Massimo della somma tra una funzione lineare ed una funzione lineare fratta

In questo lavoro si considera un problema di estremo vincolato avente la regione ammissibile espressa da diseguaglianze lineari e per funzione obiettivo la somma tra una funzione lineare fratta. Per tale problema viene proposto un algoritmo risolutivo che ne determina una soluzione ottima, generando un numero finito di massimi locali.

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Summary We present a sequential method to solve a constrained extrema problem with feasible region defined by linear inequalities and objective function expressed as a sum of a linear and homografical functions.The technique used finds a finite number of local extrema, the last being the global one.

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Ricerca effettuata con fondi erogati dal Ministero della Pubblica Istruzione.     

A characterization for solutions of stochastic discrete time optimization models

A notion of finitely optimal plan for intertemporal optimization problems as a necessary condition for optimality is introduced. Under interiority of a feasible plan and differentiability of the return function, such a plan satisfies the stochastic analogue of deterministicEuler-Lagrange conditions, which become also sufficient conditions under concavity of the return function. Then, under more general assumptions, a sufficient criterion of optimality based on competitive plans supported by price systems and transversality conditions is discussed. Differently from the current literature, no restrictive hypotheses on the probability measure of the random shocks are assumed.

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Sommario Nella prima parte del lavoro si studiano le soluzioni dettefinitamente ottime che costituiscono una condizione necessaria per l'ottimalità di un piano ammissibile . Sotto ipotesi di interiorità del piano ammissibile e di differenziabilità della funzione obiettivo uniperiodaleF, vengono formulate le condizioni necessarie diEuler-Lagrange in ambito stocastico; aggiungendo l'ulteriore ipotesi di concavità perF, tali condizioni diventano anche sufficienti per l'ottimalità finita.La teoria viene poi estesa al caso sopradifferenziabile ottenendo una generalizzazione delle condizioni di Euler-Lagrange stocastiche che consente di individuare i piani finitamente ottimi mediante la nozione dicompetitività, ovvero supportabilità di un sistema di prezzi aleatori. Con una condizione di trasversalità all'infinito, la competitività diventa condizione sufficiente anche per l'ottimalità propria (cioè non solo finita).La peculiarità della presente trattazione è che tali condizioni sono formulate sotto ipotesi molto generali per quanto riguarda il processo degli shocks esogeni.

     

An algorithm for resource allocation with constraints in an input-output framework

In a large corporation or at the national level, planning involves a large number of inter-related activities competing for the same resources. In spite of its rather restrictive assumptions, Leontief's Input-Output model is still one of the best tool for the study of physical and financial flows between activities or economic sectors. A simple algorithm to find its solution when the available resources are limited is presented in this paper. The properties of that algorithm that was incorporated in an inter-industrial model built in Venezuela are proven and are followed by examples of application.

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Riassunto In grandi imprese o in sistemi economici nazionali la pianificazione riguarda un numero elevato di attività interrelate che fanno uso delle stesse risorse. Nonostante le ipotesi di base piuttosto restrittive, il modelloinput-output di Leontief è ancora uno degli strumenti più efficaci per lo studio dei flussi fisici e finanziari tra attività o settori economici.In questo lavoro viene presentato un semplice algoritmo per individuare la soluzione d'un problema di pianificazione quando sono limitati gli ammontari delle risorse. Sono dimonstrate alcune proprietà di questo algoritmo, che fu impiegato su un modello di relazioni interindustriali costruito in Venezuela e sono fornite alcune applicazioni esemplificatrici.

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Versione definitiva pervenuta il 14-2-1983     

Kmenta's approximation from numerical analysis viewpoint

The paper presents the theoretical problem of Kmenta's approximation to CES production function and studies it from the point of view of numerical analysis. Intervals of overestimation, of underestimation and limitations for the approximation error are obtained.

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Riassunto Questo lavoro presenta il problema teorico dell'approssimazione di Kmenta alla funzione di produzione CES attraverso la ricerca degli insiemi in cui l'approssimazione è per eccesso e di quelli in cui l'approssimazione è per difetto e la valutazione dell'errore di approssimazione dal punto di vista dell'analisi numerica.

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Versione definitiva pervenuta il 15-3-1982     

Funzioni scalari affini generalizzate

In questo lavoro si estende il concetto di funzione affine a tutte le classi di funzioni che verificano sia una sorta di concavità generalizzata sia la corrispondente proprietà di convessità generalizzata. Di tali classi vengono studiate le relazioni di inclusione e le proprietà relative alle trasformazioni di funzione.

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Summary In this paper some different classes of functions, generalizing the concept of affine function, are introduced and studied. Properties and relationships among the classes are given and some properties about functions transformation are provided.

     

Learning non-rational expectations equilibria

A hyperinflation model is analyzed under bounded rationality learning. Agents believe in a misspecified model which is correctly specified at theRational Expectations Equilibrium of the model and they adjust their beliefs by means of theLeast Mean Squares algorithm. Convergence of the bounded rationality learning activity to anon-Rational Expectations Equilibrium point is obtained for any set of parameters of the model.

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Sommario In questo lavoro gli autori analizzano il modello di iperinflazioneà la Cagan sotto l'ipotesi di razionalità limitata. Gli agenti non formano le loro aspettative coerentemente con la struttura completa del modello economico, essi si basano su un modello lineare non correttamente specificato che risulta essere corretto soltanto in corrispondenza dell'equilibrio con aspettative razionali. Si ipotizza che i soggetti aggiornino le loro aspettative tramite un algoritmo di apprendimento. Nel caso specifico, l'algoritmo adottato è ilLeast Mean Squares. Il principale risultato del lavoro è che l'apprendimento con razionalità limitata da parte dei soggetti economici può convergere ad un punto che non è un equilibrio con aspettative razionali. Il risultato è particolarmente interessante poiché la maggior parte degli studi noti in questa letteratura, nonostante non assicurino la convergenza ad un equilibrio con aspettative razionali, assicurano la non convergenza ad un equilibrio che non sia di aspecttative razionali. La convergenza ad un equilibrio non di aspettative razionali è dovuta ad una non corretta specificazione del modello secondo cui i soggetti formano le loro aspettative. In particolare, la convergenza ad un equilibrio non di aspettative razionali si verifica allorché i soggetti non tengono conto nel loro apprendimento di una variabile rilevante che essi classificano come rumore bianco.

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Authors would like to thank an anonymous referee and all of those who gave comments and suggestions at theSociety of Economic Dynamics and Control Conference (SEDC) '94 (Los Angeles, CA-USA);International Conference on Artificial Neural Networks (ICANN) '94 (Salerno, Italy);World Conference on Neural Networks (WCNN) '94 (San Diego, CA-USA);AMASES '94 Conference (Modena, Italy). The usual disclaimers apply.     

A new formula on a particular type of «Gambler's ruin» problem withN players

The «gambler's ruin» problem both in the fair game and in the unfair game with two players is a classical one. Some results are known also for a fair ruin game among more than two players. In this note an unfair ruin game among more than two players is tackled and a new formula is derived.

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Riassunto Il problema della rovina in un gioco (equo o non) tra due giocatori è classico. Alcuni risultati sono noti per un gioco equo di rovina tra più di due giocatori.In questa nota un gioco non equo di rovina tra più di due giocatori è preso in considerazione, ricavando per esso una nuova formula.

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Work performed under the auspices of GNAFA, Italian C.N.R.     

Optimal replacement with a single unloaded standby

The problem of optimal replacement for two andn components with a single unloaded standby is solved. The solution is determined by the relative costs of failure for each component and is independent of the actual failure time, other than immediate replacement being specified. Conditions for the existence of a single critical number policy are derived and the general policy is described.

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Riassunto Si risolve il problema della sostituzione ottimale perdue en componenti con un singolo pezzo di «unloaded standby». La soluzione è determinata dai costi relativi del guasto per ogni componente ed è indipendente dal tempo specifico in cui il guasto è avvenuto, salvo che sia assunta l'immediata sostituzione. Si derivano condizioni per l'esistenza di una politica basata su un solo numero critico e si studia la politica generale.

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The authors wish to thank an anonymous referee for identifying errors in mathematical expressions, and also Professor Leonardo Sbrocchi.     

Soluzione ottima esplicita di un particolare problema di programmazione quadratica

Si considera un problema di programmazione quadratica strettamente convessoc la cui particolare struttura permette di stabilire a priori alcune proprietà, relative sia alla forma quadratica che alla soluzione ottima, che rendono possibile la determinazione di une formula esplicita per la soluzione ottima del problema.Tale problema è state precedentemente studiato come formulazione di un problema di costituzione di capitale per inseguimento in [3,4].

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Summary In this paper we consider a strictly convex quadratic programming problem whose particular structure allows us to establish some theoretical results and to find an explicit formula for its optimal solution.This problem has been already studied as an investment problem.

     

On certainty equivalent

Riassunto Come noto, una funzione continua e strettamente monotona individua una media associativa di una variabile aleatoria (v.a.)X.Nel presente lavoro si confrontano due medie associativeM _f eM _g , indotte da due diverse funzionif eg, allo scopo di individuare, nella classe delle v.a.X limitate, l'estremo superiore della loro differenza in modulo.Sotto alcune ipotesi, in particolare chef sia una trasformazione crescente e concava dig, si forniscono condizioni necessarie e/o sufficienti di estremo superiore della differenza in questione.Da un punto di vista applicativo, qualoraf eg siano interpretabili come funzioni di utilità e quindi le medie associative considerate assumano il significato di certi equivalenti, l'estremo superiore della loro differenza può rappresentare il margine di contrattazione (sul prezzo) che un venditore ed acquirente potenziali hanno a disposizione. Se poig è lineare ef è concava allora la differenza considerata è il premio di rischio.

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Partially supported by M.U.R.S.T. and C.N.R.     

Reputazione e credibilità di una minaccia in un gioco di contrattazione

Il presente articolo tratta di giochi di contrattazione in cui due giocatori cooperano al fine di trarne un mutuo beneficio. Se un giocatore devia dalla strategia cooperativa l'altro pone in essere una minaccia precedentemente annunciata a titolo di ritorsione. Questo modello cerca di formalizzare il concetto di efficacia e credibilità di una minaccia. Si prende poi in considerazione la reputazione di un giocatore, la quale influenza la decisione di attuare una minaccia incrementando la funzione di utilità di colui che la pone in essere. La velocità di ritorsione e la rapidità di percezione dell'inganno mostrano come un giocatore può deviare dalla strategia cooperativa vanificando gli sforzi di ritorsione del giocatore ingannato.

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Summary This paper deals with bargaining games in which two players cooperate for the purpose of obtaining mutual benefits. If one player deviates from the cooperative strategy, the other then carries out a threat previously announced for the purpose of retaliation. Reputation of a player is considered, which influences the decision of implementing a threat by causing an increasing of the utility function of the punishing player. Speed of retaliation and swiftness of detection of cheating show how a player can deviate from the cooperative strategy vanishing the efforts of the punishing player.

     

Funzioni di Green per equazioni differenziali ordinarie e applicazioni in finanza

Nella letteratura finanziaria è ricorrente la presenza di problemi ai valori iniziali o ai limiti, non omogenei, la cui soluzione può essere espressa in forma integrale. A tal fine si utilizza un nucleo, detto funzione di Green, di cui è possibile indagare le proprietà e fornire un'interpretazione probabilistica. Il presente lavoro esamina e rielabora tale metodo risolutivo, usato per la valutazione di funzionali di processi stocastici privi di fattori di sconto. D'altro canto, nella letteratura finanziaria sono presenti funzionali al cui interno è riconoscibile un fattore di sconto. Definiremo la funzione di Green anche in relazione ad essi e li studieremo al di fuori del caso browniano, già noto.Summary Second-order ordinary differential equations, both linear and non-homogeneous, play an important role in Finance. Integral form solutions to the corresponding initial or boundary-value problems — in the spirit of the Feynmac-Kac representation — are well-known. They are based on a kernel, known as Green's function. This method has been applied almost exclusively to the representation of functionals of stochastic processes with no discount factor. In Finance however we are mainly concerned with functionals presenting a discount factor, which have been extensively studied for the brownian case only. As a consequence, the paper firstly reviews the concept and properties of the Green function, especially with reference to the standard evaluation of functionals of stochastic processes. Secondly, it develops a Green's function approach for discounted functionals. Finally, it suggests applications and extensions.

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L'autrice è grata ad un anonimo referee per i suggerimenti dati al lavoro, che ha goduto del parziale finanziamento MURST 40% (Intermediazione finanziaria, funzionamento dei mercati ed economia reale).     

A specialization of the convex simplex method to cubic programming

This paper presents a specialization of the Convex Simplex method to cubic objective functions. The algorithm selects a direction of improvement by looking at the partial derivative. An optimal step is chosen by maximizing the objective function in that direction. This involves considering quadratic derivatives and selecting the appropriate step size. The pivoting is done by either a simple Simplex pivoting or by addition of a constraint as in Beale's algorithm. The convergence and the computational efficiency of the algorithm are presented in the last section of the paper, with several examples of application of cubic programming.

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Riassunto Si presenta un adattamento del metodo «Convex Simplex» per risolvere problemi la cui funzione obiettivo è cubica. L'algoritmo analizza le derivate parziali della funzione obiettivo e indica la direzione e la variazione ottimali per procedere poi in analogia all'algoritmo di Beale. Vengono infine analizzate l'efficenza e la convergenza del metodo e considerati vari esempi pratici di applicazione della programmazione cubica.

     

A note on principal components and morse theorem

We consider a real random vector X with cumulant generating function ψ_X, non-singular covariance matrix and zero expectation and prove that a principal component transformation of X is the Jacobian at the origin of a Morse-transformation for ψ_X. Subsequently, a similar result is stated removing the nondegeneracy assumption. Finally, we discuss the possibility to apply our results in a statistical framework.

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Riassunto Si considera un vettore aleatorio a valori reali X con funzione generatrice dei cumulanti ψ_X, matrice di varianza-covarianza non singolare e valore atteso nullo e si dimostra che una trasformazione delle componenti principali di X è lo jacobiano nell'origine di una trasformazione di Morse per ψ_X. Successivamente un risultato simile viene stabilito rimuovendo l'assunzione di non singolarità. Infine si discute la possibilità di applicare il nostro risultato in ambito statistico.

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Partially supported by M.U.R.S.T.     

On the decomposition of stochastic discounted cash flows

This paper extends previous results by Peccati [7] and Beccacece [1] on the decomposition of the discounted cash flow for deterministic financial operations to the stochastic case. Modelling financial operations as processes whose cumulant is a semimartingale, we obtain a very general decomposition formula which allows one to consider even random discount factors.

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Riassunto Il lavoro propone un'estensione al caso aleatorio dei risultati presentati in Peccati [7] e Beccacece [1] sulla scomposizione del risultato economico attualizzato per operazioni finanziarie certe. Considerando la classe di operazioni finanziarie la cui funzione cumulativa dei margini è una semimartingala, si perviene ad una formula di decomposizionc del risultato economico attualizzato molto generale, valida anche nel caso di fattori di sconto aleatori.

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This work has been partially supported by C.N.R. and M.U.R.S.T. One of the authors wishes to thank M. Armott for drawing (and keeping) us into this project.     

Su un problema di teoria dell'utilità d'interesse in campo assicurativo

Si studia il problema della quota ottima di rischio che un individuo ha convenienza ad assumere, o ad assicurare, in relazione alla propria funzione di utilità; con particolare riguardo al caso in cui tale utilità sia rappresentata da una funzione esponenziale.The optimal risk fraction to be assumed by an individual acting following the expected utility principle is studied.Special attention is devoted to the case of exponential utility function.     

Global dynamics in models of fluctuating growth Part I: Two dimensional systems

We consider a modified version of Goodwin's celebrated non-linear model of fluctuating growth, where the incomeY is a quadratic function of the capital stockk, in order to take into account the possibility of increasing or decreasing returns. The dynamics of the model is then defined by a non-autonomous system of two differential equations. Assuming the labour supply,N, and the productivity,a, to be constant in the time, the model becomes autonomous and can be embedded in a stable family of planar dynamical systems whose flows and bifurcations are globally described

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Riassunto Si considera una versione modificata del modello di crescita non-lineare di Goodwin, in cui il reddito,Y, è una funzione quadratica dello stock di capitale,k, così da permettere la possibilità di rendimenti crescenti o decrescenti. La dinamica del modello viene allora rappresentata da un sistema non autonomo di due equazioni differenziali. Con l'ipotesi che l'offerta di lavoro,N, e la produttività,a, siano costanti nel tempo, il modello diventa autonomo e può essere immerso in una famiglia stabile di sistemi dinamici piani, di cui vengono descritti i flussi globali e le biforcazioni.

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This paper relates to the activities of the M.P.I. Group Dinamiche Non-Lineari nelle Scienze Economiche e Sociali.     

Trasformata inversa di laplace per funzioni positive e problema dei momenti

Si propone un nuovo metodo per l'inversione numerica della transformata di Laplace per funzioni positive, tipicamente densità di probabilità. La funzione approssimante è ottenuta ricorrendo al principio di Massima Entropia, assumendo come informazione limitata i momenti della funzione da ricostruire, a loro volta legati da ben note relazioni alle derivate della funzione transformata. Dopo aver richiamato alcuni risultati teorici noti in letteratura concernenti l'esistenza dell'approssimante e la convergenza in entropia (e di conseguenza in normaL ₁), si presentano alcuni risultati teorici originali sul condizionamento del problema e alcuni risultati numerici che illustrano la bontà dell'approssimante.

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Summary A new method for the numerical Laplace transform inversion of positive functions, tipically probability density functions, is proposed. The approximating function is obtained resorting to the maxientropic approach, by assuming its moments as partial available information. Some known theoretical results concerning the existence and entropy convergence are reviewed. New theoretical results about the conditioning of the problem and some numerical simulations are illustrated.

     

Alcune proprietà strutturali delle reti di Petri

Dopo aver richiamato i concetti fondamentali sulle reti di Petri, si espongono alcune considerazioni sul problema della raggiungibilità ambientato nello spazio delle transizioni. Si introducono quindi alcune nozioni sulla stabilità e limitatezza strutturali delle reti di Petri, che vengono illustrate con un'applicazione a reti di divisori di frequenza binari. Il problema di decidere della stabilità o limitatezza di una rete di Petri è ricondotto a un problema di programmazione lineare.

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After recalling the basic concepts about Petri nets, we consider some aspects of the reachability problem in transition space. In particular, some theorems are given on the markings which enable given firing sequences.The new concept of stability of a Petri net is then introduced and we show that it is possible to decide efficiently if a net is stable or bounded by solving a unique linear programming problem.An application to binary frequency divisors is given last.

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Lavoro eseguito nell'ambito del Progetto CP dell'Università degli Studi di Milano e dell'Honeywell Information Systems Italia, e del programma di ricerca finanziato dal C.N.R., contratto n. 79.00701.02.     

Equilibrium with endogenous technological changes: Theory and applications

In this paper we use a continuous-time general equilibrium model to analyze the problem of evaluating new irreversible investment opportunities that take the form of technological changes. Being a new technology, by definition, not perfectly correlated with the existing ones, the traditional spanning assumption invoked by the Real Option literature is not applicable in this context and a general equilibrium approach provides a more suitable framework. We analyze the problem of optimal consumption and investment of the representative individual in the context of the Cox Ingersoll and Ross (1895) model. We characterize the solution of the model under different assumptions about the utility function of the representative individual and about the parameters describing the technologies in the economy. A major result obtained from the model is the possibility of jumps in the equilibrium rate of return at the time in which technological changes are implemented. This is particularly interesting considering the fact that such jumps are obtained endogenously from the solution of the optimization problem and not imposed by “ad hoc” assumptions on the evolution of some variables.

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Riassunto Un modello di equilibrio economico generale in tempo continuo è utilizzato per analizzare il problema di valutare una nuova, irreversibile, opportunità di investimento che si presenta sotto forma di innovazione tecnologica. Essendo, per definizione, la nuova tecnologia non perfettamente correlata con le tecnologie esistenti, la letteratura delle “opzioni reali” non è applicabile ed un modello di equilibrio economico generale fornisce un ambiente più adatto allo studio del problema. Facendo uso del modello di Cox Ingersoll and Ross (1985) si fornisce una soluzione sotto diverse ipotesi riguardanti la struttura delle preferenze e la natura dell'innovazione tecnologica. Un interessante risultato è la derivazione di possibili discontinuità nel tasso di interesse di equilibrio in corrispondenza dell'adozione della nuova tecnologia.

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I would like to express my gratitude to Vasant Naik, David Peterson, Raman Uppal and especially Burton Hollifield and Tan Wang for helpful discussions and suggestions.