Strong measures of concordance and convergence in probability

It is shown that convergence in probability is sufficient for a strong measure of concordance to converge to one, and that convergence to one of a strong measure of concordance, along with convergence in law, is sufficient for convergence in probability.

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Riassunto Si mostra che la convergenza in probabilità è condizione sufficiente perché una misura forte della concordanza converga a uno, e che la convergenza a uno di una misura forte della concordanza, insieme con la convergenza in legge, è condizione sufficiente per la convergenza in probabilità.

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Partially supported by M.P.I. (Gruppo di ricerca «Modelli probabilistici»).     

A characterization for solutions of stochastic discrete time optimization models

A notion of finitely optimal plan for intertemporal optimization problems as a necessary condition for optimality is introduced. Under interiority of a feasible plan and differentiability of the return function, such a plan satisfies the stochastic analogue of deterministicEuler-Lagrange conditions, which become also sufficient conditions under concavity of the return function. Then, under more general assumptions, a sufficient criterion of optimality based on competitive plans supported by price systems and transversality conditions is discussed. Differently from the current literature, no restrictive hypotheses on the probability measure of the random shocks are assumed.

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Sommario Nella prima parte del lavoro si studiano le soluzioni dettefinitamente ottime che costituiscono una condizione necessaria per l'ottimalità di un piano ammissibile . Sotto ipotesi di interiorità del piano ammissibile e di differenziabilità della funzione obiettivo uniperiodaleF, vengono formulate le condizioni necessarie diEuler-Lagrange in ambito stocastico; aggiungendo l'ulteriore ipotesi di concavità perF, tali condizioni diventano anche sufficienti per l'ottimalità finita.La teoria viene poi estesa al caso sopradifferenziabile ottenendo una generalizzazione delle condizioni di Euler-Lagrange stocastiche che consente di individuare i piani finitamente ottimi mediante la nozione dicompetitività, ovvero supportabilità di un sistema di prezzi aleatori. Con una condizione di trasversalità all'infinito, la competitività diventa condizione sufficiente anche per l'ottimalità propria (cioè non solo finita).La peculiarità della presente trattazione è che tali condizioni sono formulate sotto ipotesi molto generali per quanto riguarda il processo degli shocks esogeni.

     

Alcune proprietà ed applicazioni finanziarie della media antiarmonica

In questa Nota si ottengono alcune proprietà della media antiarmonica di ordine 2 utilizzando note leggi del pendolo composto e viene messo in evidenza che essa non è sempre una media interna.Si considera poi la media antiarmonica di ordineK ponderata con pesi di segno qualunque e ne viene infine illustrato l'uso e il significato in alcuni problemi di matematica finanziaria.

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Summary In this paper, an interpretation in terms of the reduced compound pendulum length for the second order antiharmonic means, as proposed by De Finetti, is given. By pendulum laws some properties mean are obtained. Finally this paper explains the meaning and the use for the antiharmonic weighted mean of orderk, with reference to some financial mathematics problems.

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Lavoro eseguito nell'ambito del gruppo GNAFA del C.N.R.

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Ringrazio il prof. E. Volpe di Prignano per i suggerimenti e le osservazioni critiche ad una precedente stesura di questo lavoro.     

Su alcune proprietà delle probabilità finitamente additive

Some types of finitely additive probabilities (conglomerative, disintegrable, balanced, weakly balanced) are examined, and their relationship with -additivity is studied.

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Si studiano le mutue relazioni fra alcune classi di probabilità finitamente additive che si incontrano in certe applicazioni statistiche, e cioè le probabilità conglomerative, disintegrabili, bilanciate, debolmente bilanciate, esaminandone anche i legami con la -additività.

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Versione definitiva pervenuta il 30-8-81     

A remark on failures of conglomerability of prevision

Given a coherent conditional prevision we obtain, by means of the Yosida-Hewitt Decomposition Theorem, an upper bound of its failures of conglomerability with respect to a random number and a denumerable partition. In this way we get an extension of Theorem 2.3 of [4] to coherent previsions.

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Riassunto Considerata una previsione subordinata coerente si fornisce, tramite il teorema di decomposizione di Yosida-Hewitt, una maggiorazione degli errori di conglomerabilità relativi ad un numero aleatorio e ad una partizione numerabile. Viene così esteso alle previsioni coerenti il teorema 2.3 di [4].

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Work performed under the auspices of the National Group for Stochastic Models (Ministero della Pubblica Istruzione, 40%).     

Equivocations for transposition ciphers

In a transposition cipher the message sequence is subdivided into blocks of equal length and each block is shuffled according to a chosen key. To evaluate the performance of a transposition cipher we take a Shannon-theoretic standpoint and compute relevant equivocations. It is wellknown that transposition ciphers are strongly ideal for memoryless stationary sources (key and cryptogram are independent). We consider also message equivocation and key-appearance equivocation and do not assume that the length of the intercepted cryptogram is a multiple of the block-length. The index of coincidence of the source statistics is shown to be a relevant parameter, at least asymptotically.

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Riassunto Il principio della trasposizione è uno dei più antichi in crittografia, ma non è obsoleto: i cifrari a trasposizione vengono adoperati come blocchi costitutivi di alcuni dei più autorevoli cifrari attualmente in uso, come il DES dell'IBM che è stato adottato dal National Bureau of Standards americano. Il messaggio in chiaro che si vuol cifrare viene spezzato in blocchi di ugual lunghezza e ciascun blocco viene «trasposto» (anagrammato) secondo una permutazione fissa e segreta (la chiave del cifrario). In questo lavoro le prestazioni dei cifrari a trasposizione vengono valutate dal punto di vista della teoria di Shannon, calcolando certe «equivocazioni» pertinenti: tali equivocazioni quantificano l'incertezza di una spia che abbia intercettato il crittogramma; dopo l'intercettazione le equivocazioni a priori si trasformano in equivocazioni a posteriori secondo un meccanismo di tipo bayesiano. Se la sorgente dei messaggi è data da un processo stocastico stazionario senza memoria, è ben noto che per quanto concerne la chiave le equivocazioni a priori e a posteriori coincidono: i cifrari a trasposizione sono in questo caso «fortemente ideali».Noi consideriamo anche l'equivocazione sul messaggio e quella sulla «comparsa della chiave» (quest'ultima è significativa nel caso di «attacchi con testo in chiaro»). L'equivocazione sul messaggio si ottiene da quella sulla chiave, che è una costante indipendente dalla lunghezza del crittogramma intercettato, al modo seguente: si somma un contributo periodico che si annulla solo quando tale lunghezza è un multiplo della lunghezza di blocco, e si sottrae una correzione infinitesima (pari all'equivocazione sulla comparsa della chiave) la cui velocità di convergenza è asintoticamente determinata dall' «indice di coincidenza» della distribuzione di probabilità che regola la sorgente dei messaggi.

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Questo lavoro è parte del programma di ricerca del GNIM-CNR. È incluso nel programma dell'International Symposium of Information Theory, Brighton (Inghilterra), giugno 1985.     

Sulla dipendenza continua della probabilità di rovina dal caricamento dei premi

Si studia un modo di approssimare la probabilità di rovina relativa a un caricamento ₀ con le probabilità di rovina relative a una successione di caricamenti ( _k ) _k , che approssimano ₀ quandok tende all'infinito.

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Summary In this paper we study a way of approximating the probability of ruin related to a loading ₀, by the probabilities of ruin related of a sequence of loadings ( _k ) _k which «approximate» ₀ ask converges to infinity.

     

Global dynamics in models of fluctuating growth Part I: Two dimensional systems

We consider a modified version of Goodwin's celebrated non-linear model of fluctuating growth, where the incomeY is a quadratic function of the capital stockk, in order to take into account the possibility of increasing or decreasing returns. The dynamics of the model is then defined by a non-autonomous system of two differential equations. Assuming the labour supply,N, and the productivity,a, to be constant in the time, the model becomes autonomous and can be embedded in a stable family of planar dynamical systems whose flows and bifurcations are globally described

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Riassunto Si considera una versione modificata del modello di crescita non-lineare di Goodwin, in cui il reddito,Y, è una funzione quadratica dello stock di capitale,k, così da permettere la possibilità di rendimenti crescenti o decrescenti. La dinamica del modello viene allora rappresentata da un sistema non autonomo di due equazioni differenziali. Con l'ipotesi che l'offerta di lavoro,N, e la produttività,a, siano costanti nel tempo, il modello diventa autonomo e può essere immerso in una famiglia stabile di sistemi dinamici piani, di cui vengono descritti i flussi globali e le biforcazioni.

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This paper relates to the activities of the M.P.I. Group Dinamiche Non-Lineari nelle Scienze Economiche e Sociali.     

Sulla valutazione di un contratto di interest rate swap

Si affronta il problema della valutazione di un Interest Rate Swap, fornendo condizioni di realizzabilità del contratto e indicazioni sulla scelta del tasso di valutazione nel caso di utilizzo del criterio del valore atteso del r.e.a.. Infine, si introducono e si studiano alcune definizioni di equivalenza finanziaria per flussi di cassa aleatori.

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Summary In this paper we have considered some problems concerning the valuation of an Interest Rate Swap contract. Initially, we give some conditions which guarantee, in a uniperiodal and multiperiodal approach, the realization of the contract. Then, we study the valuation problem in a DCF context, referring in particular to the choice of valuation rate. We also introduce and discuss some definitions of financial equivalence having into account the aleatority of cash flows.

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Ringrazio E. Castagnoli, M. Cigola, P. Manfredi e L. Peccati per i numerosi commenti e suggerimenti ricevuti in fase di elaborazione e stesura di questo lavoro. Naturalmente, la responsabilità per eventuali errori è totalmente da attribuirsi all'autore.     

Sulla somma di due numeri aleatori egualmente distribuiti

In questo lavoro si studia il problema di ricerca della distribuzione di probabilità comune da assegnare a due numeri aleatori discreti che assumano i primin valori interi naturali in modo che la loro somma abbia moda di minima probabilità.Il problema è affrontato sia dal punto di vista teorico tramite gli strumenti della programmazione matematica, sia dal punto di vista numerico.

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LetX andY be two random numbers with the same distribution function; in this paper we consider the problem of finding a random numberX+Y having mode with minimal probability. In particular we have considered only the case ofX andY assuming the firstn integer values, so thatp (dimensionn) is the common distribution andq (dimension 2n–1) is the distribution ofX+Y; then the problem is to minimizem=maxq ₁.In the known literature it appears that theoretical results and numerical experience have brought to various conjectures not confermed. In this paper the problem is considered from the mathematical programming point of view. Several theoretical results are obtained even if the full solution of the problem is not reached. Anyway, such results, limiting the search range of a solution, suggested extended numerical testing, also for rather large values ofn, so that non trivial conclusions can be derived.

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Pervenuto il 22-1-82     

Forecasting quarterly movements of the lira/pound-sterling exchange rate: Random walks,drift, seasonality and variable parameters

Quarterly logarithmic changes of the lira/pound-exchange rate for the period 1973 Q1 to 1989 Q1 are examined and the forecasting performance of some simple time series models is evalutated. The performance of the random walk model with drift is examined as a method of forecasting one quarter ahead lira/pound-sterling exchange rate changes. This model is then extended to incorporate seasonal movements. The assumptions of constant drift and seasonal patters are relaxed and the models are estimated using variable parameter regression based on state-space modelling using the Kalman filter. The within and out-of-sample performance of the models illustrates that an improvement in forecast accuracy is obtained by including seasonal variation. However, the results do not appear to be improved by allowing the parameters to follow a random walk, AR(1) or AR(2) process. The random walk model with drift and seasonal patterns performs better at predicting exchange rate movements than predictions based on the forward rate.

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Riassunto Questo saggio esamina il movimcnto dei valori logaritmici dei dati trimestrali per i tassi di cambio tra la lira e la sterlina, per il periodo che va dal primo trimestre del 1973 al primo trimestre del 1989.Si valuta la bontà della previsione dei modelli semplici. Si dà una valutazione dell' attendibilità del modello di passeggiata a caso con variazione, intendendolo come un metodo per prevedere, con un anticipo di tre mesi, i movimenti dei tassi di cambio tra la lira e la sterlina.Questo modello viene poi esteso per incorporare movimenti stagionali, le ipotesi di movimenti costanti casuali e stagionali sono indebolite e i modelli vengono valutati usando analisi di regressione con parametri variabili fondate sui modelli di stato-spaziale usando il filtro di Kalman.L'attendibilità, dentro e fuori il campione, dei modelli dimostra che un miglioramento nell'esattezza delle precisioni viene ottenuto con l'inclusione della variazione stagionale.I risultati, però, non migliorano quando i parametri seguono una passeggiata a caso, un processo AR(1) o un processo AR(2).Il modello della passeggiata a caso con variazione e i movimenti stagionali riescono meglio a pronosticare movimenti dei tassi di cambio che non le previsioni fondate sui tassi fissi di cambio anticipati.

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A revised draft of the paper presented at the 6th. Meeting of the European Working Group on Financial Modelling at Hautes Etudes Commerciales, Liège, Belgium, 27/28 November, 1989     

Reputazione e credibilità di una minaccia in un gioco di contrattazione

Il presente articolo tratta di giochi di contrattazione in cui due giocatori cooperano al fine di trarne un mutuo beneficio. Se un giocatore devia dalla strategia cooperativa l'altro pone in essere una minaccia precedentemente annunciata a titolo di ritorsione. Questo modello cerca di formalizzare il concetto di efficacia e credibilità di una minaccia. Si prende poi in considerazione la reputazione di un giocatore, la quale influenza la decisione di attuare una minaccia incrementando la funzione di utilità di colui che la pone in essere. La velocità di ritorsione e la rapidità di percezione dell'inganno mostrano come un giocatore può deviare dalla strategia cooperativa vanificando gli sforzi di ritorsione del giocatore ingannato.

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Summary This paper deals with bargaining games in which two players cooperate for the purpose of obtaining mutual benefits. If one player deviates from the cooperative strategy, the other then carries out a threat previously announced for the purpose of retaliation. Reputation of a player is considered, which influences the decision of implementing a threat by causing an increasing of the utility function of the punishing player. Speed of retaliation and swiftness of detection of cheating show how a player can deviate from the cooperative strategy vanishing the efforts of the punishing player.

     

Scelta tra alternative incerte con informazioni parziali sulle funzioni di utilità

In questo lavoro si considera la classe dei decisori avversi al rischio e per questa classe viene proposto un metodo per verificare la dominanza stocastica tra due possibilità in alternativa quando la funzione d'utilità sia nota soltanto in un numero finito di punti.

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This paper deals with the set of adverse to risk decision-makers. For this set a method to check stochastic dominance is proposed. The method works when utility function value is known only on a finite set of points.

     

A note on principal components and morse theorem

We consider a real random vector X with cumulant generating function ψ_X, non-singular covariance matrix and zero expectation and prove that a principal component transformation of X is the Jacobian at the origin of a Morse-transformation for ψ_X. Subsequently, a similar result is stated removing the nondegeneracy assumption. Finally, we discuss the possibility to apply our results in a statistical framework.

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Riassunto Si considera un vettore aleatorio a valori reali X con funzione generatrice dei cumulanti ψ_X, matrice di varianza-covarianza non singolare e valore atteso nullo e si dimostra che una trasformazione delle componenti principali di X è lo jacobiano nell'origine di una trasformazione di Morse per ψ_X. Successivamente un risultato simile viene stabilito rimuovendo l'assunzione di non singolarità. Infine si discute la possibilità di applicare il nostro risultato in ambito statistico.

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Partially supported by M.U.R.S.T.     

Massimo della somma tra una funzione lineare ed una funzione lineare fratta

In questo lavoro si considera un problema di estremo vincolato avente la regione ammissibile espressa da diseguaglianze lineari e per funzione obiettivo la somma tra una funzione lineare fratta. Per tale problema viene proposto un algoritmo risolutivo che ne determina una soluzione ottima, generando un numero finito di massimi locali.

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Summary We present a sequential method to solve a constrained extrema problem with feasible region defined by linear inequalities and objective function expressed as a sum of a linear and homografical functions.The technique used finds a finite number of local extrema, the last being the global one.

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Ricerca effettuata con fondi erogati dal Ministero della Pubblica Istruzione.     

Dominanza stocastica con avversione al rischio

In ques to la voro si introduce la classeU delle funzioni reali definite in un reticolo che sono funzioni di utilità di una classe di decisorti detti avversi al rischio e si caratterizza la dominancza stocastica secondo la classeU.

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Summary The aim of this paper is to generalize a result of [4] about stochastic dominance under the assumption of risk aversion. The generalization consists in considering the case of random variables defined on a lattice. We introduce a class of real valued utility functions on a lattice, we show their properties in terms of comparison of lotteries and risk aversiion. The main result of the paper is a characterization of stochastic dominance through this class of functions.

     

Funzioni scalari affini generalizzate

In questo lavoro si estende il concetto di funzione affine a tutte le classi di funzioni che verificano sia una sorta di concavità generalizzata sia la corrispondente proprietà di convessità generalizzata. Di tali classi vengono studiate le relazioni di inclusione e le proprietà relative alle trasformazioni di funzione.

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Summary In this paper some different classes of functions, generalizing the concept of affine function, are introduced and studied. Properties and relationships among the classes are given and some properties about functions transformation are provided.

     

Due problemi di natura combinatoria inerenti le partizioni di un insieme finito

Nella prima parte si considera il problema della enumerazione delle partizioni di un insieme finito e si dà una nuova relazione di ricorrenza fra i numeri di Stirling di seconda specie. La relazione trovata permette di dedurre per via elementare la forma chiusa dei numeri di Stirling di seconda specie e dei numeri di Bell. Nella seconda parte si vuole vedere sotto quali e quante condizioni risulta additiva o superadditiva una funzione reale con dominioP (N), insieme delle parti dell’insieme finitoN. Dopo aver introdotto alcune definizioni, viene evidenziata l’equivalenza fra tre diverse condizioni atte a verificare l’additività di una funzione d’insieme. Dopo aver mostrato che tale equivalenza non sussiste più quando si tenta di trasferirla a funzioni superadditive, si ricava il numero di controlli necessari e sufficienti a verificare la superadditività di una funzione data empiricamente. In seguito si rivedono i risultati ottenuti inquadrandoli nella Teoria dei giochi di cooperazione adn persone, con particolare riferimento al calcolo del valore secondo Shapley, che viene trattato anche in un esempio numerico.     

Ancora sulla scelta degli investimenti

Il caso in cui il criterio del tasso di rendimento interno per la scelta tra investimenti cade in difetto ha dato l'avvio ad una vasta letteratura, [1], [3], [4], [6], [8], [9], ed a proposte di nuosi effettua una generalizzazione della valutazione di un progetto di investimento con il metodo dei saldi; si estende tale generalizzazione anche al caso continuo e a quello aleatorio; sotto particolari condizioni dei tassi si studia il saldo del progetto come una particolare classe di polinomî; viene infine proposto un nuovo criterio di scelta.

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Summary In this paper a financial operation is considered, in which certain amountsC _k0 are referred to maturitiest _k(k=0,1,...,n and 0t ₁<t ₂<...<t _n). Assuming such amounts, as credit or debit operations, according to the sign, on a current account, the balance is studied at each maturity, in the hypothesis the interest rate depending on the balance of the preceeding period and/or on maturities. Generalizations to continuous and random models are also examined.

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Ricerca eseguita con i fondi erogati dal M.P.I. (T.U. 40%), a.a. 1983.

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Ringrazio i proff. E. Castagnoli ed E. Volpe di Prignano per le utili discussioni sull'argomento.     

Forme multilineari ed approssimate di funzioni di utilità di due variabili

Nella prima parte di questo lavoro, definita l'indipendenza tra gli attributi di una funzione di utilità di due variabiliu(x, y) si determinano forme multilineari del tipou(x, y) = ₁ u ₁ (x) + ₂ u ₂ (y) + ₁₂ u ₁ (x)u ₂ (y) e se ne studiano le proprietà.Successivamente si propongono alcune approssimazioni diu(x, y) e si verifica quali proprietà fondamentali degli ordinamenti di preferenza esse conservano. In entrambi i casi si ottengono delle forme la cui utilità acquista rilevanza nella semplificazione operativa nei problemi di decisione in condizioni di incertezza.

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Here we propose two different methods to overcome the pratical difficulties present in the application of two-attribute utility functions in decision problems under uncertainty. The first method consists in deriving them through modified preference axioms, whereas the second deals with their numerical approximations without violating the fundamental properties of preference ordering.

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Lavoro eseguito nell'ambito del C.N.R.-G.N.A.F.A.