Die neuen dänischen sterblichkeitstafeln für minderwertige leben

Versicherung minderwertiger Leben hat in Dänemark lange stattgefunden. Erstens haben die Lebensversicherungs gesellschaften in Dänemark — wie überall - Personen aufgenommen, deren Gesundheitszustand eine geringere als die normale war. Die hierbei gewöhnlich verwendete Methode bestand darin, dass man der betreffenden Person ein höheres Alter als das wirkliche beilegte. Wenn der Gesundheitszustand eine so schlechte war, dass die Alterserhöhnng mehr als 10 Jahre betragen musste, wenn die Prämie als hinreichend geschätzt werden konnte, wurde der Antrag gewöhnlich abgelehnt. Es war im allgemeinen die Regel, dass die Alterserhöhung auch bei der Berechnung der Prämienreserve und des Rückkaufswerts in Rechnung gebracht wurde. Karenzzeit entweder gewissen Todesursachen gegenüber oder allgemeine Karenz kam natürlich auch vor. Während also die meisten Gesellschaften die schlechteren Risiken ganz ablehnten, konnte jede Person bei der Gesellschaft ?Danmark? cin der sogenannten ?Unterabteilung? eine Versicherung bekommen. Die Prämien wurden nach einer sehr strengen Sterblichkeitstafel ausgerechnet, und für alle Versicherungen galt eine 5- jährige Karenz.     

Betrachtungen über den effektiven Zinsfuss bei Anleihen

Der Umstand dass der effektive Zinsfuss einer Anleihe, die im Laufe von n Jahren (Terminen) zurückgezahlt werden soll, im Allgemeinen durch eine Gleichung n:ten Grades bestimmt ist, hat bekanntlich zu der Anwendung einer ganzen Reihe von verschiedenen Näherungsmethoden zur Feststellung dieses Zinsfusses geführt. Indessen ist die Litteratur über die Frage eigentlich recht sparsam, und man hat den Eindruck dass vielleicht jeder Finanzmathematiker, der sich mit diesen Fragen effektiv beschäftigt, allmählich sein eigenes Verfahren. ausarbeitet, und dass man sich scheuht die Hülfsmittel — die man in dieser Weise anwendet, und die wohl immer recht einfach oder sogar rein empirisch sind — zu veröffentlichen; und daran tut man vielleicht nicht ganz recht. So kennt der Verfasser dieser Zeilen schon verschiedene solche einfache Methoden oder Hülfsmittel anderer Finanzmathematiker, die nicht veroffentlicht worden sind, und ebenso hat er auch selbst seit vielen Jahren verschiedene andere mehr oder wenig empirische Methoden dieser Art benutzt, von denen unten die eine etwas naher erörtert werden soll.     

Über die vorausberechnung der bevölkerungsentwicklung in schweden

Abstract

Die andauernde Abnahme der Geburtenzahlen hat in den letzten Jahren ein lebhaftes Interesse für die Frage nach der künftigen Entwicklung der Bevölkerungszahl und der Altersgliederung der Bevölkerung eines Landes hervorgerufen. Es wurden hierüber einerseits eine grosse Anzahl von theoretischen Arbeiten verfasst, andererseits wurden auch wiederholt numerische Berechnungen gemacht, bei denen man von bestimmten Annahmen über die zukünftige Entwicklung der Sterblichkeit und der Geburtenhäufigkeit ausging und daraus die Altersgliederung der Bevölkerung zu verschiedenen Zeitpunkten ableitete.¹     

Risikomanagement in Schaden-/Unfall-Versicherungsunternehmen

Seit Inkrafttreten des KonTraG im Mai 1998 sind Versicherungsunternehmen gesetzlich zur Einführung eines Risikofrüherkennungssystems verpflichtet. Es existieren bisher keine genauen gesetzlichen Vorgaben für die inhaltliche Ausgestaltung dieses Systems. Ziel dieses Artikels ist es zum einen, einen überblick über die verschiedenen Ausgestaltungsvarianten von Risikofrüherkennungssystemen in der Versicherungspraxis zu geben. Grundlage hierfür bildet eine Umfrage unter 229 deutschen Schaden-/Unfall-Versicherungsunternehmen im Herbst 2000. Zum anderen werden theoretische Ansatzpunkte für eine Integration von Risikomanagementsystemen in die Unternehmensführung anhand der betrieblichen Teilsysteme Planung, Organisation, Personalführung, Informationssystem, Kontrolle und Controlling aufgezeigt.     

Der derzeitige Stand der Bausparmathematik

Die aussergewöhnlichen Verhältnisse auf dem Kapitalmarkt und die grosse Wohnungsnot haben in Deutschland im Jahre 1924, unmittelbar nach der Überwindung der Inflation, welche alle Kapitalien zerstört hatte, eiii schon älteres Projekt reifen lassen und es kam durch G. Kropp in einem kleinen Städtchen im Bundesstaat Thüringen, in Wüstenrot, zur Gründung der ersten deutschen “Bausparkasse”, der sogenannten “Gesellschaft der Freunde”. Es handelt sich hier um eine Institution, die, ähnlich den englischen Building Societies und den amerikanischen Building and Loan Associations, doch nach einem abweicheriden System, Gelder von Sparern dazu verwendet, um Bauvorhaben dieser selben Sparer zu finanzieren. Dies geschieht nach folgender Methode: eine Anzahl von Sparern, die die Bausparkasse bilden, zahlen in regelmässigen Zeitabständen Sparbeiträge, welche einen festen Prozentsatz der Summe ausmachen, die für den Zweck des Hausbaues vorgesehen ist und zwischen dem Bausparer und der Bausparkasse vereinbart wurde. Wenn in der Kasse genügend viel Geld vorhanden ist, um einem Oder mehreren Bausparern die vereinbarte Summe auszuzahlen, so geschieht dies and die (z. B. durchs Los bestimmten) so beteilten Bausparer haben nun die Verpflichtung, das erhaltene Darlehen, nälich die Ergänzung ihres bereits eingezahlten Guthabens (das mit oder ohne Zinsen berechnet wird) auf die voile Bausparsumme, zu tilgen. Dieser Tilgung wird wieder ein Zinsfuss zu Grunde gelegt, der auch Null sein kann. Die so einlaufenden Gelder — Spar- und Tilgungsbeiträge — werden firmer wieder zu Zuteilungen verwendet. Verwaltungskosten werden aus gesondert zu zahlenden Beiträgen gedeckt. Auf diese Weise ist es den meisten Bausparern möglich, früher zu einem Hans zu gelangen, als wenn sie ohne Hilfe der Gesamtheit die ganze Summe zum Zins der Kasse selbst hätten ansparen müssen.     

Untersuchung über die sterblichkeit der abstinenzlern

Abstract

Die Frage betreffend die Sterblichkeit unter versicherten Abstinenzlern dürfte noch als vollständig ungelöst zu betrachten sein. Die einzige mir bekannte Untersuchung in dieser Richtung ist die von Aktuar P. M. MOORE im Journal of the Institute of Actuaries ¹ veröffentliche Abhandlung: On the comparative Mortality among assured Lives of Abstainers and non Abstainers from Alcoholic Beverage. Die Untersuchung stützt sich auf ein von der Versicherungsgespllschaft United Kingdom Temperance and General Provident Institution geliefertes Material, einer Gesellschaft, die 1840 gebildet wurde und zwei Abteilungen hatte, eine für Absolutisten und eine für Nichtabsolutisten. Von mehreren Seiten ist das erhaltene Resultat einer eingebenden Kritik unterzogen worden. Ich verweise in dieser Beziehung auf die Abhandlung Dr. ANDRAES. Das Material ist übrigens nicht nach der Anzahl durchlebter Versicherungsjahre gruppiert und gibt deshalb vom Lebensversicherungsstandpunkt kein klares Bild über den Sterblichkeitsverlauf.     

Über die verwendung von mittelwertprocessen in der bevölkerungsstatistik und in der Zinsrechnung

Abstract

Im Anschluss an die im Jahre 1916 erschienene Monographie von E. J. Gumbel: “Die Berechnung des Bevölkerungsstandes durch Interpolation” (Leipzig, Vogel) hat Verfasser dieser Zeilen den formalen Aufbau der für die Praxis einfachsten Interpolationsmethoden der mathematisch-statistischen Behandlung zugeführt; auf dieser Grundlage hat dann Gumbel die so erhaltenen verallgemeinerten Ansätze bereits auf praktische Fragen der Bevölkerungslehre angewendet. Im Folgenden sollen einige Resultate dieser Untersuchungen mitgeteilt werden, und zwar in Hinblick darauf, dass dieselben bei der Konstruktion von Volkssterbetafeln und bei der Ausarbeitung der Deckungssysteme in der Socialversicherung Verwendung finden können. Die für die Statistik und für die wirtschaftliche, Mathematik (z. B. Grundlegung der Zinsfunktionen). so wichtigen Mittelwertoperationen erscheinen erst durch die nähere methodische Bearbeitung in der für die zielbewusste Anwendung notwendigen Beleuchtung. Die mathematische Diskussion der Mittelwert-Interpolationen dünkt uns vom statistischen Gesichtspunkt als wesentlich, wenn auch der Verwaltungsstatistiker für primitivere Zwecke eine kürzere Behandlung der präcisen Auseinandersetzung bevorzugt. Dieser Standpunkt erweist sich als gerechtfertigt, sobald man — wie es z. B. in der Lebensversicherungstechnik der Fall ist — nicht nur Abschätzungen im Grossen vornimmt, sondern auf Grundlage des empirischen Materials feinere Berechnungen anstellt, deren numerisches Resultat von der Präcision der Ausgleichungsprocesse abhängt. Hauptziel der folgenden Betrachtung ist die genauere Festlegung der in der Verwaltungsstatistik üblichen rohen Interpolationsansätze, um auf diesem Wege solche Formeln zu gewinnen, die den Erfahrungen besser angepasst werden können und die es weiterhin ermöglichen, dass die Berechnung der auf den Interpolationsprocess beruhenden wichtigern Masszahlen (z. B. verlebte Zeit, Vermehrungsintensität, Fixirung partieller Bevölkerungsmassen, etc.) einer mathematjschen Kritik unterworfen werden können.     

Zur Versicherung anormaler Leben

Abstract

Das von dem Direktorenverein der Schwedischen Lebensversicherungsgesellschaften eingesetzte Komitee zur Untersuchung der Sterblichkeit unter tuberkulös belasteten und anderen nichtnormalen Risikos setzt in seinem Gutachten das Vorkommen verschiedener Risikoklassen voraus, charakterisiert durch eine oder mehrere durch ärztliche Untersuchung oder anderweitig konstatierte Krankheitsanlagen. Die Risikoklasse, für die die ärztliche Untersuchung keine Krankheitsanlagen konstatiert hat, kann “die der normalen Risikos” genannt werden. Bezeichnen wir diese Klasse mit N und die verschiedenen nichtnormalen Risikoklassen mit R ₁, R ₂, R ₃, … Man kann also die Risikoklasse R _v als die Menge aller Personen, die beim Abschliessen von Versicherungen erwiesenermassen mit gewissen bestimmten Krankheitsanlagen A _v behaftet sind, definieren. Wir wollen in folgendem eine andere Einteilung der menschlichen Risikos studieren. Nehmen wir an, dass man schon bei der Geburt für jede Person bestimmen könnte, welcher Todesursache sie einmal zum Opfer fallen würde. Auf diese Weise würde die Menschheit in eine grosse Anzahl Risikoklassen eingeteilt. Von jedem einzelnen Individuum wüsste man allerdings nicht seinen Todestag, aber man wüsste zu welcher von diesen Risikoklassen es gehörte und könnte also auf dasselbe die richtige Sterblichkeitstabelle anwenden: man wäre nur einen Schritt (allerdings einen grossen Schritt) der exakten Kenntnis des Lebenslaufes näher gekommen, welcher alle wahrscheinlichkeitstheoretischen Erörterungen erübrigen würde. Zieht man nun eine bestimmte Todesursache B _v in Betracht, so kann man hinsichtlich dieser die Menschheit in zwei Klassen einteilen, solche, die mit Sicherheit dieser Todesursache erliegen, Klasse P _v, und solche, die es nicht tun werden, Klasse S _v. Fügt man als besondere Risikoklasse die ganze Bevölkerung M hinzu, dann hat man alle Risikoklassen definiert, die in vorliegendem Aufsatz behandelt werden sollen.     

Ein vernachlässigtes Interpolationsverfahren

Abstract

1. Kennt man eineAnzahl zusammengehöriger Werte zweier eineindeutig und stetig von einander abhängigen Variablen und will man, im allgemeinen nur naherungsweise, einen Wert der einen Variablen bestimmen, der einem gegebenen Wert der anderen entspricht, kann man sich eines der üblichen Interpolationsverfahren bedienen. Meist begnügt man sich in der Praxis mit der einfachen linearen Interpolation. Die Frage nach der Genauigkeit des so erhaltenen Resultats lässt man dabei gern dahingestellt sein, und es ist zuzugeben, dass die Bestimmung der Fehlergrenze in der Regel bei weitem mehr verwickelt und zeitraubend ist als die Durchführung der Interpolation selbst. Dieser Übelstand lässt sich in manchen Fällen, lei der lange nicht in allen, durch eine kleine Modifikation der linearen Interpolation beseitigen.     

Eine methode zur Berechnung von Alters- und Invaliditätsrenten bei willkürlicher jährlicher Prämienzahlung

Abstract

Die sehwedische staatliche Pensionsversicherung ist bekanntlich als eine kombinierte Alters- und Invaliditätsversieherung organisiert. Mit 67 Jahren oder bei früher eingetretener Invalidität fängt die Auszahlung einer Pension an, deren Betrag sich als ein gewisses Prozent der einbezahlten Prämien ergiebt, für Manner 30 und für Frauen 24 Prozent. Diese Höchsbeträge werden jedoch für diejenigen Personen, die bei dem Inkrafttreten des Alterspensionsgesetzes eine gewisse Altersgrenze überschritten hatten, einigermassen modifiziert.     

Randbemerkungen über den Verlauf der Deckungskapitalien; ihre differentialgleichungen und gewisse ihnen angeknüpfte identitäten

Abstract

Es kann in der Lebensversicherung mitunter von Interesse sein eine gewisse Übersicht darüber zu gewinnen wie sich das Deckungskapital irgend eines vorgelegten Versicherungsbestandes (unter bestimmter Voraussetzung der Sterblichkeit und des Zinsfusses) mit den Jahren ändern wird. Es handelt sich dabei oft um die Abschätzung des Zeitspunktes für den Eintritt des Maximums des Deckungskapitals eines solchen Bestandes, und um die Höhe dieses Kapitals zu diesem Zeitpunkte. Solche Fragen entstehen z. B. bei aussterbenden Versicherungseinrichtungen und namentlich bei Übertragungen von ganzen Versicherungsbeständen, wie sie in dieser Zeit so häufig vorkommen. Der Gegenstand bietet kaum Schwierigkeiten, ist vielmehr theoretisch einfach; jedoch aber nicht ohne Interesse, weshalb eine ganz kurze Auseinandersetzung angepasst sein dürfte. Wir werden dann bei derselben Gelegenheit, obwohl es für die so gestellte Aufgabe nicht nötig war, einige allgemeine Differentialgleichungen und Identitäten ableiten, die mit derselben Aufgabe in enger Verbindung stehen.     

Zur Theorie der Selekttafeln

Die Untersuchung der Sterblichkeit einer Bevölkerung zeigt, dass die Sterblichkeitsfunktionen (Sterbenswahrseheinlichkeit, Erlebenswahrscheinlichkeit, Sterblichkeitsintensität u. a. m.) nur von einer Veränderlichen, dem Alter abhängen. Im Gegensatz hiezu zeigen bekanntlich die Sterblichkeitsuntersuchungen, die an versicherten Personen vorgenommen wurden, eine Abhängigkeit der Sterblichkeitsfunktionen von zwei Parametern, dem Alter und der seit Versicherungsbeginn abgelaufenen Dauer. Diese Untersuchungen lehren, dass die Sterblichkeit der Neueingetretenen weitaus geringer ist als die Sterblichkeit von Personen, die bereits längere Zeit hindurch versichert sind und dass die Sterblichkeit der Neueingetretenen erst im Laufe einiger Jahre dieses Mass erreicht. Quantitativ wird diese Abhängigkeit der Sterblichkeit von der seit Versicherungsbeginn abgelaufenen Dauer durch die Selektionstafeln beschrieben, als Erklärung für diese Erscheinung wird teils die Auslese der Versicherungsgesellschaften, teils die Selbstauslese der Versicherten angeführt.     

äber das Gauss'sche Fehlergesetz

Abstract

Das Gauss'sche Fehlergesetz besagt bekanntlich, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der zufällige Fehler einer Beobachtung zwischen zwei Grenzen x ₁ und x ₂ (>; x ₁) liegt, durch das Integral gegeben ist, wo σ eine Konstante bedeutet, die von den Anordnungen bei der Beobachtung und vom Beobachter abhängt. Die Bedeutung dieses Gesetzes ist indessen nicht auf die Fehlertheorie beschränkt, sondern dasselbe spielt eine wichtige Rolle in mehreren Wissensgebieten, wo statistisches Material bearbeitet wird, besonders in der Biologie. Es ist deshalb sehr wünschenswert einen richtigen Einblick darin zu gewinnen, unter welchen Umständen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von der genannten Art entsteht. Gauss' eigene Herleitung stützt sich auf verschiedene Annahmen, die vielleicht in der Fehlertheorie plausibel sind, in anderen Gebieten aber keine Berechtigung haben, und dieselbe kann deshalb nicht einer allgemeinen Theorie zu Grunde gelegt werden.     

Zur numerischen Integration

Abstract

Untersuchungen über das Restglied der sogenannten Cotesischen Formeln zur numerischen Integration sind vielfach angestellt worden, vor allem von Maclaurin, Gauss, Markoff, Peano und Steffensen. Maclaurin¹ betrachtet nur Sonderfälle und stützt sich dabei auf die Euler-Maclaurinsche Summenformel. Dieses Verfahren bedeutet jedoch einen Umweg und gestaltet sich, wenn es einwandfrei durchgeführt werden soll, ausserordentlich umständlich und weitschweifig. Die von Gauss² al1gewandte Methode, welche z. B. von Encke³ weiter ausgebaut worden ist und sich in vielen Lehrbüchern findet, ist streng und systematisch, sagt aber dem modernen mathematischen Empfinden nicht mehr recht zu. Denn bei ihr wird vorausgesetzt, dass sich die zu integrierel1de Funktion durch eine im abgeschlossenen Integrationsintervall konvergente Potenzreihe darstellen lässt, was keineswegs der Fall zu sein braucht und nicht im Wesen der Sache liegt. – Markoff⁴ zieht die Cauchysche¹ Form des Restgliedes der Waring-Lagrangeschen Interpolationsformel heran, berücksichtigt aber nUT Sonderfälle. Bei Peano² tritt das Restglied der Cotesischen Formeln in der Gestalt eines uneigentlichen Integrals mit einem Unstetigkeitsfaktor auf. Wirklich befriedigend hinsichtlich Einfachheit und Strenge erscheint erst die von Steffensen³ gegebene Behandlung des Problems, bei welcher das Restglied mit Hilfe einer höheren Ableitung ausgedrückt wird.     

Zur Berechnung des effektiven Zinsfusses

Im Jahrgang XV, 1932, der Aktuarietidskrift, S. 225, versucht Herr Holme den Nachweis zu liefern, dass die Gleichung für den effektiven Zinsfnss i einer Anleihe (i ₁ = nomineller Zinsfuss, k = Ausgebekurs, F _t = Rückzahlung nach t Jahren) durch Iteration lösbar sei. Der Beweis ist jedoch lückenhaft. Es wird S. 227 für den Fall k < 1 nur gezeigt, dass mit als Anfangswert die Iterierten von ungeradem Index eine fallende, die von geradem Index eine steigende Folge bilden, wobei der gesuchte Wurzelwert zwischen den Folgen eingeschlossen wird. Es fehlt jedoch der Nachweis dafür, dass die Grenzwerte der beiden Folgen zusammenfallen und gleich dem Wurzelwert sind. Dieser Nachweis lässt sich nicht erbringen und die Behauptung, dass die Gl. (1) sich bei k < 1 durch Iteration lösen lässt, ist im allgemeinen unrichtig.     

Über die versicherten-sterblichkeit in Finnland. 1920–1930

Abstract

Ende des Jahres 1932 trafen die finnischen Lebensversicherungsgesellschaften Massnahmen für eine gemeinsame Untersuchung über die Sterblichkeit ihrer Versicherten während des J ahrzehntes 1920–1930. In dieser Absicht gab en die Aktuare der verschiedenen Gesellschaften den Herren Dr. Emil Wessel, Dr. E. A. Hintikka und Professor Dr. R. Nevanlinna in Auftrag einen Entwurf zur Ausführung einer solchen Untersuchung zu machen. Anfang Dezember war der Vorschlag des Dreier-Komitees fertig, der auch genehmigt wurde, sodass die Arbeit im Anfang des folgenden Jahres beginnen konnte.     

Die Lebensversicherung mit exponentiell ansteigender Prämienreserve (Sparversicherung)

Abstract

Die gebräuchlichste Form der Lebensversicherung ist heute die Kapitalversicherung auf den Todes- und Erlebensfall. Bei ihr wird im Versicherungsfall ein bestimmtes Kapital fällig; als Gegenleistung sind hierfür vom Versicherungsnehmer laufend Prämien zu entrichten in Form von gleichen Jahresbeträgen oder auch gleichen unterjährigen Raten. Dieses Prinzip, einem gleichmässigen Versicherungsschutz einerseits gleichmässig fällig werdende Prämien gleicher Höhe andererseits gegenüberzustellen, wird durch die ausgleichend wirkende Funktion der Prämionreserve möglich, welche die bisher nicht benötigten Teile (Sparprämien) der eingezahlten Prämien jeweils reserviert für die sich zukünftig durch Tad oder Ablauf mehr und mehr häufenden Versicherungsfälle. Damit erfüllt die Prämionrosorve als Regulator eine wichtige versicherungstechnische Aufgabe. Dennoch bleibt sie dem Versicherungsnehmer im allgemeinen unbekannt, weil ihre jeweilige Hohe nur mit Hilfe von umfangreichen Tabellen nach mathematischen Formeln berechnet werden kann, so dass ihr verschwiegenes Dasein nicht selten zu Missverständnissen Anlass gibt.     

Zur Versicherung anormaler Leben

Abstract

In einer früheren Note habe ieh versucht, eine Methode zur Konstruktion abgestufter Sterbliehkeitstafeln zu finden, welche dazu geeignet wären, bei der Abschätzung von Prämien für nicht normale Risiken das versicherungstechnische Material zu liefern. Ich hatte zu diesem Zweek für die betreffende Krankheit, als welche in erster Linie und als Beispiel die Tuberkulose gewählt wurde, zunächst die Klasse P definiert, welehe aus allen Individuen besteht, die als Todesursache die Tuberkulose anfweisen werden. Die reziproke Klasse wurde mit S bezeiehnet. Für diese beiden Klassen lassen sich mit Hilfe der schwedischen Todesursachenstatistik die Todesfalls wahrscheinlichkeiten P_x und P _x in den verschiedenen Altersjahren x annähernd bestimmen.     

Über das Aequivalenzprinzip

Abstract

Das Prinzip von der Gleichheit von Leistung und Gegenleistung wird in der Lebensversicherungsmathematik in der Regel so ausgesprochen: Es soll für einen beliebigen, innerhalb der Versicherungsdauer gelegenen Zeitpunkt die vorhandene Rücklage im Vereine mit dem versicherungstechnischen Barwert sämmtlicher noch zu erwartender Leistungen des Versicherten stets gleich sein dem versicherungstechnischen Barwert sammtlicher noch zu erwartender Leistungen des Versicherers. Unter versicherungstechnischem Barwert ist hiebei der auf diesen Zeitpunkt unter Rücksicht auf die Wahrscheinlichkeit der Leistung und die Verzinsung bezogene Wert dieser Leistungen zu verstehen. Unter den Leistungen des Versicherers sollen die vertraglich bedingten Zahlungen, aber auch die Verwaltungskosten und Dividendenzahlungen verstanden sein. Der Zeitpunkt, auf welchen die versicherungstechnischen Barwerte der beiderseitigen Leistungen bezogen werden, ist im übrigen willkürlich, nur muss er stets für Leistung und Gegenleistung derselbe sein. Das Aequivalenzprinzip gilt in gleicher weise für den Beginn und das Ende der Versicherungsdauer. Hieraus folgt in bekannter Weise die nur vom formal mathematischen Standpunkte verschiedene, inhaltlich aber völlig gleichwertige Darstellung der Rücklage in der prospektiven bezw. retrospektiven Gestalt, während der Rücklage selbst als einer nach den gewählten Rechnungsgrundlagen zu schätzenden Grösse, immer nur ein prospektiver Charakter zukommt.     

Eine graphische Darstellung der Leibrente,der einmaligen Prämie,der Jahresprämie und der Prämienreserve

Abstract

Um eine graphische Darstellung einer gegebenen, eindeutigen Funktion f(α) zu erhalten. denken wir uns die den Wert en α′, α″,… α_n der unabhängigen Veränderlichen entsprechenden Grössen x = l . f(α) als Abszissen auf eine Gerade von demselben Ausgangspunkt abgetragen und bezeichnen dann die Endpunkte der Abszissen mit dem zugehörigen Wert von α. Öber die Konstante l, den Modul, können wir frei verfügen und hierdurch einen passenden Massstab erhalten.