函数严格单调的一个充要条件

为推广文献[1]的定理B,利用单侧导数和对称导数给出判别一个函数严格单调的充分必要条件：设f（x）在[a,b]上连续,M为[a,b]的可列子集,在（a,b）-M上,f′＋（x）存在,则f（x）在[a,b]上严格单调增加（减少）的充要条件为：x∈（a,b）-M,f′＋（x）≥0（f′＋（x）≤0）;且f′＋（x）在（a,b）的任一子区间内不恒等于零。上述条件中f′＋（x）换成f′-（x）或fs（x）,结论仍成立。     

关于积分中值定理及推广的积分中值定理的改进

本文改进了积分中值定理及推广的积分中值定理.我们得到了如下的结果:如果函数f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积不变号,则存在ξ∈(a,b)使得integra from n=a to b (f(x)g(x)dx)=f(ξ)integral from n=a to b (g(x)dx).特别是,当g(x)≡1时即有integralfrom =a to b (f(x)dx)=f(ξ)(b-a).     

柯西中值定理的两种新证法

设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导.直接从拉格朗日中值定理出发,证明了至少存在一点ξ∈（a,b）,使得（f(b)-f(a)）g’（ξ）=（g(b)-g(a)）f’（ξ）.此外,从以P=(f(a), f(b)),Q=(g(a),g(b))为端点的两个向量是否平行的判别式（二阶行列式）出发,证明了同样的结论.     

二阶常系数线性微分方程的通解公式

对于二阶常系数线性微分方程（其中p、q为实常数,f（x）为实函数）求其通解,一般是求出①的对应齐次方程的通解和方程①的一个特解,则方程①的通解表示为①的特解与②的通解之和。本文只通过直接积分．使得出①的通解的积分表达式。设r1、r2是方程①的特征方程的两个根,定理对于二阶常系数线性微分方程①则（）当o＝o时,方程①的通解为其中（2）当面＞0时,方程①的通解为（3）当凸＜0时,设rl－a＋p,rZ＝a－＆,则①的通解为（以上所有积分是不含常数的原国教。下同）证明因为rl、rZ是③的两个根．则根据韦达定理有将④、⑤两式代人…     

关于推广的重积分中值定理的一个注记

本文推广了文1中的主要结果.我们得到如下的结论:一、令D是n维欧氏空间R中闭长方体区域、若n元函数f(P)在D上连续,g(P)在D上可积不变号,则存在D的内点P_0使得:n重积分(?)…integral from (f(p)g(p)dσ)＝f(p_0)(?)…integral from (g(p)dσ)二、令D是二维欧氏空间R~2中的X—Y型有界闭区域,若f(P)在D上连续,g(P)在D上可积不变号则存在D的内点P_0使得:(?)(f(p)g(p)dσ)=f(p_0)(?)(g(p)dσ).     

矩阵和与积的秩的不等式推广

在［1］、［2］中,有下列结论：1．设A,B均为m×n矩阵,则r（A＋B）≤r（A）＋r（B）2．设矩阵地Amxn,Bn×s,则r（AB）≤min｛r（A）,r（B）｝本文将上述结论推广,得到有限个矩阵和的秩的不等式、矩阵秩的和与积的秩的关系不等式。定理1　设A1,A2,…,Ap均为m×n矩阵,则证明当P＝2时,结论成立。即r（A1十A2）≤r（A1）＋r（A2）。假设当P＝K时,结论成立。即r定理2设A1,A2,…,Ap分别为n1×n2,n2×n3,…,np×Xnp＋1矩阵,则则有n1阶初等矩阵P1和n2阶初等矩阵Q1,使得有N阶初等矩阵巨和N阶初等矩阵Q,使得由此,…     

矩阵迹的性质

定义[1]A＝（aij）为n阶矩阵，A的主对角线元素之和称为A的迹，记为tr（A）。即矩阵的迹具有下述的常见性质[1]：1．tr（A＋B）=tr（A）＋tr（B）2．tr（KA）＝Ktr（A）3．tr（AT）＝tr（A）4．tr（AB）＝tr（BA）5．tr（ABC）＝tr（BCA）＝tr（CAB）6．设A有l个特征值则7．设AB均为n阶矩阵，且B＝U－1AU（U为n队可逆矩阵），则tr（A）＝tr（B）本文对矩阵的迹作进一步的研究，得到它的一些新的结果。定理1在复数域上，若矩阵A的特征值为h（A）为任意多项式，则证明因矩阵A的特征值为人由（2）P188定理4知，h（A）的特征…     

关于拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理是高等数学中重要定理之一，其证明方法关键在于构造一个辅助函数，再应用罗尔中值定理推出拉格朗日中值定理的结论。本利用几何、代数的方法，给出拉格朗口中值得证明过程中两种构造辅助函数的思路和方法。     

具偏差变元的高阶中立型方程周期解的存在性

本文研究一类具偏差变元的高阶中立型方程d^m/dt^m（x（t）-n∑i=1cix（t-τi））=g（t,x（t-τ（t）））＋p（t）周期解存在性问题，其中f,p和τ为R上连续函数，p（t＋2π）=p（t）,τ（t＋2π）=τ（t）,且f0^2πp（s）ds=0;g∈C（R×R,R）满足g（t＋2π,x）=g（t,x）,A↓x∈R,Ci,ri,（i=1,2,……，n）为常数，m和n为正整数，利用Mawhin重合度拓展定理，我们得到了周期解存在性的结果。     

拉格朗日中值定理证明中辅助函数作法的推广及应用

拉格朗日中值定理是数学分析中一个很重要的微分中值定理,它的证明需要利用罗尔中值定理,而其中辅助函数的选取非常关键。为了扩展思路,对其形式进行了推广,并举例说明。     

奇异摄动与临界的多调和方程

令整数k≥1,k＊=2N/（N-2k）（N≥2k＋1）。本文用变分方法首先证明了方程（-△）^ku=｜u｜^k＊-2 u＋λf（x）u,x∈Ω当Ω关于0点是一星型区域且f（x）=1/｜x｜^2k时没有非零解;其次证明了若f（x）〉0,f（x）∈Lloc^∞（Ω／{0}）且满足（1）存在β满足max{0,4k-N}≤β〈2k使得0〈lim｜x｜→0｜x｜^β f（x）=c〈∞;（2）存在δ〉μk使得对α.e.x∈Ω有｜x｜^β f（x）≤1/λδ,则P（k,f）在H0^k（Ω）中有一个非零解。     

多元函数可微条件的一点改进

现在各版本高等数学教材均把偏导数fx(x,y)、fy(x,y)在(x0,y0)连续作为f(x,y)在(x0,y0)可微的充分条件。本文认为,这个条件尚可减弱为:z=f(x,y)的其中一个偏导数在(x0,y0)连续,另一个偏导数在(x0,y0)存在,同样使z=f(x,y)在(x0,y0)处可微。对此结论作了证明,并举例加以说明。     

中立型微分方程正解的存在性

考虑中立型微分方程[x（t）＋px（t－τ）］＋Q（t）x（t－σ）＋f（t,x（t－r））＝0（*）在∫~∞Q（S）ds＜∞和对f较弱限制的条件下,得到了方程（*）当｜p｜≠1时存在正解的充分条件。改进和推广了文献的［2,3］的结果。     

高等数学中数形结合教学模式的探讨

以利用多项式函数近似表示正弦函数为例,探讨了如何在高等数学中应用动画的形式进行数形结合的教学方法,着重介绍了通过利用动画的形式自动生成函数f（x）及其幂级数展开式的前n项和函数Sn（x）的图形并进行比较的方法,使学生能够轻松有趣地理解函数展开为幂级数的意义及其应用。     

费尔玛猜想的证明

先证出当j，c，n均为正整数且j＜c，n≥3时。方程cn-（c-j）n-（c-x）n＝0（*）有唯一实根，其中然后证出ti=0．99…9＋0．00…01×p（i），1≤p（i）＜10，i=1，2,…，A式中的s（i）具有如下性质：存在正整数B，使当i＞B时恒有s（i＋2）-s（i＋1）＞s（i＋1）-s（i）≥1，接着又证出，ξ不为整数。最后，对（*）式中的c，c—J，c—x分别令为Z，Y，X，则可由上面的论述得知，当n≥3且Z，Y为相异正整数时，方程Xn＋Yn＝Zn中的X必不为整数。这就证明了费尔玛猜想。     

关于Rosenberg问题的一个总体构造

鉴于Rosenberg问题及统计中的投影寻踪理论，构造了非正记的n维总密度函数f(x)，且其在1（1≤1≤n)维超平面Li上的投影密度f(Z）为正态密度，其中，1≤i≤N(N为任间有限数），当i≠j,1≤i,j≤N时，Li≠Lj.     

Banach空间中向量值函数与实值函数商的极限的洛彼达法则

本文给出了形如limx→αf（x）/g（x）的0/0型和∞/∞型极限计算的洛彼达法则。其中f是从a的去心邻域U（α）到Banach空间X的函数，且按照X的范数可导，g是U（a）上可导的实值函数。     

整函数及其若干性质

有时我们把多项式a_0 a_1x … a_nx~n称为有理整函数.把 a~x(a>0,a≠1),sinx,cosx等称为超越整函数.那么,究竟什么是整函数?它们之间有哪些联系?又有哪些本质上不同的特性呢?本文试图在这些方面加以阐明.某些性质的推导,我们将采取不太严格的证明.一、整函数的概念在实数集上处处收敛的幂级数:a_0 a_1x a_2x~2 … a_nx~n …(1)是多项式概念的自然推广.事实上,当级数(1)从某项开始,后面各项的系数皆为零时,(1)就是一个多项式.在中学数学中,就曾讨论过一种简单的幂级数:1 x x~2 … x~n …它在|x|<1时收敛.在|x|_(?)≥1时不收敛(发散).级数(1)在数轴上处处收敛的充分必要条件是(?)~n|a_n|(1/2)=0 (2)有时使用级数(1)在数轴上处处收敛的充分条件(不是必要条件):(?)a_n 1/a_n=0 (2)’会更为方便些.例如:对于幂级数1 x/1! x~2/2! x~3/3! … x~n/n! …由于(?)[1/(n 1)!/(1/n!)]=0.所以,它是处处收敛的.它的和函数为e~x,即     

加权Bergman空间上的Rudin正交性问题

通过构造广义计数函数N（φ）,α（w）,研究了加权Bergman空间A2a（D）上的Rudin正交性问题.证明了（φ）：D→D解析,（φ）（0）=0时,{（φ）k：k=0,1,2,…}构成加权Bergman空间Aα2（D）的正交集当且仅当函数Nφ（φ）α（w）=∑（φ）（z）∞∑n=1（1-｜z｜2）n＋α＋1是本性径向的;当解析函数（φ）为n阶有限Blaschke乘积且（φ）（0）=0时,若存在正整数N使得∑｜ z ｜ 2N/φ（φ）α（w）是本性径向的,则（φ）=czn,其中c为常数.     

随机存货模型的边际分析法

通常在我们讨论的存货模型中,往往假定在一个时期内,需求速度是一个常量,以此推导出经典的存货模型公式。但在许多情况下,企业管理部门面对的问题是决定一个变化的q值。例如：q为某种产品的订购数。在q确定以后,其市场需求量D为一个随机变量,其值d可以测出。决策者要付出的费用C（入q）依赖于d和q的值。我们不妨设决策者面临的实际问题是选择q使期望费用最小。我们先假定D为一个整数值的离散型随机变量,用P（D＝d）＝q（d）表示其概率。令E（q）为决策者选择q以后的期望费用,则E（q）。zP（d）C（dq）（1）在大多数实际问题中,…