Optimale Aufteilung des Stichprobenumfangs bei mehreren Merkmalen

Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß sich das vonNeyman undTschuprow für ein einziges Merkmal gelöste Problem der optimalen Aufteilung des Stichprobenumfangs auf vorgegebene Schichten auf ein nichtlineares Programm mit linearen Restriktionen und nichtlinearer Zielfunktion zurückführen läßt. Auf Grund der Konvexitätseigenschaft der Zielfunktion ergibt sich, daß das Minimum der Zielfunktion (Minimum der Streuung des Stichprobenmittels ) stets eindeutig ist. Der beiNeyman undTschuprow mögliche Fall, daß sich in derh-ten Schicht ein Stichprobenumfang ergibt, der größer als der Umfang in der Gesamtheit ist, kann hier nicht auftreten.Durch Einführung einer verallgemeinerten Streuung wird das Problem der optimalen Aufteilung bei vorgegebener Schichtung imk-dimensionalen Merkmalsraum aufk Merkmale verallgemeinert. Es wird gezeigt, daß diese verallgemeinerte Streuung (=Zielfunktion eines nichtlinearen Programms) im allgemeinen nicht über dem ganzen konvexen Bereich der zulässigen Lösungen konvex (von unten) ist. Ein Teilbereich des zulässigen Bereichs, über dem die Zielfunktion konvex ist, wird angegeben. Schließlich werden hierzu vergleichende Ergebnisse gebracht.     

Zur Existenz der höheren Momente von Punktprozessen

Zusammenfassung Mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten von genauk Ereignissen im Zeitpunktt _o unter der Bedingung, daß im Zeitpunktt _o mindestens ein Ereignis eintritt, wird eine Beziehung formuliert, die für die Existenz desk-ten Moments des die Ereignisse zählenden Punktprozesses notwendig ist. Hat dieser Punktprozeß unabhängige Zuwächse, so ist die angegebene Beziehung auch hinreichend für die Existenz desk-ten Moments.

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Summary Using the conditional probability thatk events occur at timet _o given that at least one event occurs att _o a condition is formulated which is necessary for the existence of the moment of orderk of the point process counting these events. This condition is sufficient, too, if the point process has independent increments.

     

Über die Existenz überall trennscharfer Tests im nicht-dominierten Fall

Einleitung Es sei (,A) ein Meßraum undP eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf . IstP durch ein -endliches Maß dominiert, so ist nachPfanzagl [1960] für die Existenz eines überall trennscharfen Tests zu jedem Niveau für die HypotheseP=P _o (P, P _o P) gegen die AlternativePP ₀ notwendig und hinreichend, daßP/{P ₀} isotonen Likelihood-Quotienten bzgl.P ₀ besitzt. Für den Fall, daßP total geordnet und dominiert ist, gilt nach [Pfanzagl, 1963] eine entsprechende Aussage: Genau dann existiert zu jedem Niveau ein überall trennscharfer Test, wennP isotonen Likelihood-Quotienten besitzt.Die vorliegende Arbeit zeigt, daß auf die Annahme der Dominiertheit verzichtet werden kann, und liefert darüber hinaus einen einheitlichen Beweis für die beiden oben zitierten Sätze vonPfanzagl.

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Summary Two theorems ofPfanzagl [1960, 1963] about necessary and sufficient conditions for the existence of uniformly most powerful tests are generalized to the undominated case. Moreover a unified proof for the two theorems ofPfanzagl is given.

     

Zur Theorie der Rangtests

Zusammenfassung Bekanntlich lassen sich eine Reihe wichtiger einseitiger Rangtests für verschiedene Problemklassen als lokal beste invariante Tests herleiten [vgl. etwaLehmann], so u. a. für den Vergleich zweier Stichproben, das Symmetrietestproblem und für die Prüfung auf Unabh?ngigkeit. In 2.1 bis 2.5 werden die Voraussetzungen angegeben, die für die Herleitung einer für den Vergleich vonk-Stichproben zuerst vonHoeffding angegebenen Formel ben?tigt werden und die u. a. bei den obigen drei Testproblemen erfüllt sind (vgl. hierzu 3.1 bis 3.3). Die in 4.5 angegebene, vom speziellen Problem unabh?ngigeHoeffding-Formel erm?glicht, wie in 4.2 kurz angedeutet werden soll, nach der Reduktion durch Invarianz eine einheitliche (optimale) Herleitung von Rangtests für die verschiedenen Problemklassen. Eine entsprechende Systematisierung, die überdies die bei der praktischen Durchführung von Rang-und Permutationstests bestehenden Analogien widerspiegelt, ist bei Permutationstests m?glich; jedoch sind hierzu gewisse Zusatzüberlegungen erforderlich [vgl.Witting 1969]. Diese Arbeit ist aus Diskussionen mitG. N?lle † bei der Abfassung vonWitting u.N?lle entstanden. Ihm sei hierfür auch an dieser Stelle nochmals gedankt.

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Summary Assumptions are formulated which are necessary for deriving a formula originally given byHoeffding for the comparison ofk samples. An analogous formula, which is independent of the special problem, makes it possible to derive in a consistent manner locally most powerful invariant tests for several classes of one-sided nonparametric test problems.

     

Die Schätzung des linearen Todesprozesses bei fehlerbehafteten Beobachtungen

Zusammenfassung Die Eigenschaften der Maximum-Likelihood-Schätzfunktion für den Parametera des linearen Todesprozesses werden für den Fall fehlerbehafteter, Beobachtungen untersucht. Die Beobachtungszeitpunkte werden äquidistant angenommen. Erwartungswert und Varianz der Schätzfunktion werden approximativ angegeben und für verschiedene Fälle numerisch ausgewertet. Hierbei wird zum einen vorausgesetzt, daß der Parameter aus einer Anfangsphase des Prozesses, zum anderen, daß er aus dem gesamten Verlauf des Prozesses geschätzt wird. Ebenfalls werden der Erwartungswert und die Varianz der Maximum-Likelihood-Schätzfunktion füre ^–at angegeben. Die asymptotische Verteilung der Schätzfunktion wird hergeleitet; damit zugleich ergeben sich Formeln zur Bildung eines Konfidenzintervalls füra. In allen Fällen folgen Hinweise auf den Gültigkeitsbereich der Näherungsformeln. Dargestellt werden die Ergebnisse vielfach in Bezug auf den durchschnittlichen relativen Fehler und den Variationskoeffizienten der Schätzfunktion. Zum Abschluß werden einige Beziehungen der hier erzielten Ergebnisse zu solchen aus der Theorie der Lebensdauerprüfung betrachtet.

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Summary The properties of the maximum likelihood estimator for the parametera of the linear death process are investigated in the case of observations combined with errors. It is assumed that the observations are made at equidistant points of time. The approximate bias and variance of the estimator are derived and numerically evaluated for various cases. In doing so the parameter is assumed to be estimated (a) from an initial phase of the process, and (b) from the outcome of the complete process. The asymptotic distribution of the estimator is developed and confidence interval fora is derived. Furthermore the bias and variance of the maximum likelihood estimator fore ^–at is determined. In all cases there are limits as to the region in which the approximations are valid. Generally the results are presented with reference to the average relative error of the estimator and its coefficient of variation. Finally some relations of the results derived to those from the theory of life testing are considered.

     

Empirical comparisons of some tests of separate families of hypotheses

Summary This paper is devoted to a comparison of the asymptotic tests of separate families of hypotheses proposed byCox [1961, 1962] and byAtkinson [1970]. The adequacy of the asymptotic results for finite samples is investigated and some conclusions reached. An examination of the terms which differentiate the two procedures is made. Empirical simulated results are discussed for cases involving the exponential, the lognormal and the Weibull distributions.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird ein Vergleich angestellt zwischen den Vorschlägen vonCox [1961, 1962] undAtkinson [1970] über asymptotische Tests separierter Familien von Hypothesen. Die Angemessenheit der asymptotischen Resultate für endliche Proben wird untersucht und einige Folgerungen gezogen. Eine Prüfung der Terme, die die beiden Verfahren differenzieren, wird vorgenommen. Empirisch simultierte Resultate werden distribuiert für Fälle mit exponential, lognormal und Weibull Verteilungen.

     

Bemerkungen zu den Sätzen von Jordan

Zusammenfassung Die Aussagen der Sätze von Jordan über die Wahrscheinlichkeit, daß vonn EreignissenA ₁, ...A _n mindestensm (genaum) eintreten, werden auf den Fall abzählbar vieler EreignisseA ₁,A ₂, ... verallgemeinert.

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Summary The Jordan-Theorems concerning the probability that at leastm (exactlym) amongn possible eventsA ₁, ...,A _n occur are generalized to the case of denumerably many EventsA ₁,A ₂,...

     

Suffiziente Vergröberungen im schwach dominierten Fall

Zusammenfassung Ein Experiment besteht aus einem Meßraum und einer Menge vonW-Maßen. Im allgemeinen nehmen wir an, daß das Experiment schwach dominiert ist. D. h. es gibt ein lokalisierbares Mß dertart, daß jedesW-Maß eine Dichte bzgl, dieses Maßes hat. Wir zeigen, daß ein schwach dominiertes Unterexperiment suffizient, ist, wenn es einen schwachen Markovkern (Markovkern fast überall) von dem Unterexperiment nach dem zugehörigen Experiment gibt, wir verallgemeinern diese Aussage für beliebige Experimente und geben ein verallgemeinertes Neyman-Kriterium an.

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An experiment consists of a measurable sapce and set of probability measures. In general, we shall assume the experiment to be weakly dominated. That means, there is a lokalisable measure such that each probability measure has a density with respect to this measure. We show that sufficiency of a subexperiment is implied by existence of a weak Markov kernel (Markov kernel almost everywhere) from the subexperiment to the corresponding experiment, the generalize this proposition for arbitrary experiments, and give a generalized Neyman criterion.

     

Streuungszerlegung für Paar-Vergleiche

Zusammenfassung Pl?ne für Paar-Vergleich Versuche werden gegeben und die Auswertung solcher Versuche wird beschrieben. Die Arbeit st?tzt sich auf das vonBock (1958) abge?nderte Modell vonThurstone undMosteller (1951a). Die Pl?ne sind so, da? sie zu unabh?ngig verteilten Fehlern führen. Zu ihrer Auswertung kann bedenkenlos die Streuungszerlegung angewendet werden. Die Konstruktion von ausgewogenen Pl?nen (allek(k−1)/2 m?glichen Paare werden verglichen) wird beschrieben und teilweise ausgewogene Pl?ne (nicht alle m?glichen Paare werden verglichen) für bis zu 10 Objekte sind tabelliert. Es wird gezeigt, da? die Auswertung solcher Versuche mit der Auswertung von Versuchen in unvollst?ndigen Bl?cken identisch ist. Zur leichteren Auswertung der teilweise ausgewogenen Versuche sind die Inversen der Koeffizientenmatrix der Normalgleichungen tabelliert. Ein Anwendungsbeispiel aus der Wollforschung wird durchgerechnet.

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Summary Designs for paired comparisons are given and their analysis is discussed. The paper is based onBock’s modification (1958) ofThurstone andMosteller’s (1951a) model. The designs lead to independently distributed errors and analysis of variance can be applied. The construction of balanced designs (in which allk(k−1)/2 possible comparisons are made) is described and partially balanced designs (in which not all possible comparisons are made) for up to 10 objects are tabulated. It is shown that the analysis of paired comparison experiments is identical to the analysis of incomplete block experiments. To simplify the analysis of the partially balanced designs the inverses of the matrices comprising the coefficients of the normal equations are tabulated. A worked example of application to a problem in wool research is given.

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Die Arbeit wurde im South African Wool Textile Research Institute, Rhodes University, Grahamstown, Südafrika, geschrieben.     

A comparison of approximately optimal stratification given proportional allocation with other methods of stratification and allocation

Summary In this article, we shall present an approximately optimal method for constructing stratum boundary points when the sample is allocated proportionally. The method is based on an equal partitioning of the cumulative off ^1/3, wheref is the distribution of the stratification variable. We show that in many practical situations this technique compares favourably with approximately optimal stratification and allocation methods previously suggested.

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Zusammenfassung In diesem Artikel stellen wir eine annähernd optimale Methode zur Festlegung von Stratabegrenzungspunkten dar, die für proportional angeordnete Samples gilt. Die Methode basiert auf einer gleichen Einteilung derf ^1/3-Kummulation, wobeif die Verteilung der Stratifikations-variablen darstellt. Wir zeigen, daß diese Technik in vielen praktischen Fällen gegenüber den bisher vorgeschlagenen Methoden zur optimalen Stratifikation und Zuordnung nicht schlecht abschneidet.

     

Zum Erschöpftheitsbegriff vonD. Blackwell

Zusammenfassung Der vonBlackwell mittelsMarkoffscher Kerne eingeführte Begriff der Erschöpftheit eines klassischen Experiments für ein zweites mit gleicher Indexmenge wird mit dem Begriff der erschöpfenden Statistik vonHalmos undSavage verglichen. In der Tat gibt es Bedingungen, unter denen beide Begriffe zusammenfallen. Der Äquivalenzsatz wird durch EigenschaftenMarkoffscher Kerne sowie derBlackwellschen Erschöpftheitsrelation vorbereitet. Gegenbeispiele ermöglichen es, die Notwendigkeit der Regularitätsbedingungen einzuschen.

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Summary Blackwell's studies concerning comparisons of experiments yield a concept of sufficiency which in general is not equivalent to the popular notion of a sufficient statistic made precise byHalmos andSavage. In fact regularity conditions can be given under which the two concepts coincide. Properties ofMarkov kernels and ofBlackwell's sufficiency relation are examined first. After the proof of the equivalence theorem counterexamples are presented to indicate the significance of the regularity conditions.

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Das Manuskript ist am 14. 10 1968 bei den Herausgebern eingegangen.     

Zum Problem des zweiarmigen Bernoulli-Banditen mit einer bekannten Erfolgswahrscheinlichkeit und unendlich vielen Spielen

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das Modell des sogenannten zweiarmigen Bernoulli-Banditen mit einer bekannten Erfolgswahrscheinlichkeit betrachtet. Wir nehmen an, daß die a priori Erfolgswahrscheinlichkeit am unbekannten Arm verteilt ist gemäß einer beliebigen Verteilungsfunktion. Wir formulieren das Problem als ein Markoffsches Entscheidungsmodell mit unendlichem Horizont und zeigen verschiedene Monotonieeigenschaften der Wertfunktion des Entscheidungsmodells. Wir stellen Optimalitätskriterien bereit, beweisen die Gültigkeit einer Stoppregel und zeigen abschließend die Existenz einer optimalen monotonen Strategie.

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Summary In this paper we consider the so called two-armed Bernoulli-bandit problem with one success probability known. We assume that the prior success probability for the unknown arm is distributed according to an arbitrary distribution function. We formulate this problem as a Markovian decision model with infinite horizon and show several monotonic properties of the value function of the decision model. We give a criterion for optimality and establish the existence of a stopping rule as well of a monotone optimal strategy.

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Diese Arbeit ist mit Unterstützung des von der Deutschen Forschungsgemeinschaft getragenen Sonderforschungsbereichs 72 entstanden.     

Erwartungswerte,Varianzen und Kovarianzen mehrerer Maxima der Abstände unabhängiger rechteckverteilter Zufallsvariabler

Zusammenfassung Unter Benutzung derRényi'schen Darstellung der geordneten Stichprobe unabhängiger exponentiell-verteilter Zufallsvariabler und der Darstellung der geordneten Stichprobe unabhängiger rechteckverteilter Variabler werden die gesuchten Größen sehr bequem aus einer Darstellung gewonnen, die auch für weitere Ergebnisse nützlich ist.

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Summary By means ofRényi's representation of the ordered sample of exponentially distributed variables and the representation of the ordered sample of uniformly distributed variables a useful representation for the maximum, the second-maximum etc. of the distances of uniformly distributed variables is given which delivers expectations and variances-covariances immediately.

     

Lineare Modelle und Hochrechnung von Wahlergebnissen

Zusammenfassung In dieser Note betrachten wir lineare statistische Modelle mit singulärer Kovarianzmatrix. Es wird gezeigt, daß die Singularität der Kovarianzmatrix gewisse Einschränkungen für den Erwartungswert impliziert. Es wird aber weiter gezeigt, daß man diese Einschränkungen vergessen kann, wenn man die beste lineare unverfälschte Schätzung des Erwartungswertes berechnet. Diese Ergebnisse werden dann angewandt auf multivariate Regressionsmodelle und die Hochrechnung von Wahlergebnissen aus Teilergebnissen.

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Summary In this note we consider linear statistical models with singular convariance-matrix. It is shown that the singularity of the covariance-matrix implies certain restrictions on the expectation value but it is moreover shown that these restrictions can be forgotten when computing best linear unbiased estimators of the expectation-value. These results are then applied to multivariate regressionmodels and the Hochrechnung of election results, i. e., the prediction of elections from partial results.

     

Role of experimental randomization in Bayesian statistics: An asymptotic theory for a single Bayesian

Summary Many experimental situations with controllable, independent design variables have an associated null hypothesis ₀ of zero dependence of observations on the design variables. The necessity of randomization of the design variables for asymptotic discriminability between ₀ and its complement is considered in terms of likelihood ratios. Applications are made to stochastic processes and comparative experiments.

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Zusammenfassung Viele experimentelle Situationen mit kontrollierten, unabhängigen Planungsvariablen haben eine assoziierte Null-Hypothese ₀, die besagt, daß die Beobachtungen nicht von den Planungsvariablen abhängen. Die Notwendigkeit der Randomisierung der Planungsvariablen für asymptotische Diskriminanz zwischen ₀ und ihres Komplementes wird mit Hilfe des Likelihood-Verhältnisses untersucht. Anwendungen auf dem Gebiet stochastischer Prozesse und komparativer Experimente werden diskutiert.

     

Die Nichtkonsistenz der M.-L. Schätzer im „Switching Regression” Problem

Zusammenfassung In letzter Zeit werden in der ökonomischen und ökonometrischen Literatur verstärkt Ungleichgewichtsmodelle betrachtet.Bei der Behandlung von methodischen Problemen in Ungleichgewichtsmodellen tritt das switching regression Problem auf.Im switching regression Problem beobachtet man eine Zufallsvariabley, die Regressand in einem vonm möglichen Regressionsansätzen ist; dabei liege keine weitere Information vor, aus welchem Regressionsansatzy beobachtet wird.Es wird gezeigt, daß die Maximum-Likelihood-Schätzer der Parameter der Regressionsansätze im allgemeinen nicht konsistent sind. Damit wird eine Behauptung vonFair/Jaffee [1972] widerlegt.     

r-te Momente von Punktprozessen

Zusammenfassung {X (t): tR ⁺} sei ein Punktprozeß,H (x) eine konvexe nicht-negative Funktion. Mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeitenp _n (t) für genaun Ereignisse (Punkte) im Zeitpunkt punktt unter der Bedingung, daß im Zeitpunktt mindestens ein Ereignis eintritt, wird eine Beziehung formuliert, die für die Existenz des ErwartungswertesE (H (X (t ₀))) notwendig ist. Hat der Punktprozeß unabhängige Zuwächse, und erfüllt die FunktionH (x) einige weitere Bedingungen, so ist die angegebene Beziehung auch hinreichend für die Existenz dieses Erwartungswertes. Für Punktprozesse mit unabhängigen Zuwächsen ergibt sich als unmittelbare Anwendung dieser Aussagen eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz vonE X (t ₀) ^r für reellesr1.

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Summary Let {X (t): tR ⁺} be a point process andH (x) a convex non-negative function. Using the conditional probabilitiesp _n (t) thatn events (points) occur at timet given that at least one event occurs att a condition is formulated which is necessary for the existence ofE (H (X (t ₀))). This condition is sufficient, too, if the point process has independent increments and the functionH (x) fulfils some further conditions. Using these statements one gets a necessary and sufficient condition for the existence ofE X (t ₀) ^r for realr1.

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Herrn ProfessorWeissinger zum 65. Geburtstag am 12. Mai 1978 gewidmet     

Modellierungsansätze in der Warenkorbanalyse im Überblick

Zusammenfassung Ein Großteil der Handelsunternehmen versucht mittlerweile, Kunden über Kundenkartenprogramme und die damit verbundenen Vorteile an sich zu binden. Der Handel kann dadurch auf große Datenmengen über die Kaufhistorie seiner Kunden zurückgreifen. Die Antworten auf strategische Fragestellungen, wie beispielsweise die Kundenbindung, sollen zu einer nachhaltigen Weiterentwicklung jedes einzelnen Kunden führen. Für die hier skizzierte Anwendung im Handel wird in der Regel mit der sogenannten Warenkorbanalyse gearbeitet. Diese Methode beinhaltet die Untersuchung der Zusammensetzung eines Warenkorbs, der alle von einem Konsumenten zur gleichen Zeit am gleichen Ort erworbenen Güter umfasst. Dabei wird angenommen, dass die Kaufentscheidungen in den Kategorien nicht unabhängig getroffen werden, sondern über die Kategorien hinweg voneinander abhängen. Bei der Modellierung von Kaufwahrscheinlichkeiten müssen diese Abhängigkeiten berücksichtigt werden, um geeignete Marketingstrategien ableiten zu können. Dieser Artikel gibt einen Überblick über bestehende Veröffentlichungen im Bereich der Verbundanalyse. Die relevante Literatur wird in explorative und explanative Modelle gegliedert, wobei der Schwerpunkt dieses Artikels auf den explanativen Modellen liegt. Komplementarität, Heterogenität und Mitnahmeeffekte werden als Bestimmungsfaktoren des Verbundkaufs identifiziert.      

Über eine Anwendung der Potentialtheorie transienter Markoff-Ketten

Zusammenfassung Bei diskretenMarkoff-Ketten sind die Bedingungen: Gleichheit der superharmonischen Funktionen, Gleichheit der Trefferwahrscheinlichkeiten sowie Gleichheit der Sprungmatrizen äquivalent. Einen einfachen Beweis erhält man mit Hilfe von Aussagen der Potentialtheorie transienterMarkoff-Ketten. Die Aussagen des diskreten Falles kann man benutzen, um entsprechende Aussagen für gewisse minimaleMarkoff-Ketten herzuleiten.

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Summary For discreteMarcov chains the following conditions are equivalent: Identical superharmonic functions, identical hitting probabilities, identical jump matrices. A simple proof can be given by using the potential theory of transientMarcov chains. With the help of the statements in the discrete case it is possible to get some of the corresponding results for certain classes of minimalMarcov chains.

     

On two-state quality control under Markovian deterioration

Summary Applied to the two-state version of a quality control model introduced byRoss [1971], we derive upper and lower bounds for the minimal expected total discounted cost, give regions for nonoptimality for each of the three actions (produce, inspect, revise), and construct nearly optimal decision rules easy to realize.

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Zusammenfassung Für ein vonRoss [1971] eingeführtes Modell der statistischen Qualitätskontrolle werden untere und obere Schranken für die minimalen erwarteten diskontierten Gesamtkosten gegeben, Suboptimalitätsbereiche für jede der drei möglichen Aktionen (produzieren, kontrollieren, ersetzen) hergeleitet und gute leicht zu realisierende Entscheidungsregeln konstruiert.