Su di una politica di bonus

Si prende in considerazione una politica di Bonus attuata da una Compagnia di assicurazione e si studia l'andamento della perdita attesa della Compagnia al variare dell'entità del Bonus nei casi in cui:

1. la funzioneL(s), che esprime il livello minimo dell'entità dei sinistri non occultabili all'istantes, sia lineare ins;
2. la funzioneL(s) renda massima la previsione del guadagno di ogni singolo assicurato.

     

Una successione di approssimanti per difetto della probabilita' di rovina

In[1] abbiamo stabilito un confine inferiore della probabilità di rovina ψ (u) cioè, psstoR=1-ψ si è mostrato che (*) $$R(u) \leqslant \frac{{1 - \tfrac{a}{c}}}{{1 - \tfrac{{a\mu }}{c}\int_0^u {(1 - F(x)) d x} }} = R(0)k_1 (u), u \geqslant 0$$ dovele costantia, c e μ e la funzioneF hanno il significato che è precisato nel seguito. Noi mostreremo l'esistenza, nella classeC _b delle funzioni continue e limitate, della soluzione dell'equazione integrale (2), cui soddisfa la funzioneR, prescindendo dalla continuità dell'operatore associato all'equazione, ma facendo ricorso soltanto a condizioni di monotonia e alla scelta diR(0)k ₁ quale funzione da cui fare partire il processo iterativo; processo che, ad ogni stadio, porge un confine superiore diR migliore del precedente, e che converge uniformemente sui limitati di [0,+∞) verso la soluzione di (2).     

Global dynamics in models of fluctuating growth Part I: Two dimensional systems

We consider a modified version of Goodwin's celebrated non-linear model of fluctuating growth, where the incomeY is a quadratic function of the capital stockk, in order to take into account the possibility of increasing or decreasing returns. The dynamics of the model is then defined by a non-autonomous system of two differential equations. Assuming the labour supply,N, and the productivity,a, to be constant in the time, the model becomes autonomous and can be embedded in a stable family of planar dynamical systems whose flows and bifurcations are globally described

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Riassunto Si considera una versione modificata del modello di crescita non-lineare di Goodwin, in cui il reddito,Y, è una funzione quadratica dello stock di capitale,k, così da permettere la possibilità di rendimenti crescenti o decrescenti. La dinamica del modello viene allora rappresentata da un sistema non autonomo di due equazioni differenziali. Con l'ipotesi che l'offerta di lavoro,N, e la produttività,a, siano costanti nel tempo, il modello diventa autonomo e può essere immerso in una famiglia stabile di sistemi dinamici piani, di cui vengono descritti i flussi globali e le biforcazioni.

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This paper relates to the activities of the M.P.I. Group Dinamiche Non-Lineari nelle Scienze Economiche e Sociali.     

Disequilibrium models due to a “learning by doing” process

Sommario Si considerino fluttuazioni e crescita in un modello neo-keynesiano in tre diverse ipotesi macroeconomiche, che danno origine a diversi modelli matematici in tempo discreto, o mappe. In particolare si analizza un modello di crescita bidimensionale, rappresentato da un endomorfismo lineare a tratti. Separando il comportamento dinamico delle pendenze di rette che escono dall'origine, dalla dinamica dei punti su tali rette, si mostra che il comportamento dinamico del modello è governato dalla dinamica di un endomorfismo unidimensionale. Ciò semplifica lo studio dei valori di biforcazione che creano rette invarianti, su cui le traiettorie sono divergenti, e consente di determinare il bacino di attrazione di regioni assorbenti che contengono i cammini di crescita, regolari o caotici.

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Fluctuations and growth in a new-keynesian model are considered in three different macroeconomic assumptions, giving rise to different mathematical models in discrete time, or maps. In particular a two-dimensional growth model represented by a piecewise linear endomorphism is analysed. Separating the dynamics of the slopes of straight lines issuing from the origin, from those of the points on these lines, it is shown that the dynamics of the model are governed by the dynamics of a one-dimensional endomorphism. This simplifies the study of the bifurcation values which create invariant lines on which the trajectories are divergent, and enable us to determine the basin of attraction of the absorbing region which includes regular or chaotic growth paths.

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This paper relates to the activities of the M.U.R.S.T. Group Dinamiche Nonlineari ed Applicazioni alle Scienze Economiche e Sociali.     

Verso un unico tipo di concavità

La classica disuguaglianza che definisce la concavità di una funzione: $$f(\alpha x + \bar \alpha y) \geqq \alpha f(x) + \bar \alpha f(y){\mathbf{ }}\bar \alpha = 1 - \alpha$$ può essere generalizzata in due modi:

1. ammettendo pesi diversi nei due membri;
2. ammettendo medie diverse dall'aritmetica.

In questo lavoro si mostra come queste due estensioni contengano vari tipi di concavità generalizzata proposti in letteratura: quasi concavità, pseudoconcavità, concavità forte, “concavificabilità”. Le due estensioni citate si possono per di più riunire in un'unica che prevede sia pesi eventualmente diversi nei due membri sia medie non necessariamente artimetiche. Presentiamo anche alcune semplici proprietà di queste funzioni concave generalizzate.     

Stop-loss a tempo continuo e protezione dinamica di un fondo d’investimento

Nella prima parte del nostro lavoro, il surplus di una compagnia d’assicurazione è modellizzato come un processo di Wiener. Consideriamo un contratto d’assicurazione dinamica di solvibilità. Secondo questo contratto, i pagamenti necessari sono effettutati istantaneamente, in modo che il surplus modificato non divenga mai negativo. Matematicamente, questo corrisponde ad introdurre una barriera riflettente in zero. Otteniamo così un’espressione esplicita per il premio netto di un tale contratto. Nella seconda parte, consideriamo un fondo d’investimento il cui valore unitario è modellizzato da un moto browniano geometrico. Differenti forme di protezione di fondi d’investimento sono esaminate. La più semplice consiste in una garanzia che fornisce istantaneamente i pagamenti necessari, di modo che il valore unitario modificato del fondo non scenda sotto un determinato livello protetto. Esiste un’espressione esplicita per il prezzo di una tale garanzia. Questo risultato può anche essere utilizzato per valutare il prezzo di una garanzia in cui il livello protetto è una funzione esponenziale del tempo. In più, è dimostrato come sintetizzare questa garanzia, costruendo il portafoglio replicante. La garanzia dinamica di fondi d’investimento è paragonata all’opzione di vendita corrispondente, e si è osservato che per delle scadenze corte, il rapporto dei due prezzi è di circa 2. Infine ci interesseremo al prezzo di una protezione più esotica, nella quale il valore unitario garantito in ogni momento è una frazione fissa del valore unitario modificato massimo osservato fino a quel momento.     

Una nota su operazioni associative,trasformate integrali e problemi di caratterizzazione in statistica

In questa nota si studia una equazione funzionale che ha interessanti applicazioni al Calcolo delle Probabilità. Si illustrano due possibilità applicative:

1. la scelta del nucleo delle trasformate integrali;
2. la caratterizzazione di opportune classi di variabili casuali.

     

≪Global dynamics and controls in an irregular economy model≫

The macroeconomic model of an irregular economy proposed by B. Contini, F. Cugno and M. Galeotti (1984) is extended by increasing the number of state variables and thus the dimension of the phase space for the relative dynamical system.By showing, through standard Liapunov methods, the non existence of closed non trivial orbits, the global attractivity of the equilibrium set is proved, under suitable boundary conditions.Control policies leading the economy to a desired equilibrium state are seen to be feasible, and central instruments which appear to be effective in this respect are briefly discussed.

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Riassunto Il lavoro estende un modello macroeconomico dell'economia irregolare che è stato proposto da B. Contini, F. Cugno e M. Galeotti nel 1984.Come nello schema originario la dimensione di ciascun settore economico (quello regolare e quello irregolare) dipende dall'andamento dei costi ad esso relativi, mentre il tasso di inflazione è legato ai prezzi ed alle quote dei due diversi settori.Noi non trattiamo, tuttavia, il differenziale tra i tassi di crescita della produttività,k, come una grandezza costante, e scriviamo, invece, una nuova equazione differenziale che ne descrive la dinamica.In questo modo si ottiene uno spazio delle fasi di dimensione tre che è stratificato da varietà invarianti di dimensione due. Ciascuna di queste varietà contiene esattamente un punto di equilibrio, che si prova essere un attrattore globale, sotto opportune condizioni al bordo.Dimostriamo, infine, che nell'ambito del nostro modello è formalemente possibile controllare il settore irregolare; questo ci porta al problema economico di quali politiche centrali siano atte a far conseguire un obbiettivo fissato relativamente alla dimensione della attività regolari ed irregolari in cui si articola il sistema.

     

Approccio di tipo max-min per la determinazione del prezzo psicologico in caso di incertezza

Si considera un modello, già noto in letteratura, in cui un produttore deve determinare il prezzo unitario di vendita del bene che produce. Scopo di questo lavoro è generalizzare il modello suddetto al caso di incertezza nell'informazione e studiare l'esistenza delle soluzioni del problema che consegue da tale generalizzazione.

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Summary Let us consider a model, known in literature, in which a producer must determine the unitary selling-price of the commodity that he produces. Purpose of this paper is to generalize such a model for case of uncertainty in the information and to study the existence for the problem connected with this generalization.

     

Impostazione Bayesiana di un problema di analisi discriminatoria nell'ambito di un modello non parametrico

Seguendo l'impostazione predittiva delineata da J. Aitchison e I. R. Dunsmore (1975) viene proposto un modello non-parametrico di analisi discriminatoria dal punto di vista bayesiano.Si ricorre a tal fine ad una versione modificata dello schema di scambiabilità parziale e si utilizza il processo «mistura di prodotti di processi di Dirichlet» introdotto da D. M. Cifarelli ed. E. Regazzini (1978). Si presenta infine un'applicazione del modello ad un tipico problema di diagnosi medica.

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J. Aitchison and I. R. Dunsmore (1975) have stressed the importance of the predictive distribution for the solution of classical statistical problems. Following this approach we show initially how a modified version of the model of partial exchangeability can be usefully applied to derive the so called diagnostic distribution. Subsequently a nonparametric model of discriminatory analysis is derived, wherein a crucial role is played by a particular process named «mixture of products of Dirichlet processes» introduced by D. M. Cifarelli and E. Regazzini (1978) following a paper by C. E. Antoniak (1974) which in turn generalized the well known Dirichlet process developed by T. S. Ferguson (1973). Finally a numerical application to a medical problem is provided.

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Versione definitiva pervenuta il 24-9-81

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNAFA-CNR. L'argomento di questo lavoro mi è stato suggerito dal professor Eugenio Regazzini. A quest'ultimo ed al prof. Donato Michele Cifarelli sono grato per avermi segnalato alcune oscurità nel testo originario.     

Conditions for the optimality of exponential smoothing forecast procedures

Exponential smoothing procedures, in particular those recommended byBrown [1962] are used extensively in many areas of economics, business and engineering. It is shown in this paper that:

1. Brown's forecasting procedures are optimal in terms of achieving minimum mean square error forecasts only if the underlying stochastic process is included in a limited subclass of ARIMA (p, d, q) processes. Hence, it is shown what assumptions are made when using these procedures.
2. The implication of point (i) is that the users ofBrown's procedures tacitly assume that the stochastic processes which occur in the real world are from the particular restricted subclass of ARIMA (p, d, q) processes. No reason can be found why these particular models should occur more frequently than others.
3. It is further shown that even if a stochastic process which would lead toBrown's model occurred, the actual methods used for making the forecasts are clumsy and much simpler procedures can be employed.

     

Sull'accumulo di un capitale in condizioni di incertezza

Si considera il problema dell'accumulo di un capitale, mediante versamenti annui in presenza di inflazione. Si assume che l'intensità di inflazione sia un processo stocastico governato da un modello lineare dinamico e si determina la distribuzione di probabilità del valore nominale tran anni di un capitale avente un prefissato valore reale (a prezzi odierni). Quindi si determinano i versamenti ottimi (nel senso della teoria delle decisioni), sia nel caso di decisione in blocco, sia nel caso di decisione sequenziale. Si considera infine il caso in cui anche i fattori di montante siano aleatori.

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The paper considers the problem of the constitution of a capital through annual deposits, when inflation is present.The intensity of inflation is assumed to be a random process driven by a dynamic linear model and then the probability distribution of the nominal value after n years of a capital, whose real value today is fixed, is determinend.Then the optimal deposits are determined, both in the case of block decision, and in the sequential case. The case of random discount factors is considered, as well.

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNAFA-CNR.     

Global dynamics in models of fluctuating growth Part II: Three dimensional systems

The dynamics of a model of fluctuating growth, where non-constant returns are allowed, is represented, under Goodwin's classical assumptions, by a non-autonomous two-dimensional system, which can be transformed into an autonomous three-dimensional one. We describe the global phase portrait of the latter, in the two cases of increasing and decreasing returns, proving, in particular, the absence of economically meaningful attractors. However the orbits exhibit different features in the two cases: namely they asymptotically converge to a singular point, where the economy dies, if the returns are decreasing, and diverge, spiralling around a certain line, if the returns are increasing.

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Riassunto Un modello non-lineare di crescita alla Goodwin, in cui i rendimenti possono essere non costanti, è rappresentato da un sistema dinamico piano non autonomo, che può essere trasformato in un sistema autonomo tridimensionale. Viene descritto il comportamento globale di quest'ultimo nei due casi di rendimenti crescenti o decrescenti. Si dimostra, in particolare, l'assenza di attrattori economicamente significativi ed il diverso carattere delle orbite: mentre, se i rendimenti sono crescenti, le traiettorie convergono asintoticamente ad un punto singolare dove l'economia muore, nel caso opposto le traiettorie sono illimitate e spiraleggiano intomo ad una retta che ha la direzione dell'assek (la variabile di stato che rappresenta lo stock di capitale).

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This paper relates to the activities of the M.P.I. Group Dinamiche Non-Lineari nelle Scienze Economiche e Sociali.     

On theE-optimality of certain asymmetrical designs under mixed effects model

TheE-optimality of the following designs within the class of all proper and connected designs with givenb, k andv under mixed effects model are established.

1. A group divisible design with λ₂ = λ₁ + 1.
2. A group divisible design with λ₁ = λ₂ + 1 and group size 2.
3. A linked block design.
4. The dual of design (i)
5. The dual of design (ii).

All these designs are known to satisfy the same optimality property under fixed effects model whenk<v, while the design (i) is known to beE-optimal even whenk>v. From the results proved here, theE-optimality of designs (ii, (iii), (iv) and (v) under fixed effects model in the situation whenk >v also follows.     

Two machine scheduling problem when passing allowed

Bagga [1967] andJohnson [1954] developed algorithms for finding an optimum sequence, whenn jobs require processing on two machines. The criteria chosen by them were minimum waiting time of jobs and minimum elapsed time respectively. All then jobs were assumed to be of the same type i.e., all have to be processed on two machinesA andB in the orderAB. This paper presents a procedure for finding the optimal schedule of the jobs, when the jobs may be of the following types:

1. Jobs which are to be processed on only one of the machines.
2. Jobs which require processing on the two machinesA andB in the orderAB; and
3. Jobs which require processing on the two machinesA andB in the orderBA.

     

On the political economy of urbanization in the Third World

Cette analyse de l'urbanisation d'aprés-guerre en Afrique Occidentale est proposée comme un jalon pour l'économie politique de l'urbanisation dans le Tiers Monde. L'Afrique Occidentale est une des régions les moins urbanisées du monde qui cependant a récemment connu une urbanisation plus rapide que toute autre. Cette explosion urbaine est associée avec des inégalités sévères à trois niveaux:

• 1 un déséquilibre profond dans les conditions de travail et de vie entre le secteur urbain et le secteur rural
• 2 une forte concentration des ressources dans les capitales
• 3 une énorme disparité économique à l'intérieur des villes entre les masses et une petit élite

Si l'urbanisation en Afrique Occidentale est caractérisée par ces inégalités, il apparait qu'elle entraîne aussi des pertes économiques. Deux approches suggèrent que l'allocation des ressources est loin d'ětre optimale pour la croissance économique. D'une part des ressources sont gaspillées dans le chǒmage et le sous-emploi urbain, dans la croissance des grands centres métropolitains, et dans la construction des ‘quartiers spontanés’. D'autre part la présupposition que la forme prise par l'urbanisation est le résultat d'une allocation optimale des ressources est mise en doute quand les facteurs qui affectent les paramètres économiques ou qui interferent directement avec les décisions d'investissement sont soumis à l'examen, et quand l'attention est dirigée sur le processus politique qui s'avère constamment dominé par les intérěts et les préoccupations d'un petit groupe de dirigeants.     

Sulla dinamica dei processi di scambio monetari

In questa nota si propone una estensione del modello dinamico di economia monetaria di puro scambio sviluppato da D. Friedman in un lavoro recente [5]. Lo schema analitico mantiene il carattere non deterministico e non tâtonnement introdotto da S. Smale nello studio di processi transattivi [9]. Ammettendo che la merce usata nel sistema come moneta sia richiesta dagli agenti non solo sulla base delle sue caratteristiche fisiche, ma anche a partire dal ruolo istituzionale assolto, si prova che il processo economico converge ad una varietà di configurazioni finali che è strettamente più ampia dell'insieme degli equilibri walrasiani.     

Reputazione e credibilità di una minaccia in un gioco di contrattazione

Il presente articolo tratta di giochi di contrattazione in cui due giocatori cooperano al fine di trarne un mutuo beneficio. Se un giocatore devia dalla strategia cooperativa l'altro pone in essere una minaccia precedentemente annunciata a titolo di ritorsione. Questo modello cerca di formalizzare il concetto di efficacia e credibilità di una minaccia. Si prende poi in considerazione la reputazione di un giocatore, la quale influenza la decisione di attuare una minaccia incrementando la funzione di utilità di colui che la pone in essere. La velocità di ritorsione e la rapidità di percezione dell'inganno mostrano come un giocatore può deviare dalla strategia cooperativa vanificando gli sforzi di ritorsione del giocatore ingannato.

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Summary This paper deals with bargaining games in which two players cooperate for the purpose of obtaining mutual benefits. If one player deviates from the cooperative strategy, the other then carries out a threat previously announced for the purpose of retaliation. Reputation of a player is considered, which influences the decision of implementing a threat by causing an increasing of the utility function of the punishing player. Speed of retaliation and swiftness of detection of cheating show how a player can deviate from the cooperative strategy vanishing the efforts of the punishing player.