist die genauere Festlegung der in der Verwaltungsstatistik üblichen rohen Interpolationsansätze, um auf diesem Wege solche Formeln zu gewinnen, die den Erfahrungen besser angepasst werden können und die es weiterhin ermöglichen, dass die Berechnung der auf den Interpolationsprocess beruhenden wichtigern Masszahlen (z. B. verlebte Zeit, Vermehrungsintensität, Fixirung partieller Bevölkerungsmassen, etc.) einer mathematjschen Kritik unterworfen werden können.