A numerical representation of semiorders on a countable set |
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Authors: | Gianni Bosi |
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Affiliation: | (1) Dipartimento di Matematica Applicata Bruno de Finetti, Università di Trieste, Trieste, Italia |
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Abstract: | Let be a semiorder on a countable setX and letx0y if and only if either there existsx withxxy or there existsx withxxy. Then 0 is a preference relation with transitive indifference, which can be represented by a utility functionf of the usual sort. It is well known that is represented by a pair of real-valued functionsu, v, in the sense thatxy if and only ifu(x)>v(y). We prove that there exists a pair of functionsu, v, representing , such thatu+v is the utility function which represents in the usual sense. Moreover it is easily seen that, for such a pair of functionsu, v, we havex0y if and only if eitheru(x)>u(y) or (u(x)=u(y) andv(x)>v(y)).
Sommario Consideriamo unsemiordine su un insiemeX numerabile e poniamox0y se e solo se esistex tale chexxy, oppure esistex tale chexxy. In questo caso 0 è unordine debole, che può essere rappresentato da una funzione di utilitàf nel senso usuale. D'altra parte è rappresentato da una coppia di funzioniu, v, nel senso chexy se e solo seu(x)>v(y). In questo lavoro si prova che ammette una rappresentazioneu, v tale chex0y se e solo seu(x)+v(x)>u(y)+v(y). Si dimostra altresì che, con riguardo ad una siffatta rappresentazioneu, v di , riescex0y se e solo seu(x)>u(y) oppure (u(x)=u(y) ed anchev(x)>v(y)). |
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