Rovina,assicurazione e scambi di attività finanziarie

Viene fornita la soluzione in forma chiusa di un problema di ottimizzazione dinamica stocastica, consistente nella scelta ottimale tra consumo e risparmio e nella composizione ottimale di portafoglio, in presenza di possibilità di rovina assicurabile.Dal punto di vista della teoria assicurativa, il lavoro amplia alcuni modelli recenti sull'assicurazione ottima, poiché segue un approccio del tipo «equilibrio generale» con due tipi di agenti eterogenei anziché parziale.Dal punto di vista della teoria di portafoglio, esso si discosta dai modelli tradizionali perché giustifica l'esistenza di scambi sui mercati finanziari e ne spiega l'entità.In questo senso il lavoro amplia alcuni contributi recenti sui flussi di capitale includendovi la possibilità di rovina e l'esistenza di una assicurazione contro di essa.

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Summary This paper provides an analytical solution for a multiperiod stochastic optimization problem, namely consumption and portfolio choice with partial risk insurance.An opposed to some recent optimal-insurance models a general-equilibrium approach —with two classes of heterogeneous agents—is adopted.Furthermore, the paper departs from traditional portfolio analysis in that it emphasises the dynamics of financial markets and justifies the existence of market trading.In this sense, it widens some recent general-equilibrium results on capital flows by including bankruptcy risk and insurance.

     

Sulla nozione di riassunto esaustivo

Si studiano dal punto di vista formale (ponendosi in un quadro astratto molto generale) le relazioni tra la nozione di riassunto esaustivo «in senso classico» e quella di riassunto esaustivo «in senso bayesiano». In particolare si analizzano, per ciascuna di queste nozioni, le condizioni di validità della fattorizzazione di Neyman.

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Résumé On étudie d'un point de vue purement formel (en se plaçant dans un cadre abstrait très général) les relations entre la notion de résumé exhaustif «au sens classique» et celle de résumé exhaustif «au sens bayesien».On analyse notamment, pour chacune de ces deux notions, les conditions de validité de la factorisation de Neyman.

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Pubblichiamo volentieri questo articolo di G. Letta, che per l'impostazione astratta si allontana alquanto dall'ambito degli interessi scientifici di questa Rivista, perché l'argomento trattato è strettamente legato ad un lavoro di D. M. Cifarelli ed E. Regazzini recentemente comparso sul nostro periodico (vedi [3] e la 2^a parte in questo fascicolo).     

Sulle polizze vita in regime d'inflazione

In questo lavoro viene postulata e analizzata, in regime d'inflazione, una determinata condizione d'indifferenza per il contraente verso una generica polizza vita.Essa, usata da sola e insieme ad una seconda condizione standard, permette di introdurre due indici di «commerciabilità» per dette polizze, uno relativo e l'altro assoluto.In presence of an inflation ratey>0, the «actual» annual rate of interest, , produced by a generical life assurance policy results lower than the «nominal»,i, fixed on the technical basis but at same time the policy-holder's disinclination for the risk decreases.We consider a determinate indifference condition for the policy-holder to a generical life assurance policy and examine the consequent relations among the variablesi, y and , the revaluation coefficient of the premiums, life annuity funds and insured capitals.In this paper we also introduce two indexes of «marketability» — one of them is relative and the other one is absolute — for a generical life assurance policy in inflation time.     

Impostazione Bayesiana di un problema di analisi discriminatoria nell'ambito di un modello non parametrico

Seguendo l'impostazione predittiva delineata da J. Aitchison e I. R. Dunsmore (1975) viene proposto un modello non-parametrico di analisi discriminatoria dal punto di vista bayesiano.Si ricorre a tal fine ad una versione modificata dello schema di scambiabilità parziale e si utilizza il processo «mistura di prodotti di processi di Dirichlet» introdotto da D. M. Cifarelli ed. E. Regazzini (1978). Si presenta infine un'applicazione del modello ad un tipico problema di diagnosi medica.

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J. Aitchison and I. R. Dunsmore (1975) have stressed the importance of the predictive distribution for the solution of classical statistical problems. Following this approach we show initially how a modified version of the model of partial exchangeability can be usefully applied to derive the so called diagnostic distribution. Subsequently a nonparametric model of discriminatory analysis is derived, wherein a crucial role is played by a particular process named «mixture of products of Dirichlet processes» introduced by D. M. Cifarelli and E. Regazzini (1978) following a paper by C. E. Antoniak (1974) which in turn generalized the well known Dirichlet process developed by T. S. Ferguson (1973). Finally a numerical application to a medical problem is provided.

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Versione definitiva pervenuta il 24-9-81

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNAFA-CNR. L'argomento di questo lavoro mi è stato suggerito dal professor Eugenio Regazzini. A quest'ultimo ed al prof. Donato Michele Cifarelli sono grato per avermi segnalato alcune oscurità nel testo originario.     

Problemi di minimax di tipo discreto: Un approccio unificato mediante il teorema dell'alternativa di Motzkin

Si dimostrano delle condizioni del primo ordine, alcune necessarie e altre sufficienti per problemi di minimax di tipo discreto, utilizzando prevalentemente il teorema dell'alternativa di Motzkin.

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In this paper discrete minimax problems are considered.Some first order optimality conditions for minimax problems in hypothesis of different kind about the set of constraints are proved.We don't suppose that the set is convex, as treated by V. F. Dem'yanov and V. M. Malozemov.For the proofs it has often been used the alternative Motzkin's theorem.

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Pervenuto il 28-3-82

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Lavoro eseguito nell'ambito del progetto di ricerca «Equilibrio in modelli matematici con aspettative razionali».     

About an interactive model for sexual populations

In this paper the continuous random mating two-sex model with «harmonic mean» fertility function, partially investigated by Schoen (1983), is studied. Its closed form solution in the phase space is obtained in virtue of the homogeneity of the vector field considered. By introducing the notion of survival ability it has been clarified the balancing role played by the «marriage market».

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Riassunto Questo lavoro tratta il modello a «media armonica» per popolazioni sessuate parzialmente studiato da Schoen (1983). Si ricavano e si studiano dettagliatamente le soluzioni corrispondenti a quei valori dei parametri che individuano i casi più rilevanti dal punto di vista demografico. Per completezza, si presentano cornunque i diagrammi di fase in relazione a tutti i possibili valori delle «capacità di sopravvivenza». È stato così possibile definire chiaramente le situazioni che danno luogo, nel lungo periodo, a comportamenti di tipo stabile secondo la definizione di Lotka, facendo, in particolare, luce sul ruolo giocato dal «mercato matrimoniale».

     

Una nuova caratterizzatione dell'ammissibilità nella teoria delle decisioni

In questo lavoro viene fornita una nuova caratterizzazione dell'ammissibilità attraverso un adeguato uso della nozione di ammissibilità parziale. Questa caratterizzazione consente di affrontare le questioni riguardanti la completezza della classe delle decisioni ammissibiliti sotto condizioni «maneggevoli». Fornisce inoltre un approccio unificante al problema della completezza che consente di derivare, come casi particolari, alcuni risultati già noti nella letteratura sull'argomento.

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In this paper a new characterization of admissibility is given for general decision problems. It is based on an adequate use of the notion of partial admissibility.A general decision problem is usually synthetized by a triplet (, , ) where is the states (or parameters) space, the set of available decisions and is a family of real valued functions defined on and expressing numerically the consequences of choosing when the state is . The set is regarded as a subset of the space of all real valued functions on endowed with the topology of pointwise convergence.As for as admissibility is concerned all the pertinent information about decisions are contained in the corresponding functionsW .This allows to introduce a notion of partial admissibility through the neigh-bourhoods of this topology. Admissibile decisions are then shown to be limits of monotone non increasing sequences of partially admissible decisions.Moreover this topological characterization allows to prove the completeness of classes of admissible decisions under acceptable systems of conditions which contain as special cases, known results in literature.

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Lavoro svolto nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni del C.N.R.     

Margine di solvibilita' e utile industriale nella gestione di un portafoglio di assicurazioni vita

Al fine di misurare l'incidenza, sulla gestione di un portafoglio vita, dell'obbligo di costituire il margine di solvibilità, viene proposta l'analisi di un «ratio» atto a quantificare l'assorbimento di utile industriale da parte dell'incremento di margine. Varie esemplificazioni numeriche corredano il lavoro.

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The EEC Directive of 5th march 1979 imposed a minimum solvency margin applicable to life insurance companies. The annual margin increments, if positive, involve a compulsory allocation of resources. If the profits coming from the portfolio cover such a need, then the portfolio itself can maintain its margin. Nevertheless, the allocations of profits to margin do not allow those resources to be assigned to other purposes (i.e. dividends to stockholders, profit returning payments to policyholders, sales promotion, etc.). Therefore, it seems to be very interesting the comparison of the annual margin increments with the annual profits. For this purpose, an «absorption ratio» is proposed. Several assumptions about portfolio development are formulated and the corresponding absorption ratios are analyzed.

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Una prima versione di questo lavoro è stata presentata alla Scuola Internazionale «NATO A.S.I. on Insurance and Risk Theory», Maratea (Pz), luglio 1985.     

Equivocations for transposition ciphers

In a transposition cipher the message sequence is subdivided into blocks of equal length and each block is shuffled according to a chosen key. To evaluate the performance of a transposition cipher we take a Shannon-theoretic standpoint and compute relevant equivocations. It is wellknown that transposition ciphers are strongly ideal for memoryless stationary sources (key and cryptogram are independent). We consider also message equivocation and key-appearance equivocation and do not assume that the length of the intercepted cryptogram is a multiple of the block-length. The index of coincidence of the source statistics is shown to be a relevant parameter, at least asymptotically.

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Riassunto Il principio della trasposizione è uno dei più antichi in crittografia, ma non è obsoleto: i cifrari a trasposizione vengono adoperati come blocchi costitutivi di alcuni dei più autorevoli cifrari attualmente in uso, come il DES dell'IBM che è stato adottato dal National Bureau of Standards americano. Il messaggio in chiaro che si vuol cifrare viene spezzato in blocchi di ugual lunghezza e ciascun blocco viene «trasposto» (anagrammato) secondo una permutazione fissa e segreta (la chiave del cifrario). In questo lavoro le prestazioni dei cifrari a trasposizione vengono valutate dal punto di vista della teoria di Shannon, calcolando certe «equivocazioni» pertinenti: tali equivocazioni quantificano l'incertezza di una spia che abbia intercettato il crittogramma; dopo l'intercettazione le equivocazioni a priori si trasformano in equivocazioni a posteriori secondo un meccanismo di tipo bayesiano. Se la sorgente dei messaggi è data da un processo stocastico stazionario senza memoria, è ben noto che per quanto concerne la chiave le equivocazioni a priori e a posteriori coincidono: i cifrari a trasposizione sono in questo caso «fortemente ideali».Noi consideriamo anche l'equivocazione sul messaggio e quella sulla «comparsa della chiave» (quest'ultima è significativa nel caso di «attacchi con testo in chiaro»). L'equivocazione sul messaggio si ottiene da quella sulla chiave, che è una costante indipendente dalla lunghezza del crittogramma intercettato, al modo seguente: si somma un contributo periodico che si annulla solo quando tale lunghezza è un multiplo della lunghezza di blocco, e si sottrae una correzione infinitesima (pari all'equivocazione sulla comparsa della chiave) la cui velocità di convergenza è asintoticamente determinata dall' «indice di coincidenza» della distribuzione di probabilità che regola la sorgente dei messaggi.

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Questo lavoro è parte del programma di ricerca del GNIM-CNR. È incluso nel programma dell'International Symposium of Information Theory, Brighton (Inghilterra), giugno 1985.     

Decisioni di gruppo: Una rassegna dei contributi nell'ambito della teoria degli insiemi sfocati

In questo lavoro viene fornita una rassegna delle pubblicazioni più significative relative ai modelli di decisione di gruppo in ambiente sfocato (fuzzy). Particolare attenzione è stata riservata, oltre ai modelli di consenso, ai metodi per la risoluzione dei problemi di aggregazione delle preferenze individuali, per i quali si è proposta una ripartizione nelle seguenti classi: metodi euristici, metodi assiomatici e metodi di approssimazione.

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Summary The paper contains a review of contributions about the use of fuzzysets to study group decisions. The contributions about the aggregation problem are classified into heuristical methods, axiomatic methods and approximation methods.Particular attention is devoted to normal collective choice theory and consensus theory.

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Lavoro eseguito con il finanziamento C.N.R. n. 83.02619.10. I paragrafi 2.1, 2.2 e 2.3 sono dovuti a M. Fedrizzi, i paragrafi 3 e 4 a W. Ostasiewicz.     

La rovina del giocatore con dipendenza markoffiana nel processo di alternativa

Il problema della rovina del giocatore è generalizzato considerando un'ipotesi di dipendenza markoffiana omogenea nel processo di alternativa in luogo del più particolare schema bernoulliano. In tale ipotesi sono determinate esplicitamente la probabilità di rovina e la durata media del gioco. Sui risultati ottenuti sono poi basate alcune considerazioni concernenti la gestione del rischio per questa classe di modelli.

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Summary The classical gambler's ruin problem is generalized: markovian turns are considered instead of bernoullian ones. Ruin probability and expected duration of the game are explicitly derived. Some final remarks about risk management in this hypothesis are made.

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Lavoro effettuato nell'ambito delle attività della ricerca Modelli della teoria del rischio, finanziata dal M.P.I. 60%.     

Dorfman on economic interpretation of optimal control theory: An extension

In the context of a more general model of capital accumulation involving time lags in the response of the state variable (the rate of change of the capital stock) to changes in the values of the decision variables, we establish the main propositions of Optimal Control Theory by means of economic analysis.

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Riassunto Robert Dorfman [3] ha mostrato come ricavare le principali proposizioni della teoria del Controllo Ottimale attraverso l'analisi economica. Il modello d'accumulazione del capitale che lui ha formulato assume che il tasso di cambiamento dello stock di capitale risponderà instantaneamente sia ai valori delle variabili di controllo sia ai valori della variabile di stato.Noi ci proponiamo, qui di estendere il modello formulato da Dorfman con l'inclusione dilags temporali nella risposta dello tasso di cambiamento delle variabili di controllo. Stabiliamo anche quello che abbiamo denominato «the Extended Maximum Principle» usando sostanzialmente le idee di base della teoria del capitale. Infine noi mostriamo che le condizioni necessarie per l'esistenza di una soluzione ottima del nostro problema coincidono con quelle ricavate dall'analisi economica.

     

An algorithm for resource allocation with constraints in an input-output framework

In a large corporation or at the national level, planning involves a large number of inter-related activities competing for the same resources. In spite of its rather restrictive assumptions, Leontief's Input-Output model is still one of the best tool for the study of physical and financial flows between activities or economic sectors. A simple algorithm to find its solution when the available resources are limited is presented in this paper. The properties of that algorithm that was incorporated in an inter-industrial model built in Venezuela are proven and are followed by examples of application.

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Riassunto In grandi imprese o in sistemi economici nazionali la pianificazione riguarda un numero elevato di attività interrelate che fanno uso delle stesse risorse. Nonostante le ipotesi di base piuttosto restrittive, il modelloinput-output di Leontief è ancora uno degli strumenti più efficaci per lo studio dei flussi fisici e finanziari tra attività o settori economici.In questo lavoro viene presentato un semplice algoritmo per individuare la soluzione d'un problema di pianificazione quando sono limitati gli ammontari delle risorse. Sono dimonstrate alcune proprietà di questo algoritmo, che fu impiegato su un modello di relazioni interindustriali costruito in Venezuela e sono fornite alcune applicazioni esemplificatrici.

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Versione definitiva pervenuta il 14-2-1983     

Forme multilineari ed approssimate di funzioni di utilità di due variabili

Nella prima parte di questo lavoro, definita l'indipendenza tra gli attributi di una funzione di utilità di due variabiliu(x, y) si determinano forme multilineari del tipou(x, y) = ₁ u ₁ (x) + ₂ u ₂ (y) + ₁₂ u ₁ (x)u ₂ (y) e se ne studiano le proprietà.Successivamente si propongono alcune approssimazioni diu(x, y) e si verifica quali proprietà fondamentali degli ordinamenti di preferenza esse conservano. In entrambi i casi si ottengono delle forme la cui utilità acquista rilevanza nella semplificazione operativa nei problemi di decisione in condizioni di incertezza.

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Here we propose two different methods to overcome the pratical difficulties present in the application of two-attribute utility functions in decision problems under uncertainty. The first method consists in deriving them through modified preference axioms, whereas the second deals with their numerical approximations without violating the fundamental properties of preference ordering.

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Lavoro eseguito nell'ambito del C.N.R.-G.N.A.F.A.     

A non-parametric statistical model for the control of Italian insurance companies

The problem of evaluating the solvency of insurance companies is tackled through the use of a non-parametric statistical model, constructed using decision-tree techniques. The model is tested on a sample of Italian non-life insurance companies and its performance over the test period compared with those of linear and quadratic parametric models.

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Riassunto Il problema della valutazione della solvibilità delle imprese di assicurazione è affrontato con l'impiego di un modello statistico non parametrico, costruito con le tecniche degli alberi delle decisioni. Viene proposta una sperimentazione del modello su un campione di imprese assicuratrici italiane operanti nei rami nonvita ed effettuata una analisi comparata intertemporale con gli standards di efficienza registrati su modelli parametrici lineare e quadratico.

     

≪Global dynamics and controls in an irregular economy model≫

The macroeconomic model of an irregular economy proposed by B. Contini, F. Cugno and M. Galeotti (1984) is extended by increasing the number of state variables and thus the dimension of the phase space for the relative dynamical system.By showing, through standard Liapunov methods, the non existence of closed non trivial orbits, the global attractivity of the equilibrium set is proved, under suitable boundary conditions.Control policies leading the economy to a desired equilibrium state are seen to be feasible, and central instruments which appear to be effective in this respect are briefly discussed.

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Riassunto Il lavoro estende un modello macroeconomico dell'economia irregolare che è stato proposto da B. Contini, F. Cugno e M. Galeotti nel 1984.Come nello schema originario la dimensione di ciascun settore economico (quello regolare e quello irregolare) dipende dall'andamento dei costi ad esso relativi, mentre il tasso di inflazione è legato ai prezzi ed alle quote dei due diversi settori.Noi non trattiamo, tuttavia, il differenziale tra i tassi di crescita della produttività,k, come una grandezza costante, e scriviamo, invece, una nuova equazione differenziale che ne descrive la dinamica.In questo modo si ottiene uno spazio delle fasi di dimensione tre che è stratificato da varietà invarianti di dimensione due. Ciascuna di queste varietà contiene esattamente un punto di equilibrio, che si prova essere un attrattore globale, sotto opportune condizioni al bordo.Dimostriamo, infine, che nell'ambito del nostro modello è formalemente possibile controllare il settore irregolare; questo ci porta al problema economico di quali politiche centrali siano atte a far conseguire un obbiettivo fissato relativamente alla dimensione della attività regolari ed irregolari in cui si articola il sistema.

     

A de Finetti-Kolmogoroff-Nagumo type integral representation theorem for generalized means on masses

We point out that the Consistency, Continuity and Associativity properties of an extended realvalued functionalm on masses are the basic notions to get a de Finetti-Kolmogoroff-Nagumo type integral representation ofm.

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Riassunto Come è noto il teorema di de Finetti-Kolmogoroff-Nagumo formisce una rappresentazione integrale di particolari funzionali reali, detti medie, definiti per funzioni di ripartizione che distribuiscono l'intera massa su un prefissato intervallo chiuso e limitato dell'asse reale.Nel lavoro [2] gli autori hanno esteso la nozionc di media, considerata ancora come funzionale reale, dalle funzioni di ripartizione alle masse (misure finitamente additive limitate e non negative). In questo modo, estendendo ad essa le usuali proprictà (internalità, associatività, etc.), sono riusciti a provare un teorema di rappresentazione integrale analogo a quello di de Finctti-Kolmogoroff-Nagumo per medie continue ed associative definite su opportuni insiemi di masse tight (cio prive di masse aderenti a – e+).In questo lavoro, naturale prosccuzione del preccedente, si prendono invecc in considerazione medic generalizzate (cioè medie che possono assumere valori reali oppure anche i valori – c+) e masse non neccssariamente tight. Si fa allora vedere che le nozioni di consistenza, continuità e associatività per un funzionale a valori nella retta compatta e definito sulle masse non nulle, sono condizioni caratteristiche per ottencre una sua rappresentazione integrale del tipo de Finctti-Kolmogoroff-Nagumo. Si prova inoltre che, a differenza della media ariumetica, le medic generalizzate continue ed associative possono assumere valori non reali solamente su opportune masse non tight.

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Work performed under the auspices of the National Group for Sthocastic Models and Mathematical Statistics (M.R.S.T. 40%) and G.N.A.F.A. of C.N.R.     

Strong measures of concordance and convergence in probability

It is shown that convergence in probability is sufficient for a strong measure of concordance to converge to one, and that convergence to one of a strong measure of concordance, along with convergence in law, is sufficient for convergence in probability.

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Riassunto Si mostra che la convergenza in probabilità è condizione sufficiente perché una misura forte della concordanza converga a uno, e che la convergenza a uno di una misura forte della concordanza, insieme con la convergenza in legge, è condizione sufficiente per la convergenza in probabilità.

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Partially supported by M.P.I. (Gruppo di ricerca «Modelli probabilistici»).     

Ulteriori contributi a un problema di Leo Moser

Si dimostrano condizioni necessarie e sufficienti relative a punti di Kuhn-Tucker per il «problema dei dadi truccati» e viene proposto un algoritmo per la ricerca di tali punti, tramite una successione di programmi lineari.

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The author's version of the «loaded dice problem» asks for x₁ to be maximum subject tox0 andx ^T H _i x1, whereH _i is the Hankel matrix of the (2n–1)-dimensional unity vectore ⁱ (i=1,..., 2n–1).Proofs are given here about necessary and sufficient conditions for Kuhn-Tucker points, together with an algorithm for finding them by means of a sequence of linear programs.

     

On the foundations of stochastic non-price rationing and the adjustment of prices

The paper presents a general model of an economy with price stickiness. The model is structually equivalent to a generalized game. Strategies are vectors of transaction offers and the list of all agents'transaction offers determines agents'strategy sets, by means of quantity signals. An equilibrium in this game is an equilibrium with quantity rationing. If the quantity signals consist of the aggregate values of demands and supplies, then compatible rationing mechanisms must be manipulable and stochastic.The study of price adjustment between successive plays of the game calls for a measure of the size of disequilibrium in an equilibrium. Since under stochastic rationing equilibrium transaction offers differ from actual trades, the ratios of aggregrate demands and supplies provide such a measure. In order that it be reliable in spite of agents' incentives to manipulate, their preference structures must meet a (weak) condition.

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Sunto Il lavoro presenta un modello generale di un'economia con vischiosità dei prezzi. Il modello è strutturalmente equivalente a un gioco generalizzato. Le strategie sono vettori di offerte di transazione e la lista delle offerte di transazione di tutti gli agenti determina, attraverso segnali di quantità, gli insiemi di strategie degli agenti. Un equilibrio in questo gioco è un equilibrio con razionamento delle quantità. Se i segnali di quantità si identificano nei valori aggregati di domande e offerte, allora i meccanismi compatibilie di razionamento devono essere manipolabili e stocastici.Lo studio dell'aggiustamento di prezzo in successive ripetizioni del gioco richiede una misura del disequilibrio in un equilibrio. Dato che, in caso di equilibrio stocastico con razionamento, le offerte di transazione differiscono dagli scambi effettuati, i raporti tra domande e offerte aggregate fomiscono tale misura. Per renderla affidabile nonostante gli incentivi degli agenti a manipolarla, le loro strutture di preferenze devono soddisfare una (debole) condizione.

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This paper builds upon notes [Weinrich (1984c), (1984d)] written at C.O.R.E., Louvain-La-Neuve, Belgium, while I was a Research Fellow there. I am grateful to Volker Böhm and the participiants of the micro seminar at VPI & SU for helpful discussions and suggestions.