Eksamen i forsikringsvidenskab og statistik ved københavns universitet. l′ del. den skriftlige prøve

Abstract

Es kann nicht fehlen, dass sich der von Mises in zwei jüngst erschienenen Abhandlungen ¹ “Fundamentalsätze” und. “Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung” in Lichtensteins mathem. Zeitschrift, 4 und 5. Band. angebahnten Neuordnung der Wahrscheinliehkeitsrechnung eine solche der mathematischen Statistik (in der Folge m. St.) anschliesst. Der genannte Forscher hat sie auch bereits angekündigt, ² Ibid. Band 5. S. 52. Wenn ich es trotzdem unternehme, in diesem Zeitpunkte mich über die Grundlagen dieser Wissenschaft zu äussern, so habe ich die Auffassung, dass bei dieser Neuordnung die Bedürfnisse der Praxis nicht übersehen werden sollten. Die Entwicklung, welche die theoretische Statistik auf Grund einer axiomatisch fundierten Wahrscheinlichkeitsrechnung mogölicherweisenehmen könnte, lässt die Befürchtung nicht von der Hand weisen, dass die der Forschung abträgliche Kluft, die dermalen zwischen den mathematisch orientierten und den Verwaltungs-Statistikern besteht, sich noch erweitere. Es ist an sich zu beklagen, dass die grosse schöpferische Arbeit der Ersteren auf die Praxis so gut wie keinen Einfluss genommen hat. In unseren Quellenwerken werden alljährlich grosse Mengen von Absolut- und Relativzahlen ohne jeden Anhaltspunkt fär ihre kritische Wertung veröffentlicht, obgleieh schon in der ersten theoretischen Statistik (von Theodor Wittstein), also schon vor mehr ala 50 Jahren, die bezäglichen Anforderungen klar formuliert und nachmalig des öfteren wiederholt wurden.     

Über die Grundformeln der Invaliditätsversicherung

Abstract

Zweck dieser Arbeit ist die Entwicklung des Formelbestandes der biometrischen Grössen der Invaliditätsversicheruugunter möglichst allgemeinen, sogleich näher zu präzisierenden Voraussetzungen. Bekanntlich hat die Invaliditätsversicherung in seinen verschiedellen Formen (Pensions- und Sozialversicherung, Mitversicherung zusätzlicher Invaliditatsrente oder Prämienfreiheit im Invaliditätsfall bei Kapitalversicherungen n. a. m.) mit vielen Schwierig-keiten zu kämpfen, und zwar sowohl in praktischer als auch in theoretischer Hinsicht. Auf die praktischen Schwierigkeiten solI hier nicht näher eingegangen werden, es genügt auf die diesbezügliche sehr umfangTeiche Literatur zu verweisen; im folgendell wird vorausgesetzt, dass bestimmte Konventionen hinsichtlich solcher Begriffe wie Aktivität (Enverbs- oder Dienstfähigkeit) und Invalidität festgelegt worden sind.     

Einige versicherungsmathematische graphische Rechentafeln

Abstract

1. Der Vorteil der graphischen Tafeln liegt in ihrer Übersichtlichkeit. Anstatt einer Menge von Zahlen in Tabellen mit zwei oder mehreren Argumenten kann aUes in einer Figur anschaulich konzentriert werden. Die Genauigkeit hängt natürlich von den Ausdehnungen der Figur ab, kann aber im allgemeinen zu etwa 3 Ziffern abgeschätzt werden. Wo dies genügt, wird die Aufstellung einer graphischen Tafel hinsichtlich der Arbeitsersparnis zuweilen vorteilhaft sein, denn die rechnerische Arbeit, welche für die Konstruktion nötig ist, ist in der Regel nur ein geringer Bruchteil von dem, was sonst zu tun wäre.     

Eine analytische Reproduktionsfunktion für biologische Gesamtheiten

Abstract

Bei Individuen die durch Fortpflanzung gleichartige Individuen reproduzieren, ist die Reproduktivität im allgemeinen eine Funktion des Lebensalters des produzierenden Individuums. In der vorliegenden Arbeit werden wir für diese Reproduktionsfunktion eine analytische Formel herleiten. Es wird sieh zeigen, dass die sich auf die Entwicklung von Individuengesamtheiten beziehenden Integralgleichungen auf Grund der a priori hergeleiteten Funktion in expliziter Form auflösen lassen, ein Umstand, der sicher besondere Beacbtung verdient.     

Sterblichkeits-Statistik der Varma über erhöhteRisiken mit Anomalien hinsichtlich derKreislauforgane

Abstract

Die Lebensversicherungsgesellschaften haben fast während ihrer ganzen Tätigkeit auch solche Personen in die Versicherung angenommen, denen man die Lebensversicherung nicht zu tarifmässiger Prämie hat bewilligen können. Dessen ungeachtet ist die Erweiterung der Lebensversicherungstätigkeit auf solche Personengruppen, deren Sterblichkeit in wesentlichem Masse die Bevölkerungssterblichkeit überschreitend geschätzt wird oder die eigentliche Versicherung erhöhter (anomaler) Leben sehr neu. In Europa kann sie nur einige Jahre über 20 zählen. In Amerika hat sie schon eine etwas längere Erfahrung hinter sich. Aus der Neuheit der Tätigkeit folgt, dass es nur wenige Versichertensterblichkeitsuntersuchungen über diese Risiken gibt, weshalb man bei der Herleitung der Tätigkeitsgründe in vieler Hinsicht gezwungen ist sich auf Erfahrungen aus ziemlichfernen Kreisen zu stützen. Dazu kommt, dass die Verhältnissein den verschiedenen Ländern vielfach unterschiedlich sind, weshalb auch die Bedeutung einer Anomalie hinsichtlichder Sterblichkeit in verschiedenen Ländern eine andere sein kann.     

Eine angenäherte Methode zur Berechnung von Verbindungsrenten

Abstract

Die Methode, die hier erwähnt werden soll, ist soviel ich weiss, nicht früher bekannt. Sie geht darauf aus, einen angenäherten Wert von a_xyn ┐ durch tabulierte Funktionen aus Sterbtafeln für ein Leben, sarnt a_n ┐, auszudrücken.     

Die Lebensversicherung mit exponentiell ansteigender Prämienreserve (Sparversicherung)

Abstract

Die gebräuchlichste Form der Lebensversicherung ist heute die Kapitalversicherung auf den Todes- und Erlebensfall. Bei ihr wird im Versicherungsfall ein bestimmtes Kapital fällig; als Gegenleistung sind hierfür vom Versicherungsnehmer laufend Prämien zu entrichten in Form von gleichen Jahresbeträgen oder auch gleichen unterjährigen Raten. Dieses Prinzip, einem gleichmässigen Versicherungsschutz einerseits gleichmässig fällig werdende Prämien gleicher Höhe andererseits gegenüberzustellen, wird durch die ausgleichend wirkende Funktion der Prämionreserve möglich, welche die bisher nicht benötigten Teile (Sparprämien) der eingezahlten Prämien jeweils reserviert für die sich zukünftig durch Tad oder Ablauf mehr und mehr häufenden Versicherungsfälle. Damit erfüllt die Prämionrosorve als Regulator eine wichtige versicherungstechnische Aufgabe. Dennoch bleibt sie dem Versicherungsnehmer im allgemeinen unbekannt, weil ihre jeweilige Hohe nur mit Hilfe von umfangreichen Tabellen nach mathematischen Formeln berechnet werden kann, so dass ihr verschwiegenes Dasein nicht selten zu Missverständnissen Anlass gibt.     

Eine methode zur Berechnung von Alters- und Invaliditätsrenten bei willkürlicher jährlicher Prämienzahlung

Abstract

Die sehwedische staatliche Pensionsversicherung ist bekanntlich als eine kombinierte Alters- und Invaliditätsversieherung organisiert. Mit 67 Jahren oder bei früher eingetretener Invalidität fängt die Auszahlung einer Pension an, deren Betrag sich als ein gewisses Prozent der einbezahlten Prämien ergiebt, für Manner 30 und für Frauen 24 Prozent. Diese Höchsbeträge werden jedoch für diejenigen Personen, die bei dem Inkrafttreten des Alterspensionsgesetzes eine gewisse Altersgrenze überschritten hatten, einigermassen modifiziert.     

Anwendung der Volterra'schen Integralgleichungen in der mathematischen Statistik

Abstract

In der vorliegenden Abhandlung, welche einen Auszug aus den in den Abhandlungen der tschechoslowakischen Akademie für Wissenschaften (Rozpravy ?eské akademie) veröffentlichten Arbeiten darstellt ¹ Pon?iti Volterrových integrálnich rovnie v matematické statistice Jahrg. XXVI. No. 26, Praha 1917. O jisté integrodifferenciálni rovnici Jahrg. XXIX. No. 15, Praha 1920. wird die Theorie der Integral- und Integrodifferentialgleichungen auf die Lösung wichtiger Probleme der mathematischen Statistik angewendet. Das Ziel der Arbeit ist zu zeigen, dass die Volterra'schen Integral- und Integrodifferentialgleichungen die mathematische Grundlage für die Beschreibung zahlreicher sog. Kollektiverscheinungen bilden. Es handelt sich dabei um Probleme, welche die Praxis bereits seit langer Zeit mittels angenäherter Methoden durch Rekursionsprozesse oder mit, Hilfe von Hypothesen, die dem heutigen Stande unseres Wissens nicht mehr entsprechen, löst. Diese Probleme, wenn wir sie genau formulieren und auf alle Erkenntnise der Praxis und Theorie Rücksicht nehmen wollen, führen zu den Integral- und Integrodifferentialgleichungen, ohne deren Studium die Lösung also nicht vollständig ist.     

Über die verwendung von mittelwertprocessen in der bevölkerungsstatistik und in der Zinsrechnung

Abstract

Im Anschluss an die im Jahre 1916 erschienene Monographie von E. J. Gumbel: “Die Berechnung des Bevölkerungsstandes durch Interpolation” (Leipzig, Vogel) hat Verfasser dieser Zeilen den formalen Aufbau der für die Praxis einfachsten Interpolationsmethoden der mathematisch-statistischen Behandlung zugeführt; auf dieser Grundlage hat dann Gumbel die so erhaltenen verallgemeinerten Ansätze bereits auf praktische Fragen der Bevölkerungslehre angewendet. Im Folgenden sollen einige Resultate dieser Untersuchungen mitgeteilt werden, und zwar in Hinblick darauf, dass dieselben bei der Konstruktion von Volkssterbetafeln und bei der Ausarbeitung der Deckungssysteme in der Socialversicherung Verwendung finden können. Die für die Statistik und für die wirtschaftliche, Mathematik (z. B. Grundlegung der Zinsfunktionen). so wichtigen Mittelwertoperationen erscheinen erst durch die nähere methodische Bearbeitung in der für die zielbewusste Anwendung notwendigen Beleuchtung. Die mathematische Diskussion der Mittelwert-Interpolationen dünkt uns vom statistischen Gesichtspunkt als wesentlich, wenn auch der Verwaltungsstatistiker für primitivere Zwecke eine kürzere Behandlung der präcisen Auseinandersetzung bevorzugt. Dieser Standpunkt erweist sich als gerechtfertigt, sobald man — wie es z. B. in der Lebensversicherungstechnik der Fall ist — nicht nur Abschätzungen im Grossen vornimmt, sondern auf Grundlage des empirischen Materials feinere Berechnungen anstellt, deren numerisches Resultat von der Präcision der Ausgleichungsprocesse abhängt. Hauptziel der folgenden Betrachtung ist die genauere Festlegung der in der Verwaltungsstatistik üblichen rohen Interpolationsansätze, um auf diesem Wege solche Formeln zu gewinnen, die den Erfahrungen besser angepasst werden können und die es weiterhin ermöglichen, dass die Berechnung der auf den Interpolationsprocess beruhenden wichtigern Masszahlen (z. B. verlebte Zeit, Vermehrungsintensität, Fixirung partieller Bevölkerungsmassen, etc.) einer mathematjschen Kritik unterworfen werden können.     

Ein weg zur analyse der invaliditätsanwartschaften

Abstract

Ausgehend von der Fiktion, es sei formell eine vollständige Trennung des Invalidisierungs- und Sterbeprozesses möglich, kann man weitgehende Analogien zwischen allen Arten von Versicherungen auf den Invaliditätsfall einerseits und entsprechend bestimmten Überlebensansprüchen andererseits feststellen und dadurch zu einer einheitlichen und übersichtlichen Darstellung der Invaliditätswerte gelangen.     

Untersuchung über die Kränklichkeit in den staatlich unterstützten Krankenkassen Schwedens

Abstract

Von den Vorschriften, die für die staatlich unterstützten Krankenkassen gelten, werde ich hier nur so viel mitteilen, was für den Aufbau der mathematiscben Formeln notwendig ist, sowie einige Tatsachen, die bei Vergleichen mit anderen Kränklichkeitsmaterialien von Bedeutung sind. Im übrigen wird auf das Gesetz über Krankenkassen hingewiesen.     

Über die vorausberechnung der bevölkerungsentwicklung in schweden

Abstract

Die andauernde Abnahme der Geburtenzahlen hat in den letzten Jahren ein lebhaftes Interesse für die Frage nach der künftigen Entwicklung der Bevölkerungszahl und der Altersgliederung der Bevölkerung eines Landes hervorgerufen. Es wurden hierüber einerseits eine grosse Anzahl von theoretischen Arbeiten verfasst, andererseits wurden auch wiederholt numerische Berechnungen gemacht, bei denen man von bestimmten Annahmen über die zukünftige Entwicklung der Sterblichkeit und der Geburtenhäufigkeit ausging und daraus die Altersgliederung der Bevölkerung zu verschiedenen Zeitpunkten ableitete.¹     

Über die Beurteilung statistischer Reihen auf ihren Zufallscharakter

Abstract

Die folgenden Ausführungen verfolgen nicht den Zweck, neue Resultate bekannt zu machen; sie sollen nur einige der neueren Entwicklungen in einer allgemeiner verständlichen Form wiedergeben. Manche der neueren Schriften über theoretische Statistik sind nämlich in der Ableitung der Resultate so knapp und lassen den mathematischen Apparat gegenüber sachlichen Erklärungen so sehr vorwalten, dass es mitunter schwierig ist, ihnen zu folgen. ¹ Ich habe dabei beispielsweise im Auge die Arbeit Al. A. Tschuprows “Zur Theorie der Stabilität statistischer Reihen” in den Jahrgängen 1918–1919 dieser Zeitschrift, seine Arbeit “On the mathematical Expectation of the Moments of Frequency Distribution” im XII. Bande der Biometrika, in welch letzterer schon der Anblick der Seiten zeigt, wie sehr die sachliche Erklärung gegenüber dem Formelwesen zurücktritt; aber auch L. v. Bortkiewicz's “Die Iterationen” (1917) legen dem Leser stellenweise zu viel auf. Das aber liegt gewiss nicht im Interesse der Verbreitung ihrer Ergebnisse.     

Über eine Abrundungsmethode bei Berechnung von Pensionsraten

Abstract

Zufolge des Gesetzes über Volksrentenversicberung vom 28. Juni 1935 — das das Gesetz tiber allgemeine Rentenversicherung vom 30. Juni 1913 ersetzte — erhält jeder schwedische Staatsangehörige im Alter von 67 J abren oder bei vorheriger dauernder Arbeitsunfähigkeit Anspruch teils auf eine Grundrente, deren Höbe nur von den von einem jeden entrichteten Rentenprämien abhängig ist, teils auf eine Zusatzrente, die u. a von dem auf besondere Weise abgeschätzten Jahreseinkommen eines jeden abhängig ist.     

Das Gesetz von Gauss und die Theorie des Risikos

Abstract

1. Die Theorie des Risikos in der Lebensversicherung hat für die Praxis bisher wohl nie die Bedeutung erlangt, die man von verschiedenen Seiten für sie beansprucht hat. Die Beurteilung der Stabilität einer Versicherungsanstalt gegen Sterblichkeitsschwankungen, die Festsetznng von Höchstbeträgen auf eigenem Risiko, die Bildung und Verwaltung der Sicherheitsreserven — alles dies wird wohl im allgemeinen nach verhältnissmässig wenig durchgedachten praktischen Erwägungen geregelt, ohne dass dabei die Theorie zur Sprache kommen darf.     

Stochastik,ein neues — und doch ein altes Wort

Abstract

Die junge Generation von Wahrscheinlichkeitstheoretikern benutzt mit Vorliebe die griechischen Ausdrücke stochastische Veränderliche, stochastische Funktion, stochastischer Prozess (stochastisches Geschehen) statt der Wörter statistische Veränderliche (Siehe Skand. Aktuarietidskrift 1919, Seite 1 und 204), Wahrscheinlichkeitsveränderliche, zufällige Veränderliche, Zufallsvariable, variable aleatoire, variable casuale usw. Folgerichtig sollte man daher auch den Terminus Stochastik fö die Wahrscheinlichkeitstheorie vorziehen.     

Randbemerkungen über den Verlauf der Deckungskapitalien; ihre differentialgleichungen und gewisse ihnen angeknüpfte identitäten

Abstract

Es kann in der Lebensversicherung mitunter von Interesse sein eine gewisse Übersicht darüber zu gewinnen wie sich das Deckungskapital irgend eines vorgelegten Versicherungsbestandes (unter bestimmter Voraussetzung der Sterblichkeit und des Zinsfusses) mit den Jahren ändern wird. Es handelt sich dabei oft um die Abschätzung des Zeitspunktes für den Eintritt des Maximums des Deckungskapitals eines solchen Bestandes, und um die Höhe dieses Kapitals zu diesem Zeitpunkte. Solche Fragen entstehen z. B. bei aussterbenden Versicherungseinrichtungen und namentlich bei Übertragungen von ganzen Versicherungsbeständen, wie sie in dieser Zeit so häufig vorkommen. Der Gegenstand bietet kaum Schwierigkeiten, ist vielmehr theoretisch einfach; jedoch aber nicht ohne Interesse, weshalb eine ganz kurze Auseinandersetzung angepasst sein dürfte. Wir werden dann bei derselben Gelegenheit, obwohl es für die so gestellte Aufgabe nicht nötig war, einige allgemeine Differentialgleichungen und Identitäten ableiten, die mit derselben Aufgabe in enger Verbindung stehen.     

Ein vernachlässigtes Interpolationsverfahren

Abstract

1. Kennt man eineAnzahl zusammengehöriger Werte zweier eineindeutig und stetig von einander abhängigen Variablen und will man, im allgemeinen nur naherungsweise, einen Wert der einen Variablen bestimmen, der einem gegebenen Wert der anderen entspricht, kann man sich eines der üblichen Interpolationsverfahren bedienen. Meist begnügt man sich in der Praxis mit der einfachen linearen Interpolation. Die Frage nach der Genauigkeit des so erhaltenen Resultats lässt man dabei gern dahingestellt sein, und es ist zuzugeben, dass die Bestimmung der Fehlergrenze in der Regel bei weitem mehr verwickelt und zeitraubend ist als die Durchführung der Interpolation selbst. Dieser Übelstand lässt sich in manchen Fällen, lei der lange nicht in allen, durch eine kleine Modifikation der linearen Interpolation beseitigen.     

Über eine erweiterte Anwendung des arithmetischen Mittels und eine bemerkenswerte Beziehung mit dem Gauss'schen Exponentialgesetz

Abstract

Der wahrscheinlichste Wert einer beobachteten Grösse ist gleich dem arithmetischen Mittel aus den einzelnen Beobachtungsergebnissen. So lautet ein wichtiger Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie, und es soll hier versucht werden, diesen Satz zu verallgemeinern. Es stellt sich nämlich die Frage, wie die Sache sich verhält, wenn die beobachtete Funktion einer Grösse sich verändert, in welcher Weise der wahrscheinliche Wert dieser Funktion durch geeignete Anwendung des arithmetischen Mittels sich berechnen lässt, und wie eine voraussetzungsfreie mechanische Ausgleichung mathematisch begründet werden kann.