Zur Entscheidung y>y0 aufgrund der Messung einer korrelierten Variablen

Zusammenfassung Es wird eine optimale Strategie im Sinne des minimalen erwarteten Verlustes für die beiden Entscheidungeny>y_o undyy_o aufgrund der Messungen einer mitY positiv korrelierten, einfacher und/oder billiger zugänglichen ZufallsvariablenX abgeleitet. Dabei wird angenommen, daßX undY nach einer bivariaten Normalverteilung mit bekannten Parametern verteilt sind und die Entscheidungyy_o getroffen wird, wennx größer ist als ein zu bestimmendesx_o, und die Entscheidungy>y_o, wennx gleich oder kleiner als diesesx_o ist. Für die Bestimmung des optimalenx_o werden zunächst die Kosten für die beiden Fehlentscheidungen jeweils als konstant vorausgesetzt, in einem weiteren Ansatz wird jedoch für die Mißklassifikationyy_o eine mity exponentiell wachsende Risikofunktion angenommen. Um die relative Häufigkeit der zu erwartenden Fehlklassifikationen abschätzen zu können, wird schließlich die bedingte WahrscheinlichkeitP(x>x_o,y) errechnet.

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Summary An optimal strategy, with minimum expected risk, for the decisionsy>y_o oryy_o is constructed on the basis of the measurement of a variableX, which is positively correlated withY and can be measured more easily and/or with smaller expense. A bivariate normal distribution with known parameters is assumed forX andY. For the observationsx a limitx_o is aimed at, so that the decisionsy>y_o oryy_o are taken ifx>x orxx_o respectively. Optimal values ofx_o are first calculated under the assumption of constant losses for the two misclassifications (x>x_o ifyy_o andxx_o ify>y_o). In a further approach the loss for a wrong decisionyy_o is assumed to increase exponentially withy. Finally the conditional probabilityP (x>x_oy) is calculated to get an assessment of the relative frequencies of wrong decisions to be expected.