«Una condizione necessaria e sufficiente di minimax per il problema dei dadi truccati»

Nell'articolo si fornisce una condizione necessaria e sufficiente di minimax locale per il problema dei dadi truccati». Tale condizione integra una condizione necessaria di minimax proposta dall'Autore in un precedente lavoro. La verifica della condizione non presenta difficoltà in relazione alla regolarità dei vincoli. Una applicazione significativa à esposta relativamente al caso di dimensione 5.

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Summary A necessary and sufficient condition for the minimax loaded dice problem is proposed. An application of this condition for the casen=5 is given.

     

Considerazioni generali sull’impostazione bayesiana di problemi non parametrici

Si fanno alcune considerazioni di natura generale sui problemi statistici non parametrici e sulla loro risoluzione dal punto di vista bayesiano. Dopo aver posto in evidenza l’importanza delle medie associative come strumenti di analisi statistica dei suddetti problemi, ci si propone di determinare la distribuzione iniziale e finale di una generica media associativa nell’ipotesi che le misure di probabilità assegnabili al fenomeno in esame siano rette da un processo di Dirichlet. Ricordate le proprietà fondamentali di tale processo, si rinvia la risoluzione del problema posto alla seconda parte del lavoro.     

Martingale applicate alla teoria del rischio: Processi di guadagno a submartingala e aggiustabilità

Viene formalizzata e studiata l'attività di una compagnia che opera in un mercato assicurativo non vita. Si ipotizza che il guadagno realizzato sulla generica polizza sia una submartingala. Si danno disuguaglianze significative per la probabilità di rovina all'infinito ed entro l'n-mo periodo nel caso in cui il rendimento di portafoglio della compagnia sia “aggiustabile”. I risultati vengono discussi nel caso in cui il mercato sia stratificato in classi di rischio nell'ipotesi di indipendenza; si accenna al caso particolare di rischi poissoniani e all'ipotesi di correlazione interna alle classi di rischio.     

Strong measures of concordance and convergence in probability

It is shown that convergence in probability is sufficient for a strong measure of concordance to converge to one, and that convergence to one of a strong measure of concordance, along with convergence in law, is sufficient for convergence in probability.

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Riassunto Si mostra che la convergenza in probabilità è condizione sufficiente perché una misura forte della concordanza converga a uno, e che la convergenza a uno di una misura forte della concordanza, insieme con la convergenza in legge, è condizione sufficiente per la convergenza in probabilità.

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Partially supported by M.P.I. (Gruppo di ricerca «Modelli probabilistici»).     

A characterization for solutions of stochastic discrete time optimization models

A notion of finitely optimal plan for intertemporal optimization problems as a necessary condition for optimality is introduced. Under interiority of a feasible plan and differentiability of the return function, such a plan satisfies the stochastic analogue of deterministicEuler-Lagrange conditions, which become also sufficient conditions under concavity of the return function. Then, under more general assumptions, a sufficient criterion of optimality based on competitive plans supported by price systems and transversality conditions is discussed. Differently from the current literature, no restrictive hypotheses on the probability measure of the random shocks are assumed.

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Sommario Nella prima parte del lavoro si studiano le soluzioni dettefinitamente ottime che costituiscono una condizione necessaria per l'ottimalità di un piano ammissibile . Sotto ipotesi di interiorità del piano ammissibile e di differenziabilità della funzione obiettivo uniperiodaleF, vengono formulate le condizioni necessarie diEuler-Lagrange in ambito stocastico; aggiungendo l'ulteriore ipotesi di concavità perF, tali condizioni diventano anche sufficienti per l'ottimalità finita.La teoria viene poi estesa al caso sopradifferenziabile ottenendo una generalizzazione delle condizioni di Euler-Lagrange stocastiche che consente di individuare i piani finitamente ottimi mediante la nozione dicompetitività, ovvero supportabilità di un sistema di prezzi aleatori. Con una condizione di trasversalità all'infinito, la competitività diventa condizione sufficiente anche per l'ottimalità propria (cioè non solo finita).La peculiarità della presente trattazione è che tali condizioni sono formulate sotto ipotesi molto generali per quanto riguarda il processo degli shocks esogeni.

     

Due problemi di natura combinatoria inerenti le partizioni di un insieme finito

Nella prima parte si considera il problema della enumerazione delle partizioni di un insieme finito e si dà una nuova relazione di ricorrenza fra i numeri di Stirling di seconda specie. La relazione trovata permette di dedurre per via elementare la forma chiusa dei numeri di Stirling di seconda specie e dei numeri di Bell. Nella seconda parte si vuole vedere sotto quali e quante condizioni risulta additiva o superadditiva una funzione reale con dominioP (N), insieme delle parti dell’insieme finitoN. Dopo aver introdotto alcune definizioni, viene evidenziata l’equivalenza fra tre diverse condizioni atte a verificare l’additività di una funzione d’insieme. Dopo aver mostrato che tale equivalenza non sussiste più quando si tenta di trasferirla a funzioni superadditive, si ricava il numero di controlli necessari e sufficienti a verificare la superadditività di una funzione data empiricamente. In seguito si rivedono i risultati ottenuti inquadrandoli nella Teoria dei giochi di cooperazione adn persone, con particolare riferimento al calcolo del valore secondo Shapley, che viene trattato anche in un esempio numerico.     

Su di una politica di bonus

Si prende in considerazione una politica di Bonus attuata da una Compagnia di assicurazione e si studia l'andamento della perdita attesa della Compagnia al variare dell'entità del Bonus nei casi in cui:

1. la funzioneL(s), che esprime il livello minimo dell'entità dei sinistri non occultabili all'istantes, sia lineare ins;
2. la funzioneL(s) renda massima la previsione del guadagno di ogni singolo assicurato.

     

Una successione di approssimanti per difetto della probabilita' di rovina

In[1] abbiamo stabilito un confine inferiore della probabilità di rovina ψ (u) cioè, psstoR=1-ψ si è mostrato che (*) $$R(u) \leqslant \frac{{1 - \tfrac{a}{c}}}{{1 - \tfrac{{a\mu }}{c}\int_0^u {(1 - F(x)) d x} }} = R(0)k_1 (u), u \geqslant 0$$ dovele costantia, c e μ e la funzioneF hanno il significato che è precisato nel seguito. Noi mostreremo l'esistenza, nella classeC _b delle funzioni continue e limitate, della soluzione dell'equazione integrale (2), cui soddisfa la funzioneR, prescindendo dalla continuità dell'operatore associato all'equazione, ma facendo ricorso soltanto a condizioni di monotonia e alla scelta diR(0)k ₁ quale funzione da cui fare partire il processo iterativo; processo che, ad ogni stadio, porge un confine superiore diR migliore del precedente, e che converge uniformemente sui limitati di [0,+∞) verso la soluzione di (2).     

Su Una Estensione Bidimensionale del Teorema di Scomposizione di Peccati

Facendo ricorso all’introduzione di una opportuna condizione di sincronia fra due coppie di tassi (i, j), esterna, e (i*, j*), interna, si dimostra che condizione necessaria e sufficiente per la validità finanzíaria di una estensione hidimensionale del teorema di scomposizione di Peccati è che le due coppie (i, j) e (i*, j*) soddisfino tale proprietà di sincronia.

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A two-dimensional extension of peccati’s decomposition theorem

Summary This paper keeps as starting poing the Peccati’s decomposition of the d.c.f. of an enterpreneural project seen as a present value of single-period results, recently given by the author in an unidimensional framework. The goal of the paper is twofold: the first is to provide a bidimensional extension of the decomposition in order to keep account of mixed projects, that is projects that according to any internal couple (i*, j*) reveal alternance of investment and respectively collection periods. A straightforward extension is given on the basis of a simple analogic argument. But a more careful evaluation of the problem suggests that if we require that the decomposition be meaningful from a financial point of view. things are no more simple either in one or in two dimensions. To solve the problem we introduce a proper synchrony condition: precisely, the pair of couples (i, j) and (i*, j*) are said to satisfy the synchrony condition if and only if the sequences of the signs of the partial balancesM _t (i, j) andM _t (i*, j*) are the same. After that we are able to show that, with reference to a couple (i, j) of external rates, a bidimensional decomposition centered on an internal couple (i*, j*) is meaningful if and only if the pair (i, j) and (i*, j*) satisfy the synchrony condition. Formally, the result comes as a nice byproduct of a rule on the factorization of particular bivariate polynomials recently given by Stucchi. In particular going back to a one-dimensional world, it turns out that for pure investment (Soper) projects the synchrony condition works as a condition of applicability of the Peccati’s decomposition.

Il testo è frutto di una riflessione congiunta degli autori che ne condividono l’impostazione generale e i risultati. In dettaglio, la stesura dell’introduzione e delle conclusioni deriva da una claborazione comune, quella dei paragrafi 4, 5 e 7 è dovuta a Pressacco mentre quella dei rimanenti è dovuta a Stucchi. Il lavoro è stato svolto nell’ambito della ricerca nazionale “Modelli per la Finanza Matematica”.     

Product liability,quality control and insurance

In order to protect consumers many governments have introduced strict legislation on product liability. Manufacturers can then either establish a strict system of quality control, or try to have their liability covered by insurance. Statistical quality control will give information about the probability that a consumer shall buy a defective product, and be entitled to claim compensation. This probability is relevant to both the manufacturer seeking the optimal control plan and the insurer who will quote a premium for an insurance contract covering the risk. Some simple models are studied, and it is shown that decentralized decision making will not in general lead to a Pareto optimal arrangement.

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Riassunto Le legislazioni che molti governi hanno introdotto a difesa del consumatore, hanno posto i fabbricanti nelle condizioni di scegliere tra la individuazione di un più rigoroso sistema di controllo della qualità dei prodotti e il ricorso a qualche forma di assicurazione di responsabilità civile. Il controllo statistico di qualità è, com’è noto, in grado di fornire informazioni sulla probabilità che il consumatore acquisti un prodotto difettoso ed acquisisca quindi titolo a richiedere qualche forma di risarcimento. La valutazione di tale probabilità interessa tanto il produttore, che è alla ricerca di un piano di controllo statistico efficace, quanto l’assicuratore che deve fissare l’entità dei premi corrispondenti ai contratti di assicurazione che coprono i rischi suddetti. In questo lavoro vengono presi in considerazione alcuni semplici modelli che vengono analizzati nell’ambito della teoria dei giochi.

     

Alcune formule valide per lo studio di collettività aperte con rimpiazzo

Si dimostrano due formule relative, l'una, al calcolo del v.a.m. delle retribuzioni (o dei trattamenti pensionistici) percepite da una collettività aperta di «attivi», nell'ipotesi che gli uscenti da questa vengano via via rimpiazzati da un pari numero di individui aventi caratteristiche note; l'altra, alla determinazione degli ammontari annualmente pagati nelle stesse ipotesi.     

Sulle operazioni associative tra variabili casuali

Si mostra che, sotto condizioni di regolarità, seo è un’operazione associativa tra variabili casuali reali e indipendenti, è definibile una trasformata integrale ξ delle loro funzioni di ripartizione con la proprietà: ξx ₀ Y (t)=ξx(t)·ξ _y (t). Si indicano alcune proprietà di tale trasformata e si tratta della possibilità di estendere a un’operazione associativa risultati noti per l’addizione tra variabili casuali. In particolare ci si occupa dell’« infinita divisibilità » fornendo condizioni perché una variabile casualeX ammetta la rappresentazioneX=X _1O X _2O … _o X _n per ognin naturale con leX _i indipendenti e identicamente ditribuite.     

Il mercto interbancario dei depositi: Previsione a breve e gestione della riserva obbligatoria

La capacità di fare previsioni sul mercato monetario è un punto cruciale nella gestione ottima di tesoreria di una banca, anche in virtú della possibilità di mobilizzare parte della riserva obbligatoria presso la Banca d’Italia. In questo studio viene mostrato come l’uso congiuuto di tecniche di previsione per i tassi a breve e la costruzione di un modello decisionale per la gestione della liquidità, basato sulle previsioni, permettano Alla banca di attnare una politica piu attiva con risultati globalmente positivi, in termini di interessi percepiti. A tal tine viene proposta una classe di previsori detti caolici e impostato un problema di decisione dinamica per la gestione ottima della riserva obbligatoria. Infine, si mostra un’applicazione di tale strategia sui tassiOvernight.     

Sulla dinamica dei processi di scambio monetari

In questa nota si propone una estensione del modello dinamico di economia monetaria di puro scambio sviluppato da D. Friedman in un lavoro recente [5]. Lo schema analitico mantiene il carattere non deterministico e non tâtonnement introdotto da S. Smale nello studio di processi transattivi [9]. Ammettendo che la merce usata nel sistema come moneta sia richiesta dagli agenti non solo sulla base delle sue caratteristiche fisiche, ma anche a partire dal ruolo istituzionale assolto, si prova che il processo economico converge ad una varietà di configurazioni finali che è strettamente più ampia dell'insieme degli equilibri walrasiani.     

Sul tasso implicito di operazioni finanziarie aleatorie

Si danno limitazioni inferiori e superiori per il valor medio del tasso implicito di operazioni finanziarie aleatorie di una classe determinata. Per l’ottenimento di alcune disuguaglianze si fa uso di una versione generalizzata della ben nota disuguaglianza di ?eby?ev tra medie con diverse ponderazioni che viene dimostrata in appendice e che vale anche per distribuzioni di probabilitá con componenti discreta e continua congiuntamente.     

Esistenza Di Un Equilibrio Concorrenziale Per La Teoria Generale Della Domanda Di Spazio E Della Rendita

Si dimostra l’esistenza di un equilibrio concorrenziale in un’economia in cui si tien conto esplicitamente della locazione dello scambio dei beni e si introducono domanda e offerta di spazio. A tale scopo si stabiliscono proprietà di continuità degli estremi per problemi in cui compaiono come incognite funzioni di punto ed insiemi. Nella prima parte si sviluppa una teoria matematica che viene applicata nell’esempio economico trattato nella seconda parte.     

Un teorema limite locale per somme di numeri aleatori scambiabili

In questa nota viene presentata una condizione affinché valga la convergenza locale verso la gaussiana nel caso di numeri aleatori scambiabili.     

Trasformata inversa di laplace per funzioni positive e problema dei momenti

Si propone un nuovo metodo per l'inversione numerica della transformata di Laplace per funzioni positive, tipicamente densità di probabilità. La funzione approssimante è ottenuta ricorrendo al principio di Massima Entropia, assumendo come informazione limitata i momenti della funzione da ricostruire, a loro volta legati da ben note relazioni alle derivate della funzione transformata. Dopo aver richiamato alcuni risultati teorici noti in letteratura concernenti l'esistenza dell'approssimante e la convergenza in entropia (e di conseguenza in normaL ₁), si presentano alcuni risultati teorici originali sul condizionamento del problema e alcuni risultati numerici che illustrano la bontà dell'approssimante.

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Summary A new method for the numerical Laplace transform inversion of positive functions, tipically probability density functions, is proposed. The approximating function is obtained resorting to the maxientropic approach, by assuming its moments as partial available information. Some known theoretical results concerning the existence and entropy convergence are reviewed. New theoretical results about the conditioning of the problem and some numerical simulations are illustrated.

     

Reputazione e credibilità di una minaccia in un gioco di contrattazione

Il presente articolo tratta di giochi di contrattazione in cui due giocatori cooperano al fine di trarne un mutuo beneficio. Se un giocatore devia dalla strategia cooperativa l'altro pone in essere una minaccia precedentemente annunciata a titolo di ritorsione. Questo modello cerca di formalizzare il concetto di efficacia e credibilità di una minaccia. Si prende poi in considerazione la reputazione di un giocatore, la quale influenza la decisione di attuare una minaccia incrementando la funzione di utilità di colui che la pone in essere. La velocità di ritorsione e la rapidità di percezione dell'inganno mostrano come un giocatore può deviare dalla strategia cooperativa vanificando gli sforzi di ritorsione del giocatore ingannato.

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Summary This paper deals with bargaining games in which two players cooperate for the purpose of obtaining mutual benefits. If one player deviates from the cooperative strategy, the other then carries out a threat previously announced for the purpose of retaliation. Reputation of a player is considered, which influences the decision of implementing a threat by causing an increasing of the utility function of the punishing player. Speed of retaliation and swiftness of detection of cheating show how a player can deviate from the cooperative strategy vanishing the efforts of the punishing player.

     

Considerazioni generali sull’impostazione Bayesiana di problemi non parametrici. Le medie associative nel contesto del processo aleatorio di Dirichlet parte II

Nei problemi statistici non parametrici la conoscenza della distribuzione iniziale e finale di una generica media associativa si manifesta particolarmente utile. Se la classe delle possibili funzioni di ripartizione scelte per descrivere un fenomeno è retta da un processo di Dirichlet nel senso precisato in D. M. Cifarelli — E. Regazzini (1979), è possibile pervenire ad una rappresentazione esplicita della distribuzione iniziale e ad una relazione ricorrente per il calcolo della distribuzione finale di una generica media associativa, secondo quanto si dimostra in questo lavoro. Lavoro eseguito nell’ambito G.N..F.A. del C.N.R.. A D.M. Cifarelli sono dovuti: i Lemmi 1, 4, i Teoremi 1, 2 ed il numero 3. Ad E. Regazzini sono dovuti: i Lemmi 2, 3, 7, il Teorema 3, il numero 2.3 e le Osservazioni 1, 2. La Parte I è stata pubblicata in questo periodico Anno 2°, Fasc. 1°.