Eine angenäherte Methode zur Berechnung von Verbindungsrenten

Abstract

Die Methode, die hier erwähnt werden soll, ist soviel ich weiss, nicht früher bekannt. Sie geht darauf aus, einen angenäherten Wert von a_xyn ┐ durch tabulierte Funktionen aus Sterbtafeln für ein Leben, sarnt a_n ┐, auszudrücken.     

Über verschärfungen der Tschebycheff'schen ungleichung

Abstract

In der vorliegenden Arbeit werden im Anschluss an Arbeiten von K. Pearson [8]¹, A. Guldberg [5], Birger Meidell, [2], C. Lurquin [7], A. Camp [3], P. O. Berge [1]. M. Fréchet [4] u. a. weitere Versohärfungen des Tschebycheffschen Theorems behandelt und am Beispiel der Normalverteilung in ein und mehreren Variabeln durchgeführt.     

Über die Grundformeln der Invaliditätsversicherung

Abstract

Zweck dieser Arbeit ist die Entwicklung des Formelbestandes der biometrischen Grössen der Invaliditätsversicheruugunter möglichst allgemeinen, sogleich näher zu präzisierenden Voraussetzungen. Bekanntlich hat die Invaliditätsversicherung in seinen verschiedellen Formen (Pensions- und Sozialversicherung, Mitversicherung zusätzlicher Invaliditatsrente oder Prämienfreiheit im Invaliditätsfall bei Kapitalversicherungen n. a. m.) mit vielen Schwierig-keiten zu kämpfen, und zwar sowohl in praktischer als auch in theoretischer Hinsicht. Auf die praktischen Schwierigkeiten solI hier nicht näher eingegangen werden, es genügt auf die diesbezügliche sehr umfangTeiche Literatur zu verweisen; im folgendell wird vorausgesetzt, dass bestimmte Konventionen hinsichtlich solcher Begriffe wie Aktivität (Enverbs- oder Dienstfähigkeit) und Invalidität festgelegt worden sind.     

Über Lehensversicherungsordnungen

Abstract

Eine Lebellsversicherullgsordllullg für die Mitglieder einer Vereinigung wird auf diese Weise konstruiert:     

Über die Begriffe Schiefheit und Exzess in der mathematischen Statistik

Abstract

Danish life assurance for some time has been characterized by a very high yield of interest as compared with a moderate official valuation rate. This has resulted in bonus additions up to several times the face amounts assured by the policies. In order to introduce new types of assurance coverage to cope with these conditions, it will prove useful to look at the valuation of life policies from a slightly new angle.     

Über das Theorem von Tchebycheff und andere Grenzen einer Wahrscheinlichkeitsfunktion

Abstract

Wenn man eine Wahrscheinlichkeitsfunktion durch die Werte einiger ihrer ersten MOmente kennzeichnet wird sie dadurch nicht eindeutig bestimmt; den angegebenen Momenten entsprechen nlimlich unendlich viele Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Man kann abel' gewisse Grenzen der Variation dieser Verteilungen ang-eben. Wenn man die zwei ersten Momente kennt, liefert uns beispielHweise der Satz von TCHEBYCHEFF eine obere Grenze der Wahrscheinlichkeit, dass die Variable einen Wert annimmt, der ausserhalb eines gewissen rntervalls liegt. Wir werden im Folgenden in der Annahme, dass wir ausser dem zweiten Moment auch dm, vierte kennen, eine Verschärfung des Theorems von TCHEBYCHEFF liefern. Auch wollen wir versuchell, die oberen und unteren Grenzen der Wahrscheinlichkeitsfunktion, wenn die vier ersten Momente gegeben sind, zu bestimmen.     

Über das Makeham'sche Gesetz und das Zinsfussproblem bei der Leibrente

Abstract

In dem Folgenden werde ieh einige praktisehe Folgen einigen der vielen bis heute ersehienenen Arbeiten ü das MAKEHAM'sche Sterblichkeitsgesetz und das versicherungstechnische Problem bei Zinsänderungen andeuten. Es handelt sich um einige Zusammenstellungen für die praktische Verwendung einigen der vielen schönen theoretischen Resultaten in diesem Gebiete der Versicherungsmathematik; praktische Zusammenstellungen, die mir bekannt nicht früher klar ausgesprochen worden sind.     

Über osculierende interpolation

In MARKOFF'S ?Differenzenrechnung? wird das allgemeine Problem der Interpolation auf folgende Weise formuliert:     

Über mechanische Ausgleichung

Wenn die Meinungen der Mathernatiker über den Wert uad die Anwendbarkeit der mechanischen Ausgleichung immer noch so sehr auseinandergehen wie es wirklich der Fall zu sein scheint, so dürfte dies wohl zum grossen Teil darauf zurückzuführen sein, dass die ganze Frage Vom rein theoretischen Staridpunkte aus trotz allem vielleicht immer noch nicht genügend beleuchtet worden ist.     

Über das Aequivalenzprinzip

Abstract

Das Prinzip von der Gleichheit von Leistung und Gegenleistung wird in der Lebensversicherungsmathematik in der Regel so ausgesprochen: Es soll für einen beliebigen, innerhalb der Versicherungsdauer gelegenen Zeitpunkt die vorhandene Rücklage im Vereine mit dem versicherungstechnischen Barwert sämmtlicher noch zu erwartender Leistungen des Versicherten stets gleich sein dem versicherungstechnischen Barwert sammtlicher noch zu erwartender Leistungen des Versicherers. Unter versicherungstechnischem Barwert ist hiebei der auf diesen Zeitpunkt unter Rücksicht auf die Wahrscheinlichkeit der Leistung und die Verzinsung bezogene Wert dieser Leistungen zu verstehen. Unter den Leistungen des Versicherers sollen die vertraglich bedingten Zahlungen, aber auch die Verwaltungskosten und Dividendenzahlungen verstanden sein. Der Zeitpunkt, auf welchen die versicherungstechnischen Barwerte der beiderseitigen Leistungen bezogen werden, ist im übrigen willkürlich, nur muss er stets für Leistung und Gegenleistung derselbe sein. Das Aequivalenzprinzip gilt in gleicher weise für den Beginn und das Ende der Versicherungsdauer. Hieraus folgt in bekannter Weise die nur vom formal mathematischen Standpunkte verschiedene, inhaltlich aber völlig gleichwertige Darstellung der Rücklage in der prospektiven bezw. retrospektiven Gestalt, während der Rücklage selbst als einer nach den gewählten Rechnungsgrundlagen zu schätzenden Grösse, immer nur ein prospektiver Charakter zukommt.     

Über die Berechnung der Leibrente bei Veränderung des Zinsfusses

Abstract

1. In dieser Zeitschrift haben die Herren Steffensen ¹ 1918, Häft. 1–2, S. 82–97. , Meidell ² 1918, Häft. 3–4, S. 180–198. und Palmqvist ³ 1921, Häft. 3, S. 152–178. Näherungsformeln zur Berechnung der Veränderung der Leibrente bei der Veränderung des Zinsfusses veröffentlicht.     

Über die Berechnung der Leibrente bei Veränderung des Zinsfusses.

Abstract

Herr K. A. POUKKA hat in einer unter dem gleichem Titel erschienenen Arbeit¹ fü die zum Zinsfuss i+h zu berechnende Leibrente eine Näherungsformel. abgeleitet, welche sehr zufriedenstellende Resultate gibt. Die Formel wird aus der Reihenentwicklung gewonnen, für welche Herr POUKKA eine Ableitung mitteilt.     

Über den Einfluss einer Änderung der Sterblichkeit auf die Prämienreserve

Abstract

In einer Note über die Theorie des Deekungskapitales habe ieh für das reduzierte Kapital der gemisehten Versicherung auf die Beträge At den Ausdruck gebraueht (1) wobei als Deckungsintensität bezeichnet wurde.     

Über Chr. Kramp's versicherungsmathematische Arbeiten und seine Formel zur Darstellung der Sterblichkeit,nebst einigen Bemerkungen über die Bestätigung seiner Ansichten durch neuere Untersuchungen

Abstract

Christian Kramp, geb. am 10. 7. 1760, gest. am 13. 5. 1826, war einer der berühmtesten Mathematiker seiner Zeit. Seine Hauptwerke, die »Analyse des refractions astronomiques et terrestres» (die sehr viel mehr hält, als der bescheidene Titel verspricht) und die »Arithmétique universelle» werden sogar heute noch manchmal in Schriften zitiert, die sich mit dem Wahrscheinlichkeits-Integral und mit der Theorie der Fakultäten beschäftigen. Um so auffallender ist es, dass zwei Beiträge Kramp's zur Versicherungs-Mathematik in den Jahrgängen 1787 und 1788 des »Leipziger Magazins für reine und angewandteMathematik» bis heute ganz unbeachtet geblieben sind. Die erste Abhandlung ist betitelt: Versuch, die Natur der bisher bekannt gewordenen Sterblichkeitstafeln durch einfache Gleichungen zu bestimmen», die zweite: »Entwurf einer Einrichtungöffentlicher Leibrentenkassen». Auch der Hinweis NEUMANN's in seiner grossen Übersicht über die VersicherungsLiteratur des 18. Jahrhunderts im Jahrgang 1912 der Zeitschr. f. d. gesamte Versich.-Wissensch. hat nicht vermocht, die Aufmerksamkeit der Fachwelt auf die Aufsätze KRAMP's zu lenken.     

Über die verwendung von mittelwertprocessen in der bevölkerungsstatistik und in der Zinsrechnung

Abstract

Im Anschluss an die im Jahre 1916 erschienene Monographie von E. J. Gumbel: “Die Berechnung des Bevölkerungsstandes durch Interpolation” (Leipzig, Vogel) hat Verfasser dieser Zeilen den formalen Aufbau der für die Praxis einfachsten Interpolationsmethoden der mathematisch-statistischen Behandlung zugeführt; auf dieser Grundlage hat dann Gumbel die so erhaltenen verallgemeinerten Ansätze bereits auf praktische Fragen der Bevölkerungslehre angewendet. Im Folgenden sollen einige Resultate dieser Untersuchungen mitgeteilt werden, und zwar in Hinblick darauf, dass dieselben bei der Konstruktion von Volkssterbetafeln und bei der Ausarbeitung der Deckungssysteme in der Socialversicherung Verwendung finden können. Die für die Statistik und für die wirtschaftliche, Mathematik (z. B. Grundlegung der Zinsfunktionen). so wichtigen Mittelwertoperationen erscheinen erst durch die nähere methodische Bearbeitung in der für die zielbewusste Anwendung notwendigen Beleuchtung. Die mathematische Diskussion der Mittelwert-Interpolationen dünkt uns vom statistischen Gesichtspunkt als wesentlich, wenn auch der Verwaltungsstatistiker für primitivere Zwecke eine kürzere Behandlung der präcisen Auseinandersetzung bevorzugt. Dieser Standpunkt erweist sich als gerechtfertigt, sobald man — wie es z. B. in der Lebensversicherungstechnik der Fall ist — nicht nur Abschätzungen im Grossen vornimmt, sondern auf Grundlage des empirischen Materials feinere Berechnungen anstellt, deren numerisches Resultat von der Präcision der Ausgleichungsprocesse abhängt. Hauptziel der folgenden Betrachtung ist die genauere Festlegung der in der Verwaltungsstatistik üblichen rohen Interpolationsansätze, um auf diesem Wege solche Formeln zu gewinnen, die den Erfahrungen besser angepasst werden können und die es weiterhin ermöglichen, dass die Berechnung der auf den Interpolationsprocess beruhenden wichtigern Masszahlen (z. B. verlebte Zeit, Vermehrungsintensität, Fixirung partieller Bevölkerungsmassen, etc.) einer mathematjschen Kritik unterworfen werden können.     

äber das Gauss'sche Fehlergesetz

Abstract

Das Gauss'sche Fehlergesetz besagt bekanntlich, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der zufällige Fehler einer Beobachtung zwischen zwei Grenzen x ₁ und x ₂ (>; x ₁) liegt, durch das Integral gegeben ist, wo σ eine Konstante bedeutet, die von den Anordnungen bei der Beobachtung und vom Beobachter abhängt. Die Bedeutung dieses Gesetzes ist indessen nicht auf die Fehlertheorie beschränkt, sondern dasselbe spielt eine wichtige Rolle in mehreren Wissensgebieten, wo statistisches Material bearbeitet wird, besonders in der Biologie. Es ist deshalb sehr wünschenswert einen richtigen Einblick darin zu gewinnen, unter welchen Umständen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von der genannten Art entsteht. Gauss' eigene Herleitung stützt sich auf verschiedene Annahmen, die vielleicht in der Fehlertheorie plausibel sind, in anderen Gebieten aber keine Berechtigung haben, und dieselbe kann deshalb nicht einer allgemeinen Theorie zu Grunde gelegt werden.     

Krankenversicherungswettbewerb und Prämienregulierung

Ohne Zusammenfassung     

Über normale stabile statistische Reihen

Abstract

Es sei X eine zufällige Variable, welche k verschiedene Werte ξ₁, ξ₂, ... ξ _k annehmen kann, wofür die Wahrscheinlichkeiten p ₁, p ₂, ... p _k bestehen, wo p ₁ + p ₂ + ... + p _k = 1; die Gesamtheilt der Werte ξ₁, ξ₂, ... ξ _k und der ihnen zugeordneten Wahrscheinlichkeiten p ₁, p ₂, ... p _k wird das Verteilungsgesetz von X genannt. Werden an der Variablen X Versuche in der Weise vorgenommen, dass das Verteilungsgesetz stets dasselbe bleibt und die einzelne Versuche alle von einander unabhängig sind, so wird die Reihe der unter solchen Bedingungen zu stande kommenden empirisch-zufälligen Werte von X als normal stabil bezeichnet.     

Über das Theorem von Tchebycheff

Abstract

Eine Grösse X hänge in der Weise vom Zufall ab, dass sie verschiedene Werte x ₁, x ₂, … XII annimmt, je nachdem das Ereignis E ₁, oder das Ereignis E ₂ oder … oder das Ereignis E _n eintritt, wofür die Wahrscheinlichkeiten p ₁, p ₂, … p _n bestehen sollen; p ₁ + p ₂ + … + p _n = 1. Mann nennt X eine von Zufall abhängige Grösse oder X eine variable Grösse mit dem Wertevorrat (x ₁, x ₂, … x _n), wobei jedem einzelnen dieser Werte eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zukommt. Zwei Grössen X, Y mit den Individualwerten x ₁, x ₂, … x _n; y ₁, y ₂, … y _m heissen unabhängig von einander, wenn die Wahrscheinlichkeit p _i von x _i dieselbe bleibt, welches auch der Wert von Y sei, und wenn auch die Wahrscheinlichkeit q _p von y _p dieselbe bleibt, welchen Wert auch X annehmen möge.     

Über eine erweiterte Anwendung des arithmetischen Mittels und eine bemerkenswerte Beziehung mit dem Gauss'schen Exponentialgesetz

Abstract

Der wahrscheinlichste Wert einer beobachteten Grösse ist gleich dem arithmetischen Mittel aus den einzelnen Beobachtungsergebnissen. So lautet ein wichtiger Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie, und es soll hier versucht werden, diesen Satz zu verallgemeinern. Es stellt sich nämlich die Frage, wie die Sache sich verhält, wenn die beobachtete Funktion einer Grösse sich verändert, in welcher Weise der wahrscheinliche Wert dieser Funktion durch geeignete Anwendung des arithmetischen Mittels sich berechnen lässt, und wie eine voraussetzungsfreie mechanische Ausgleichung mathematisch begründet werden kann.