Insiemi invarianti globalmente attrattivi nell'interazione fra il “mercato dei beni” ed il “mercato della moneta”

Si studia il comportamento dinamico locale e globale di un modello macroeconomico che si rappresenta con un sistema nonlineare di due equazioni alle differenze (sistema dinamico discreto, o mappa). Si mostra come l'uso di un nuovo strumento di analisi, le linee critiche, consenta di studiare molte delle proprietà globali (quali i bacini di attrazione di insiemi invarianti) e delle biforcazioni globali, che si verificano in mappe del piano con inversa non unica. Si prova che il punto fisso localmente attrattivo è anche globalmente attrattivo, mentre in regimi di instabilità del punto fisso esistono curve chiuse, o altri insiemi invarianti (regolari o caotici) di attrazione, in aree assorbenti globalmente attrattive.

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Summary The local and global dynamical behaviour of a macroeconomic model, represented by a nonlinear system of two difference equations (discrete dynamical system or map), is studied. It is shown how several properties (as basins of attraction of invariant sets) and global bifurcations occurring in two-dimensional maps with a non-unique inverse can be studied by use of a new analytical tool, the critical curves. It is proven that the locally attractive fixed point is globally attractive, while closed invariant curves or other attractive invariant sets (regular or chaotic) exist in globally attractive absorbing areas, when the fixed point is repulsive.

     

Decisioni di gruppo e consenso: Un modello nell'ambito della teoria degli insiemi sfocati

Si propone un modello di consenso in ambiente sfumato, simile al cosiddetto metodo Delphi.Nel nostro approccio opinioni individuali e pesi sono numeri sfumati e la transizione tra stati è ottenuta per mezzo di operazioni max-min estese.Nel nostro approccio si prova che, dato un gruppo din individui, sotto opportune condizioni dopon–1 iterazioni le opinioni individuali si stabilizzano.

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Here we propose a model of consensus in a fuzzy environment similar to the so called Delphi method.In our approach individual opinions and weights are fuzzy numbers and transition from one state to another one is obtained via extended max-min operations.While in the classical stochastic approach to Delphi method (see De Groot [1] and Kelly [6]) conditions for reaching consensus are established, in our approach it is proved that, given a group ofn individuals, under suitable conditions aftern–1 iterations individual opinions become stable.

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Lavoro eseguito con il contributo CNR n. 83-02619.10.     

Alcune considerazioni sulle relazioni di indifferenza non transitive

Vengono introdotte le nozioni di i-struttura ed s-struttura in un insieme. Si prova che esse sono rispettivamente equivalenti alla nozione di ordine a intervalli studiato da Fishburn e semiordine studiato da Luce.

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Summary The notions of i-structure and s-structure are introduced and compared with the notions of interval order studied by Fishburn and semiorder introduced by Luce.

     

Market economies with many commodities

In this survey problems from the consideration of infinite dimensional commodity spaces in the Arrow-Debreu-McKenzie model are discussed. It has become clear in the last couple of decades that in order to address real policy questions, economic models that are both stochastic and dynamic have to be employed. These models lead naturally to infinite dimensional commodity spaces.

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Riassunto In questo lavoro si discutono i problemi che si presentano quando, in connessione all'esistenza e all'efficienza di equilibri Walrasiani nel modello di Arrow-Debreu-McKenzie, si ammette che lo spazio dei beni sia di dimensione non finita. è diventato chiaro nei due ultimi decenni che per affrontare questioni reali è necessario usare modelli sia dinamici che stocastici e ciò conduce in modo naturale alla considerazione di spazi infinito-dimensionali. Si rimane principalmente confinati alle economie di puro scambio al solo scopo di semplificare la trattazione.

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This paper has been presented atWorkshop in Economic Theory, Venice-June 2–7, 1997 organized by Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti and atXXI Convegno AMASES, Rome-September 10–13, 1997. It is an expanded version of our paper [5] that appeared inJournal of Economic Theory, vol. 74, n. 1, 1997, pp. 62–105. We are grateful to Karl Shell and Academic Press for permission to include that portion of the material here. The research of C. D. Aliprantis was supported in part by the NATO Collaborative Research Grant #941059.     

A de Finetti-Kolmogoroff-Nagumo type integral representation theorem for generalized means on masses

We point out that the Consistency, Continuity and Associativity properties of an extended realvalued functionalm on masses are the basic notions to get a de Finetti-Kolmogoroff-Nagumo type integral representation ofm.

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Riassunto Come è noto il teorema di de Finetti-Kolmogoroff-Nagumo formisce una rappresentazione integrale di particolari funzionali reali, detti medie, definiti per funzioni di ripartizione che distribuiscono l'intera massa su un prefissato intervallo chiuso e limitato dell'asse reale.Nel lavoro [2] gli autori hanno esteso la nozionc di media, considerata ancora come funzionale reale, dalle funzioni di ripartizione alle masse (misure finitamente additive limitate e non negative). In questo modo, estendendo ad essa le usuali proprictà (internalità, associatività, etc.), sono riusciti a provare un teorema di rappresentazione integrale analogo a quello di de Finctti-Kolmogoroff-Nagumo per medie continue ed associative definite su opportuni insiemi di masse tight (cio prive di masse aderenti a – e+).In questo lavoro, naturale prosccuzione del preccedente, si prendono invecc in considerazione medic generalizzate (cioè medie che possono assumere valori reali oppure anche i valori – c+) e masse non neccssariamente tight. Si fa allora vedere che le nozioni di consistenza, continuità e associatività per un funzionale a valori nella retta compatta e definito sulle masse non nulle, sono condizioni caratteristiche per ottencre una sua rappresentazione integrale del tipo de Finctti-Kolmogoroff-Nagumo. Si prova inoltre che, a differenza della media ariumetica, le medic generalizzate continue ed associative possono assumere valori non reali solamente su opportune masse non tight.

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Work performed under the auspices of the National Group for Sthocastic Models and Mathematical Statistics (M.R.S.T. 40%) and G.N.A.F.A. of C.N.R.     

Una applicazione dell'approccio multistato ai fondi pensione

La modellistica multistato ha avuto recentemente significative applicazioni nelle assicurazioni di persone ed è stata impiegata anche nello studio di problemi connessi a schemi previdenziali (per questi ultimi si vedano ad esempio i lavori di Amsler, Wilkie, Linnemann). In questa nota si propone una applicazione di tale approccio all'assicurazione di invalidità — vecchiaia — superstiti nel tempo continuo, sia nel caso in cui si lavori con cause di eliminazione permanente che temporanea.

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Summary Recently the mathematics of multistate models has significantly been applied to the insurance of persons and has also been employed in the study of problems connected with pension schemes (e.g. papers written by Amsler, Wilkie, Linnemann). In this paper we suggest a time-continuous application of this approach to a pension scheme providing retirement, disability and death pensions, considering causes of permanent as well as temporary decrement and assuming the probabilistic structure is that of a time-inhomogeneous Markov process. Moreover, the paper presents the formulae of the expected present value of contributions and of benefits. In this regard, some approximate formulae are proposed for the above mentioned values.

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Ricerca finanziata con fondi 60% MURST. L'intero lavoro è frutto di una collaborazione che riguarda ogni parte del medesimo. I contributi personali di R. Pelessoni riguardano i paragrafi 2.2, 2.4, 2.5, quelli di M. Zecchin riguardano i paragrafi 1, 2.1, 2.3.     

Su alcune proprietà delle probabilità finitamente additive

Some types of finitely additive probabilities (conglomerative, disintegrable, balanced, weakly balanced) are examined, and their relationship with -additivity is studied.

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Si studiano le mutue relazioni fra alcune classi di probabilità finitamente additive che si incontrano in certe applicazioni statistiche, e cioè le probabilità conglomerative, disintegrabili, bilanciate, debolmente bilanciate, esaminandone anche i legami con la -additività.

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Versione definitiva pervenuta il 30-8-81     

Alcune proprietà ed applicazioni finanziarie della media antiarmonica

In questa Nota si ottengono alcune proprietà della media antiarmonica di ordine 2 utilizzando note leggi del pendolo composto e viene messo in evidenza che essa non è sempre una media interna.Si considera poi la media antiarmonica di ordineK ponderata con pesi di segno qualunque e ne viene infine illustrato l'uso e il significato in alcuni problemi di matematica finanziaria.

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Summary In this paper, an interpretation in terms of the reduced compound pendulum length for the second order antiharmonic means, as proposed by De Finetti, is given. By pendulum laws some properties mean are obtained. Finally this paper explains the meaning and the use for the antiharmonic weighted mean of orderk, with reference to some financial mathematics problems.

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Lavoro eseguito nell'ambito del gruppo GNAFA del C.N.R.

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Ringrazio il prof. E. Volpe di Prignano per i suggerimenti e le osservazioni critiche ad una precedente stesura di questo lavoro.     

Statistical interpretation,decomposition and properties of Atkinson's inequality index

The paper contains a statistical interpretation and an interesting decomposition of the inequality index due to Atkinson.

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Riassunto Questo lavoro presenta un'interpretazione statistica in termini di medie di potenza dell'indice di disuguaglianza di Atkinson e fornisce una scomposizione di detto indice in una quota che misura la disuguaglianza tra gruppi ed una quota che misura quella all'interno dei gruppi. Si dimostrano alcuni teoremi relativi alla misura decomposta nelle sue due componenti sopraindicate.

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Versione definitiva pervenuta il 20-1-1982

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This paper expresses personal views of the authors and does not necessarily reflect the views of the organisations they are associated with.     

Strong measures of concordance and convergence in probability

It is shown that convergence in probability is sufficient for a strong measure of concordance to converge to one, and that convergence to one of a strong measure of concordance, along with convergence in law, is sufficient for convergence in probability.

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Riassunto Si mostra che la convergenza in probabilità è condizione sufficiente perché una misura forte della concordanza converga a uno, e che la convergenza a uno di una misura forte della concordanza, insieme con la convergenza in legge, è condizione sufficiente per la convergenza in probabilità.

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Partially supported by M.P.I. (Gruppo di ricerca «Modelli probabilistici»).     

A note on principal components and morse theorem

We consider a real random vector X with cumulant generating function ψ_X, non-singular covariance matrix and zero expectation and prove that a principal component transformation of X is the Jacobian at the origin of a Morse-transformation for ψ_X. Subsequently, a similar result is stated removing the nondegeneracy assumption. Finally, we discuss the possibility to apply our results in a statistical framework.

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Riassunto Si considera un vettore aleatorio a valori reali X con funzione generatrice dei cumulanti ψ_X, matrice di varianza-covarianza non singolare e valore atteso nullo e si dimostra che una trasformazione delle componenti principali di X è lo jacobiano nell'origine di una trasformazione di Morse per ψ_X. Successivamente un risultato simile viene stabilito rimuovendo l'assunzione di non singolarità. Infine si discute la possibilità di applicare il nostro risultato in ambito statistico.

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Partially supported by M.U.R.S.T.     

Sul premio dell'assicurazione mista in presenza di tare

Con procedimento analitico si determina la formula di Lidstone per l'assicurazione mista su due teste tarate, qualunque sia il tipo di sopramortalità Si esaminano poi i casi di sopramortalità crescente, costante e decrescente e si deducono le formule che forniscono il premio puro mediante gli analoghi premi su teste normali, assegnando l'espressione dell'errore che si commette applicando tali formule.

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Through analytical methods we obtain Lidstone's formula for a mixed insurance on two extra risks.We also give an expression of the related approximation error.

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Pervenuto il 15-3-82     

Sull'accumulo di un capitale in condizioni di incertezza

Si considera il problema dell'accumulo di un capitale, mediante versamenti annui in presenza di inflazione. Si assume che l'intensità di inflazione sia un processo stocastico governato da un modello lineare dinamico e si determina la distribuzione di probabilità del valore nominale tran anni di un capitale avente un prefissato valore reale (a prezzi odierni). Quindi si determinano i versamenti ottimi (nel senso della teoria delle decisioni), sia nel caso di decisione in blocco, sia nel caso di decisione sequenziale. Si considera infine il caso in cui anche i fattori di montante siano aleatori.

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The paper considers the problem of the constitution of a capital through annual deposits, when inflation is present.The intensity of inflation is assumed to be a random process driven by a dynamic linear model and then the probability distribution of the nominal value after n years of a capital, whose real value today is fixed, is determinend.Then the optimal deposits are determined, both in the case of block decision, and in the sequential case. The case of random discount factors is considered, as well.

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNAFA-CNR.     

Alcune nuove nozioni di semicontinuità per multifunzioni

Si introducono nuove nozioni di semicontinuità per multifunzioni che estendono quelle classiche relative alle funzioni. Inoltre, utilizzando tali generalizzazioni si studia la semicontinuità superiore di una funzione del tipo inf _v∈N(u) f(u, v). Infine, si applicano i risultati ottenuti ad un problema di scelta del prezzo.

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Summary In this paper new notions of semicontinuity for multifunctions are introduced; this definitions extend the classical notions concerning the functions. Moreover, using this generalizations, the upper semicontinuity of a function like inff(u, v) is studied. In the last section the results obtained are applied to av∈N(u) problem of selection price.

     

Sul ruolo dei riassunti esaustivi ai fini della previsione in contesto bayesiano (1a parte)

Si studia una nozione di riassunto esaustivo, che diremo a fini predittivi e che è già stata oggetto d'indagine da parte di F. Spizzichino sotto diversa denominazione. Si pone in evidenza la naturalezza di questa nuova definizione che, senza alcuna restrizione, può essere applicata in ogni tipo di ragionamento induttivo. Nella prima parte della ricerca, dopo alcune esemplificazioni sull'applicazione in alcuni tipici problemi inferenziali con particolare riguardo alla costruzione di modelli ipotetici a partire da considerazioni squisitamente predittive del concentto di riassunto esaustivo a fini predittivi, se ne studiano le principali proprietà. Nella seconda parte (che apparirà in un prossimo numero di questa Rivista) se ne analizzeranno i rapporti con le più abituali nozioni di riassunto esaustivo.

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In this paper (first part of a wider work; the second part will appear in the next issue of this journal) we support the idea that the major objective of inductive reasoning is the distribution for outcomes of any sample not jet observed (predictive distribution) Parameters are a secondary device that can ultimately be justified and can lend some simplification.According to this point of view, we study a notion of prediction sufficiency introduced by F. Spizzichino (1978). Many of the results true for classical sufficient statistics apply to our predictive sufficient statistics as we demonstrate in Section 3.In the second part we analyse sequences of predictive sufficient statistics and their relations with classical sufficient statistics for the parameters which are limits of these sequences. The examples of Section 2 represent a first limited approach to this problem.

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNAFA-CNR.     

On the aubin-like characterization of competitive equilibria in infinite dimensional economies

For an exchange economy with finitely many agents and a commodity space which is infinite dimensional, it is proved that competitive equilibria are the same as allocations belonging to the fuzzy core of the economy. The latter is further characterized as a subset of the ordinary core of a suitably associated continuum economy.

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Riassunto Per un'economia di puro scambio con un numero finito di agenti e uno spazio dei beni di dimensione non necessariamente finita, si prova che gli equilibri Walrasiani possono essere caratterizzati come allocazioni che appartengono al nucleo fuzzy dell'economia. Inoltre, queste ultime allocazioni sono in corrispondenza biunivoca con allocazioni di tipo semplice che si trovano nel nucleo ordinario di un'opportuna economia che ha [0,1] come spazio rappresentativo dello spazio degli agenti.

     

Statistische Modelle und Bayessche Verfahren zur Bestimmung einer unbekannten Klassifikation normalverteilter zufälliger Vektoren

Summary Suppose that forN independent normally distributed vectors inR ^p there exists an unknown classification intom disjoint classes such that in each class all vectors have the same (unknown) expectation. For several a-priori-distributions and loss functions Bayesian procedures are developped for the problem of identifying the unknown classification. — The methods can be extended to the case of an unknown numberm of groups and to the case of many-way classifications.

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Zusammenfassung FürN beobachtbare, unabh?ngige, normalverteilte Vektoren desR ^p existiere eine unbekannte Einteilung inm disjunkte Klassen, innerhalb deren die Erwartungswerte gleich, aber unbekannt seien. Es werden Bayessche Verfahren zur Bestimmung dieser unbekannten Klassifikation entwickelt, wobei verschiedene Verlustfunktionen und a-priori-Verteilungen zugrunde gelegt werden. — Die überlegungen k?nnen auf den Fall unbekannter Klassenanzahlm und auf den Fall der Klassifikation nach mehreren Gesichtspunkten erweitert werden.

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Gekürzte Fassung einer von der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult?t der Universit?t Freiburg angenommenen Dissertation (1968).     

Solutions to linear equations depending on a parameter

An analysis of the relationships between the solutions of a system of linear equations depending on a parameter is provided. The results are applied to an economic problem concerning prices: According to the classical formalisation, the prices of production depend on the technique and a parameter, the rate of profit, representing distribution.

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Riassunto Si fornisce un'analisi delle relazioni fra le soluzioni di un sistema di equazioni lineari che dipendono da un parametro. I risultati ottenuti sono poi applicati a un problema economico riguardante i prezzi: In base alla formalizzazione classica, i prezzi di produzione dipendono dalla tecnica e da un parametro, il tasso di profitto, che rappresenta la distribuzione.

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Neri Salvadori thanks the MURST (the Italian Ministry of the University and Technological and Scientific Research) for financial support.     

La quasi-ammissibilitá nella teoria generale delle decisioni

In questo lavoro, la nozione di quasi-ammissibilità, come ampliamento della nozione di ammissibilità, viene formalizzata esplicitando una topologia sullo spazio funzionale in cui sono immerse le funzioni di perdita corrispondenti alla classe di decisioni del problema. Per questa via è possibile analizzare il concetto di quasi-ammissibilità senza restrizioni sullo spazio degli stati di natura. Si verifica poi, che le nozioni già note di ε-ammissibilità costituiscono casi particolari del-l’impostazione più generale qui proposta.

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It is known that in Decision Theory under Uncertainty the notion of admissibility and almost-admissibility plays an important role since it does not depend properly on the chosen optimality criterion. The main goal of the known notions of ε-admissibility is to conveniently enlarge the class of the admissible decision rules, which for some problems can be empty. Once observed that the notion of ε-equivalence between two decision rules is based on the fact that the decision are “close” each other, it is then natural to study the notion of ε-equivalence in a topological context. Here the functional space of the loss functions associated to the class of the decision rules is equipped with the product topology which the functional space is naturally endoved of. It this framework it is possible to study the notion of almost-admissibility independently of the characteristics of the states space. The known definitions of ε-admissibility are then reduced to particular cases of this more general approach.

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Lavoro eseguito nell’ambito del Gruppo Nazionale per l’Analisi Funzionale e le sue Applicazioni del C.N.R.     

Sul problema del reimpiego dei margini in operazioni finanziarie

Si considerano, in versione discreta, tre forme di operazioni finanziarie con reimpiego dei margini, e, con ipotesi non molto restrittive, si dà una valutazione analitica e diretta di parametri finanziari coinvolgenti i margini, senza bisogno di conoscerne le espressioni esplicite. Sul risultato economico attualizzato (r.e.a.) (v) per l'investitore dell'operazione finanziaria, valutato con fattore di sconto periodalev, si trovano poi formule che danno sue limitazioni inferiori e superiori, e, in un caso particolare, il suo valore esatto: ad illustrazione di ciò vengono dati alcuni semplici esempi numerici.

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Summary Three kinds of discrete financial operations involving reinvestment of net margins are considered.With no restrictions a direct analytical evaluation of financial parameters involving margins is then given. This needs not to know their explicit expressions.Formulas are then given for the discounted cash flow (d.c.f.) of the financial operation. This allows to obtain simple lower and upper bounds, and, at least in onc case, its exact value.Some simple numerical examples are shown.

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La ricerca à stata finanziata con fondi M.U.R.S.T.