Regen, een toepassing van dynamische programering

Veel mensen zal het wel eens overkomen zijn dat ze tijdens een wandeling overvallen werdcn door een regenbui. De eerste reactie in zo'n situatie is in de regel, hard te gaan lopen teneinde zo droog mogelijk thuis te komen. Bij sommigen echter zal ongetwijfeld wel eens de vraag zijn opgekomen hoeveel effect dat harde lopen nu heeft; als je hard loopt ben je weliswaar eerder thuis maar je vangt ook meer regen per tijdseenheid, en stel je voor dat het al gauw ophoudt met regenen. In dit verhaaltje wordt het probleem van de optimale strategie aan de orde gesteld, wat is de optimale snelheid in verschillende omstandigheden. Als criterium gebruiken we de (verwachte) totale hoeveelheid opgevangen regen. Daarbij gaan we er van uit dat de regen recht naar beneden valt en homogeen verdeeld is over de ruimte. In paragraaf 1 wordt aangenomen dat het blijft regenen. In paragraaf 2 wordt rekening gehouden met de mogelijkheid dat het ophoudt met regenen en daarna droog blijft. In paragraaf 3 nemen we aan dat het steeds opnieuw kan gaan regenen.     

Some computational aspects of a trimloss problem

In dit artikel wordt het probleem van de afvalbeperking behandeld, dat bij het snijden van papier en andere materialen optreedt. Het blijkt, dat in het geval dat de schrijvers bestudeerden, de lineaire programmerings-matrix sterk kon worden vereenvoudigd door toepassing van een gemakkelijk hanteerbaar criterium.
Voorts wordt ingegaan op het vinden van de begin-oplossing en het verdere verloop van het iteratieproces     

Forecasting the Past

Bezien wij het probleem van economische voorspelling. Wij nemen aan dat dit met een model gebeurt. Over dit model wordt de volgende veronderstelling gemaakt: Het model is een lineair stelsel van stochastische differentie-vergelijkingen. Om een voorspelling te kunnen doen met behulp van het model, hebben wij cijfers nodig omtrent de uitgangstoestand. Deze uitgangstoestand behoort tot het recente verleden, waaromtrent de statistische informatie nog on-volledig is. Dit doet het volgende probleem rijzen: Kan men het model ook gebruiken om de uitgangstoestand te “voorspellen”? Dit probleem verschilt van dat van het voorspellen van de toekomst, doordat we een additionele eis moeten stellen. De “voorspelde” vector van uitgangswaarden moet in overeenstemming zijn met de beperkte statistische informatie die wèl beschikbaar is. De auteur pakt dit probleem aan, door het minimaliseren van een gewogen som van de storingstermen in de afzonder-lijke relaties van het model. Het algoritme, waartoe dit aanleiding geeft, wordt tamelijk gedetailleerd besproken.     

Forecasting the Past

Bezien wij het probleem van economische voorspelling. Wij nemen aan dat dit met een model gebeurt. Over dit model wordt de volgende veronderstelling gemaakt: Het model is een lineair stelsel van stochastische differentie-vergelijkingen. Om een voorspelling te kunnen doen met behulp van het model, hebben wij cijfers nodig omtrent de uitgangstoestand. Deze uitgangstoestand behoort tot het recente verleden, waaromtrent de statistische informatie nog on-volledig is. Dit doet het volgende probleem rijzen: Kan men het model ook gebruiken om de uitgangstoestand te "voorspellen"? Dit probleem verschilt van dat van het voorspellen van de toekomst, doordat we een additionele eis moeten stellen. De "voorspelde" vector van uitgangswaarden moet in overeenstemming zijn met de beperkte statistische informatie die wèl beschikbaar is. De auteur pakt dit probleem aan, door het minimaliseren van een gewogen som van de storingstermen in de afzonder-lijke relaties van het model. Het algoritme, waartoe dit aanleiding geeft, wordt tamelijk gedetailleerd besproken.     

De oplossing van een kwaliteitsprobleem door het gebruik van proefschema's

Samenvatting  Het artikel geeft een beschrijving van de strategie en de methoden, die worden gebruikt voor het zoeken naar de oorzaak van een kwaliteitsvermindering bij dubbelspiralen voor gloeilampen. Er wordt niet alleen aandacht besteed aan de beschrijving en motivering van de gekozen proefschema's maar ook aan de praktische uitvoering van de experimenten. Het fabricage-proces is nl. dermate gecompliceerd dat niet kon worden volstaan met de instructie de experimenten in aselecte volgorde uit te voeren.
Het gehele onderzoek wordt uitqevoerd aan de hand van een drietal proefschema's. De keuze van het tweede en derde proefschema volgt logisch uit de uitkomsten van de voorafgaande proef. Na vol-tooiing van de derde proef is ondubbelzinnig aangetoond dat de belangrijkste oorzaak van de kwaliteitsvermindering is gevonden.     

"How to obtain the optimum from a linear programming problem, when the calculations have to be carried out in a decentralized way"

Samenvatting Er zijn verscheidene betrouwbare, snelle elektronische rekenmachines met een groot geheugen verkrijgbaar. Ondanks het feit, dat deze machines in staat zijn grote lineaire programmeringsproblemen op te lossen, blijven er een aantal over, die niet in zijn geheel opgelost kunnen worden of die om andere redenen niet in zijn geheel opgelost zullen worden. In zo'n geval wordt het totale probleem vaak gesplitst in deelproblemen. Men doet dit door aan een aantal variabelen waarden toe te kennen, waarvan men hoopt, dat ze ongeveer zo groot zullen zijn als die, die men verkregen zou hebben na oplossing van het totale lineaire programmeringsproblm. Aangezien men in de praktijk vaak genoegen neemt met pseudo-optimale antwoorden, geeft zo'n combinatie van oplossingen van deelproblemen in het algemeen bruikbare resultaten, mits de gegeven schattingen voor de variablen, die maakten dat het totale probleem gesplitst kon worden, niet te ver van de goede waarden zullen afwijken. Aangezien men dit zonder het oplossen van het totale probleem nooit te weten zal komen, blijft het raadzaam te proberen deze schattingen op een dusdanige wijze te verbeteren, dat ze de waarden behorende bij de optimale oplossing benaderen. In 1961 werd hiervoor een werkwijze ontwikkeld bij de Bataafse Internationale Petroleum Maat-schappij N.V. die op 7 maart 1962 intern gerapporteerd werd in een rapport, dat ongeveer gelijkluidt aan de titel van dit artikel. Past men de hierin beschreven werkwijze toe, dan verbetert men iteratief de schattingen en wel op een dusdanige wijze, dat de waarde van de doelfunctie van het totale probleem van stap tot stap beter wordt. Evenals in het rechtstreeks toepassen van lineaire programmering is het theoretisch mogelijk, dat twee na elkaar verkregen combinaties van resultaten, een zelfde waarde van de doelfunctie opleveren. De kans hierop wordt echter in de, in dit artikel beschreven methode, veel kleiner. Hieruit blijkt, dat de resultaten, verkregen na het verrichten van enkele stappen, een beter resultaat geven, dan de eerste schatting. Is men dus gedwongen om welke reden dan ook, het rekenwerk te stoppen, dan heeft men een beter resultaat verkregen dan dat, behorende bij de eerste schatting. Vaak zal het ook niet nuttig zijn verder te gaan met het rekenwerk, aangezien ervaring heeft geleerd, dat de grootste verbeteringen in het begin te verwachten zijn. Theoretisch kan men door het volgen van de methode het optimum bereiken. De methode werd echter niet met dit doel voor ogen antwikkeld en kan in dat geval te langzaam zijn en daardoor te kostbaar werken. Alhoewel de methode het eenvoudigst toe te passen is, indien men de deelproblemen op één plaats ter beschikking heeft, werd ze ontwikkeld teneinde gedecentralizeerd werken toe te laten. In zo'n geval zal er enige informatie van een centraal punt naar de plaatsen. waar de deelproblemen behandeld worden verzonden moeten worden en terug; deze hoeveelheid informatie is echter gering. Summary Nowadays most electronic computers have large memories and are able to carry out calculations very rapidly. Nevertheless, it may be impractical or impossible for some computers to solve very big linear programming problems without some modifications to the problem. Fortunately, the optimal answer is not always needed, but any possible improvement of an estimated answer may be of great value. In this article it is shown, how this can be reached by splitting the integrated problem of a bigger company into several natural. and much smaller, problems, linked by certain variables. Furthermore a method is described for finding an improved answer to that inte grated problem. It is reached by first estimating the linking variables and then improving this estimate in a number of systematic steps. It is developed for cases where the calculation work is carried out on a decentralized basis, but works even easier in cases where all calculation work is carried out on the same place. In the first case there has to be a flow of information between places, where calculations on smaller problems are carried out and the place where the calculations are carried out on the sizes of the linking variables only. Theoretically the optimum may be reached in a finite number of steps, but when calculations have to stop before reaching the overall optimum, an improvement will have been achieved, since each solution obtained is at least as good as, but generally better than the preceeding one. The method is developed in 1961. For non-mathematicians it may be difficult to understand an article written in matrix-notation. Therefore, the proofs and derivations in this article are given without matrix-notation. Consequently the method will be more easily understood by those, who are likely to use it, the more so, since proofs and derivations are given for a limited number of variables and blocks only.     

A simulation approach to the problem of the relationship between business test data and conventional statistics

De conjunctuurtest is opgezet met het doel op korte termijn inzicht te verkrijgen in de bewegingen van belangrijke economische variabelen. Daartoe worden de ondernemers vragen gesteld d.m.v. een enqueteformulier omtrent grootheden als productie, afzet etc. De conjunctuurtest laat slechts 3 antwoorden toe: de variabele in kwestie is gestegen, gelijk gebleven of gedaald. Bij dit soort analyses bestaat onzekerheid over de vraag hoe een ondernemer het antwoord "geen verandering" zal interpreteren. Dit probleem is als volgt aangepakt. Voor de ondernemers zijn gespecificeerd de "response functions" p(δ) en q(δ). De functie p(δ) geeft aan de kans dat een ondernemer een stijging zal melden indien hij met een numerieke productie verandering 6 wordt geconfronteerd. De functie q(δ) geeft aan de kans dat hij een doling zal melden bij eenzelfde productieverandering δ. Vervolgens zijn voor de waargenomen productie wijzigingen in de chemische Industrie over de periode januari 1955 t / m december 1957 de waarschijnlijkheden van de meldingen "stijging" p(δ) en "daling" q(δ) bepaald. Hierna zijn met behulp van een computer de antwoorden van de ondernemers gesimuleerd. Zie voor deze techniek sectie 4.
Met behulp van de regressie analyse is vervolgens de samenhang onderzocht tussen de conjunctuurtestgegevens en de productiecijfers van traditionele statistiek. Voor de gebruikte specif caties blijkt dat de correlatie coefficienten worden ver-laagd indien de varianties van de "response" functies groter worden.     

Loten bij delicate vragen; een overzicht van "randomized response"-technieken

In een populatie wenst men de fractie personen te schatten, die een zeker kenmerk vertoont. Bij het interview krijgt men vaak een weigering of een ontwijkend of een bewust onjuist antwoord op vragen m.b.t. delicate kenmerken, waardoor de schatter van de fractie onzuiver kan worden. Door gebruik te maken van statistische technieken, die de laatste tien jaren in de V.S. zijn ontwikkeld, kan men deze fractie toch zuiver schatten. Ook van kwantitatieve kenmerken, zoals de hoogte van het inkomen, kan men m.b.v. deze technieken het populatiegemiddelde zuiver schatten. Een overzicht van deze “randomized response”-technieken wordt behandeld. Een bibliografie van de tot nu toe verschenen publikaties wordt gegeven.     

The Pólya distribution

De Pólya verdeling is een zeer algemene verdeling voor een discrete variabele afhankelijk van 3 parameters. In dit artikel worden de verschillende wijzen waarop de Pdlya verdeling kan ontstaan en de verschillende vormen waarop zij kan worden beschreven samengevat.
Voorts worden de momenten bepaald en enige belangrijke eigenschappen in verband met de steekproeftheorie besproken. Tenslotte wordt aangetoond dat bekende discrete verdelingen zoals de binomiale, of de Poisson verdeling, en continue verdelingen als de exponentiële en de gamma verdeling kunnen worden opgevat als speciale gevallen van de Pdlya verdeling of uit deze door een limiet-overgang kunnen worden afgeleid. De samenhang met deze undere verdelingen is overzichtelijk samengevat in de Tabellen 1 en 2.
Vaak hebben auteurs de Pdlya verdeling onafhankelijk van elkaar afgeleid in verschillende vorm zonder dat zij hebben onderkend met een reeds bekende verdeling te maken te hebben. Hopelijk zal dit artikel ertoe bijdragen om aan een zekere verwarring een eind te maken.     

The frequency of industrial accidents

In aansluiting aan een artikel van B. A. Maguire, E. S. Pearsonen A. H. A. Wynn (1951), waarin een theorie wordt ontwikkeld betreffende de verdeling van de tussen twee op elkaar volgende ongevallen verlopende tijdsduur, wordt in het onderstaande een methode gegeven voor het bestuderen van de verdeling der tijdsintervallen tussen twee ongevallen bij variërende personeelsterkte.
Als resultaat van deze aanvulling is het nu mogelijk om voor verschillende bedrijven — c.q. voor eenzelfde bedrijf in verschillende perioden — de hypothese omtrent gelijke — c.q. gelijkblijvende — afhankelijkheid tussen tijdsintervallen en personeelsterkte te toetsen.     

Enige ervaringen met kursussen in de OR met behulp van management games

Samenvatting Binnen Akzo is veel ervaring opgedaan met speciaal voor dit doel ontwikkelde managementgames in OR-cursussen. Het blijkt dat deze van grote waarde zijn zowel om de motivatie te verhogen als om het inzicht te verdiepen in de toepassingsmogelijkheden van OR in de praktijk.
In dit artikel worden een tweetal cursussen beschreven en de plaats hierin van de games. Een aantal praktische ervaringen worden genoemd.
De cursussen die hier beschreven zijn bereiken door de grote motivatie van de cursisten en de vrijere wijze van doceren veel beter hun doel dan meer technische cursussen. Het instrument van het management game draagt hier zeer wezenlijk toe bij.     

Planning the maintenance of simple machinery

In het artikel is een methode beschreven voor het berekenen van de optimale tijden, waarop preventief onderhoud van apparatuur, instrumenten en machines dient te geschieden, indien deze apparatuur, enz. zich na dit preventief onderhoud zowel als na een reparatie tengevolge van een storing gedraagt alsof ze nieuw is. Gemakshalve is dit type apparatuur in de titel "simple machinery" genoemd.
In het eerste deel (paragraaf 1 en 2) wordt beschreven hoe deze optimum tijden afgelezen kunnen worden uit een aantal grafieken. Het tweede deel (paragraaf 3 t/m 9) geeft de theorie en enige additionele informatie, die verkregen kan worden door het uitvoeren van enige eenvoudige berekeningen. Deze informatie maakt het mogelijk de kosten van reparaties, preventief onderhoud, enz. en het verlies van produktieve tijd tussen een machine, waarvan het preventief onderhoudsschema optimaal is te vergelijken met dat van een machine met niet optimaal berekend onderhoudsschema.
Doordat de oorspronkelijke theorie, afkomstig van Morse [1], door de wijze van benadering en afleiding, gegeven in dit artikel eenvoudiger toegankelijk ge-worden is, kan nu in de olie-industrie worden nagegaan, welke onderhoudsschema's verbeterd kunnen worden. Hierbij wordt in gedachten gehouden, dat de theorie slechts toepasbaar is op die apparatuur, die voldoet aan bovenstaande "simple machinery" definitie.
De Appendix geeft de wiskundige afieidingen, gebruikt in het artikel.     

Generalization of Wilcoxon Statistic for the Case of k Samples.

Doel van het volgende artikel is om aan te tonen, hoe verschillende bekende ranginvariante k-steekproeven toetsen kunnen worden voortgebracht volgens één zelfdeprincipe. Dit principe is als volgt. Begin met de statistischegrootheden U_ij en U_0j van WILCOXON te construeren (U_ij uit de i-de enj-desteekproeven; U_0j uit de j-de steekproefen alle andere tezamen; i, j = 1k). Laat vervolgens het symbool T_ij de aanduiding zijn voor de genormaliseerde U_ij en T_0j voor de genormali-seerde U_0j. Beschouw tenslotte de absolute waardeofhetkwadraatvaneenzodanige lineaire functie van de T_ij of de T_0j, dat deze absolute waarde ofditkwadraateen zo groot mogelijke waarde heeft (waarbij deze maximalisering plaats vindt over een geschikte verzameling van coëfficienten-combinaties). Als resultaat verkrijgt men dan de toetsingsgrootheden van TERPSTRA, STEEL, KRUSKAL-WALLIS, en een nieuwe toetsingsgrootheid.     

The distance method for estimating densities

De afstandsmethode voor het schatten van een dichtheid, bijv. het stamtal per ha in bossen, werd voorgesteld en uitgewerkt door F. E. Essed [1], Men zou deze ook kunnen interpreteren ah een "wachttijdmethode" ter bepaling van de frequentie per tijdseenheid van een (in de tijd) poisson verdeelde gebeurtenis als het binnenkomen van gesprekken op een telefooncentrale. In dit artikel wordt de methode verder ontwikkeld, waarbij een toepassing, nl. het tellen van slakken (van de soort Galba trunculata, gastheer van de leverbot) in greppels -dit als onderdeel van een onderzoek naar de biologie van de leverbot -, nader wordt beschreven (par. 2).
Na definities (par 1.0) (in bosbouwkundige termen) van achtereenvolgens: een bos, een toevallig bos, een (homogeen) poisson-bos een locaalpoisson-bos, worden enige nieuwe schatters gedefinieerd ((1) en (2) in par. 1.1.), en hun eigenschappen voor een homogeen poisson-bos besproken. Voor een locaal poisson-bos wordt een afzonderlijke schatter besproken (par. 1.2). In par. 1.3 wordt een homogeniteits-toets besproken, alsook een dichtheidsschatter, die al naar de omstandigheden een telling van bomen of een afstandsmeting is.
In par. 1 worden de statistische technieken met enkele hulptabellen besproken. Par. 2 beschrijft het ontwikkelen van een veldmethode voor het tellen van slakken bij het leverbotonderzoek. Par. 3 geeft de wiskundige achtergrond voor de methoden beschreven in par. 1.     

Transforms for finding probabilities and variate values of a distribution function in tables of a related distribution function

Het verband tussen enige bedkende verdelingen.
In dit artikel worden enkele schema's gegeven voor het verband tussen een aantal van de meest bekende verdelingen. Bovendien wordt een aantal andere relaties besproken. He doel van dit artikel is drieledig. Ten eerste kunnen statistische afdelingen, die in het bezit zijn van een uitgebreide tabellenverzamelign de gegeven transformaties gebruiken om bestaande tabellen uit andere tabellen te vervolledigen ten dienste van bepaalde praktische toepassingen. Ten tweede kunnen statistici, die niet in het bezit van volledige tabellenverzamelingen zijn, ontbreakende tabellen vervanden tussen deze verdelingen leiden tot meer inzicht in bepaalde toetsings-methoden. Dit laatste punt wordt niet uitvoerig uitgewerkt.
Par. 1. geeft een inleiding en overzicht; par. 2 vermeldt de gebruikte symbolen en verwijst naar bekende tabellenverzamelingen; par. 3 en 4 geven schematisch de transformaties weer; par. 5 geeft een schematisch overzicht van de relaties; par. 6 geeft een aantal numerieke voorbeelden; in de appendix worden de wiskundige formules van de verdelingen vermeld.
Afleidingen worden niet gegeven.     

Price determination based on quality An Application of Minimax

Samenvatting
Het komt dikwijh voor dat een partij goederen van eigenaar wisselt zonder dat hetzij koper hetzij verkoper de kwaliteit ervan precies kennen. In dergelijke ge-vallen wordt de prijs gewoonlijk vastgesteld op basis van een door arbitrage be-paalde kwaliteit. Het in dit artikel te bespreken contract werd in de Rotterdamse haven afgesloten tussen een koper en een verkoper die geregeldpartijen van elkaar overnamen met het doel te bezuinigen op arbitragekosten en tijd. Zij trachtten dit te bereiken door het onderling eens te worden over de kwaliteit volgens van te voren contractueel vastgelegde "spelregels".
Het resulterende "spel" kan met behulp van de minimax redenering worden opgelost - en vormt als zodanig een der zeer weinige voorbeelden van een praktijk-voorbeeld van speltheorie. De spelregels hidden echter niet tot het gewenste resultaat, en men gaat nu weer met de alouds vertrouwde orthodoxe arbitrage te werk.     

Merkkeuze bij consumenten

Bij iedere aankoop van een produkt waarvan meer dan één merk wordt aangeboden, moet de consument een keuze doen uit de beschikbare merken. Welk merk wordt gekozen is afhankelijk van: eerder gekochte merken, de winkel waarin wordt gekocht en marketing variabelen zoals prijs en reclame. De invloed van eerder gekochte merken kan worden weergegeven door merkkeuzemodellen, waarvan er in het artikel enkele worden besproken. Deze modellen worden vervolgens toegepast op empirische gegevens. Hierdoor wordt inzicht verkregen in de aard van het merkkeuzeproces. Voor dezelfde empirische gegevens wordt ook de invloed op de merkkeuze onderzocht van winkelkeuze en marketing variabelen.     

Note on unbiased estimation of the squared multiple correlation coefficient

Zoals bekend is het kwadraat van de correlatie-coëfficiënt bij regressie-analyse een onzuivere schatting van zijn tegenhanger in de populatie. Deze onzuiverheid wordt afgeleid tot op de orde 1/T, waarbij T het aantal waarnemingen is. Door een schatting van deze onzuiverheid van het kwadraat van de gewone correlatie-coëfficiënt af te trekken wordt een nieuwe schatting van de correlatie in de populatie verkregen, die zuiver is tot op de orde 1/T, hetgeen van de op de gebruikelgke wijzen gecorrigeerde correlatie-coëfficiënten niet gezegd kan worden.     

Another note on the delay problem in crossing a traffic stream.

In dit artikel wordt hetzelfde vraagstuk behandeld als in dat van prof. dr. ir. J. W. COHEN in Statistica 17–1; het is gebaseerd op dezelfde algemene onder-stellingen. Maar in plaats van uit te gaan van openingen ("gaps") en verkeers-stromen zonder onderbreking ("clusters") richt het zich rechtstreeks op openingen van zodanige lengte dat dwarsverkeer mogelijk is ("Passes") en ketens van één of meer voertuigen, eventueel gescheiden door kortere onderbrekingen, die geen dwarsverkeer toelaten ("Stops"). De tijd h in het artikel van COHEN is als een-heid van tijd genomen.
Men komt dan gemakkelijk tot de algemeen geldende for mule voor de gemid-delde wachttijd, een soortgelijke formule als gebruikelijk voor de gemiddelde wachttijd van een spoedorder in de fabrieksplanning wanneer geen onderbreking van onderhanden werk is toegelaten.
Deze formule geeft duidelijke aanwijzingen voor een organisatie van het verkeer, die de gemiddelde wachttijd tot een minimum maakt. Vervolgens wordt de samenhangonderzocht tussen de twee verschillende methoden van berekening en aan-getoond, dat men de door COHEN gegeven resultaten in de voor de practijk belang-rijke gevallen ook met een eenvoudiger en meer elementaire rekenwijze bereiken kan. Voor geval 1 en 3 van COHEN'S artikel is deze berekening nader uitgewerkt.     

On the distribution of the test statistics of Kendall and Wilcoxon's two sample test when ties are present

Zoals bekend is, kan de exacte verdeling van de toetsingsgrootheid van Kendall voor rangcorrelatie als er geen gelijke waarnemingen optreden en ah de nulhypothese juist is, berekend worden met behulp van een recurrente formule. Hetzelfde geldt voor de toetsingsgrootheid van Wilcoxon voor het geval van twee steekproeven. Wanneer er wél gelijke waarnemingen optreden, kan men, zoals hier wordt aangetoond, een gegeneraliseerde recursieformule gebruiken. De berekeningsmethode, die berust op het herhaald toepassen van deze recursieformule, is minder afschrikwekkend dan die welke bestaat in het opstellen van alle mogelijke schema's en de berekening van de bijbehorende kansen.