Stetige stochastische Approximation

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird der Robbins-Monroe Prozeß mit stetigem Parameter studiert. Durch eine neue Methode (Vergleich mit expliziten Lösungen) können verschiedene Aspekte wie Konvergenzgeschwindigkeit, asymptotische Normalität, Gesetz vom iterierten Logarithmus etc. auf ähnliche Weise behandelt werden. Der Fall, daß die Ableitung der Regressionsfunktionf in dem gesuchten Punktx ^* gleich Null ist, wird ebenfalls behandelt.

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Summary In this paper, the continuous parameter Robbins-Monroe process is studied. Using a new method (comparison with explicit solutions) we treat several aspects such as rate of convergence, asymptotic normality, law of iterated logarithm etc. by the same approach. The case when the regression functionf has zero derivative at the rootx ^* is also considered.

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Meinem verehrten Lehrer, Herrn Prof. Dr.L. Schmetterer, zu seinem 60. Geburtstag gewidmet.     

Optimal stratification and grouping by dynamic programming

Summary In statistics and their fields of application a number of different problems in respect to stratification and grouping of random variables or their values result in optimization problems of the same structure. By a suitable transformation a global optimal solution of these problems can be determined by dynamic programming. The results are illustrated for discrete and continuous random variables by numerical results.

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Zusammenfassung In der Statistik und ihren Anwendungsgebieten führen verschiedene Aufgabenstellungen bei der Schichtung und Gruppierung von Zufallsgrößen, oder deren Realisationen auf Optimierungsprobleme derselben Struktur. Diese Optimierungsprobleme können durch eine geeignete Transformation auf eine Form gebracht werden, so daß eines der rekursiven Verfahren der dynamischen Optimierung zur Bestimmung eines globalen Optimums angewandt werden kann. An Beispielen diskreter und stetiger Zufallsvariablen wird die Vorgehensweise demonstriert.

     

Die Schätzung des linearen Todesprozesses bei fehlerbehafteten Beobachtungen

Zusammenfassung Die Eigenschaften der Maximum-Likelihood-Schätzfunktion für den Parametera des linearen Todesprozesses werden für den Fall fehlerbehafteter, Beobachtungen untersucht. Die Beobachtungszeitpunkte werden äquidistant angenommen. Erwartungswert und Varianz der Schätzfunktion werden approximativ angegeben und für verschiedene Fälle numerisch ausgewertet. Hierbei wird zum einen vorausgesetzt, daß der Parameter aus einer Anfangsphase des Prozesses, zum anderen, daß er aus dem gesamten Verlauf des Prozesses geschätzt wird. Ebenfalls werden der Erwartungswert und die Varianz der Maximum-Likelihood-Schätzfunktion füre ^–at angegeben. Die asymptotische Verteilung der Schätzfunktion wird hergeleitet; damit zugleich ergeben sich Formeln zur Bildung eines Konfidenzintervalls füra. In allen Fällen folgen Hinweise auf den Gültigkeitsbereich der Näherungsformeln. Dargestellt werden die Ergebnisse vielfach in Bezug auf den durchschnittlichen relativen Fehler und den Variationskoeffizienten der Schätzfunktion. Zum Abschluß werden einige Beziehungen der hier erzielten Ergebnisse zu solchen aus der Theorie der Lebensdauerprüfung betrachtet.

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Summary The properties of the maximum likelihood estimator for the parametera of the linear death process are investigated in the case of observations combined with errors. It is assumed that the observations are made at equidistant points of time. The approximate bias and variance of the estimator are derived and numerically evaluated for various cases. In doing so the parameter is assumed to be estimated (a) from an initial phase of the process, and (b) from the outcome of the complete process. The asymptotic distribution of the estimator is developed and confidence interval fora is derived. Furthermore the bias and variance of the maximum likelihood estimator fore ^–at is determined. In all cases there are limits as to the region in which the approximations are valid. Generally the results are presented with reference to the average relative error of the estimator and its coefficient of variation. Finally some relations of the results derived to those from the theory of life testing are considered.

     

Modellierungsansätze in der Warenkorbanalyse im Überblick

Zusammenfassung Ein Großteil der Handelsunternehmen versucht mittlerweile, Kunden über Kundenkartenprogramme und die damit verbundenen Vorteile an sich zu binden. Der Handel kann dadurch auf große Datenmengen über die Kaufhistorie seiner Kunden zurückgreifen. Die Antworten auf strategische Fragestellungen, wie beispielsweise die Kundenbindung, sollen zu einer nachhaltigen Weiterentwicklung jedes einzelnen Kunden führen. Für die hier skizzierte Anwendung im Handel wird in der Regel mit der sogenannten Warenkorbanalyse gearbeitet. Diese Methode beinhaltet die Untersuchung der Zusammensetzung eines Warenkorbs, der alle von einem Konsumenten zur gleichen Zeit am gleichen Ort erworbenen Güter umfasst. Dabei wird angenommen, dass die Kaufentscheidungen in den Kategorien nicht unabhängig getroffen werden, sondern über die Kategorien hinweg voneinander abhängen. Bei der Modellierung von Kaufwahrscheinlichkeiten müssen diese Abhängigkeiten berücksichtigt werden, um geeignete Marketingstrategien ableiten zu können. Dieser Artikel gibt einen Überblick über bestehende Veröffentlichungen im Bereich der Verbundanalyse. Die relevante Literatur wird in explorative und explanative Modelle gegliedert, wobei der Schwerpunkt dieses Artikels auf den explanativen Modellen liegt. Komplementarität, Heterogenität und Mitnahmeeffekte werden als Bestimmungsfaktoren des Verbundkaufs identifiziert.      

On two-state quality control under Markovian deterioration

Summary Applied to the two-state version of a quality control model introduced byRoss [1971], we derive upper and lower bounds for the minimal expected total discounted cost, give regions for nonoptimality for each of the three actions (produce, inspect, revise), and construct nearly optimal decision rules easy to realize.

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Zusammenfassung Für ein vonRoss [1971] eingeführtes Modell der statistischen Qualitätskontrolle werden untere und obere Schranken für die minimalen erwarteten diskontierten Gesamtkosten gegeben, Suboptimalitätsbereiche für jede der drei möglichen Aktionen (produzieren, kontrollieren, ersetzen) hergeleitet und gute leicht zu realisierende Entscheidungsregeln konstruiert.

     

Empirical comparisons of some tests of separate families of hypotheses

Summary This paper is devoted to a comparison of the asymptotic tests of separate families of hypotheses proposed byCox [1961, 1962] and byAtkinson [1970]. The adequacy of the asymptotic results for finite samples is investigated and some conclusions reached. An examination of the terms which differentiate the two procedures is made. Empirical simulated results are discussed for cases involving the exponential, the lognormal and the Weibull distributions.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird ein Vergleich angestellt zwischen den Vorschlägen vonCox [1961, 1962] undAtkinson [1970] über asymptotische Tests separierter Familien von Hypothesen. Die Angemessenheit der asymptotischen Resultate für endliche Proben wird untersucht und einige Folgerungen gezogen. Eine Prüfung der Terme, die die beiden Verfahren differenzieren, wird vorgenommen. Empirisch simultierte Resultate werden distribuiert für Fälle mit exponential, lognormal und Weibull Verteilungen.

     

r-te Momente von Punktprozessen

Zusammenfassung {X (t): tR ⁺} sei ein Punktprozeß,H (x) eine konvexe nicht-negative Funktion. Mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeitenp _n (t) für genaun Ereignisse (Punkte) im Zeitpunkt punktt unter der Bedingung, daß im Zeitpunktt mindestens ein Ereignis eintritt, wird eine Beziehung formuliert, die für die Existenz des ErwartungswertesE (H (X (t ₀))) notwendig ist. Hat der Punktprozeß unabhängige Zuwächse, und erfüllt die FunktionH (x) einige weitere Bedingungen, so ist die angegebene Beziehung auch hinreichend für die Existenz dieses Erwartungswertes. Für Punktprozesse mit unabhängigen Zuwächsen ergibt sich als unmittelbare Anwendung dieser Aussagen eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz vonE X (t ₀) ^r für reellesr1.

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Summary Let {X (t): tR ⁺} be a point process andH (x) a convex non-negative function. Using the conditional probabilitiesp _n (t) thatn events (points) occur at timet given that at least one event occurs att a condition is formulated which is necessary for the existence ofE (H (X (t ₀))). This condition is sufficient, too, if the point process has independent increments and the functionH (x) fulfils some further conditions. Using these statements one gets a necessary and sufficient condition for the existence ofE X (t ₀) ^r for realr1.

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Herrn ProfessorWeissinger zum 65. Geburtstag am 12. Mai 1978 gewidmet     

Zur Existenz der höheren Momente von Punktprozessen

Zusammenfassung Mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten von genauk Ereignissen im Zeitpunktt _o unter der Bedingung, daß im Zeitpunktt _o mindestens ein Ereignis eintritt, wird eine Beziehung formuliert, die für die Existenz desk-ten Moments des die Ereignisse zählenden Punktprozesses notwendig ist. Hat dieser Punktprozeß unabhängige Zuwächse, so ist die angegebene Beziehung auch hinreichend für die Existenz desk-ten Moments.

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Summary Using the conditional probability thatk events occur at timet _o given that at least one event occurs att _o a condition is formulated which is necessary for the existence of the moment of orderk of the point process counting these events. This condition is sufficient, too, if the point process has independent increments.

     

Erwartungswerte,Varianzen und Kovarianzen mehrerer Maxima der Abstände unabhängiger rechteckverteilter Zufallsvariabler

Zusammenfassung Unter Benutzung derRényi'schen Darstellung der geordneten Stichprobe unabhängiger exponentiell-verteilter Zufallsvariabler und der Darstellung der geordneten Stichprobe unabhängiger rechteckverteilter Variabler werden die gesuchten Größen sehr bequem aus einer Darstellung gewonnen, die auch für weitere Ergebnisse nützlich ist.

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Summary By means ofRényi's representation of the ordered sample of exponentially distributed variables and the representation of the ordered sample of uniformly distributed variables a useful representation for the maximum, the second-maximum etc. of the distances of uniformly distributed variables is given which delivers expectations and variances-covariances immediately.

     

A note on the optimality ofk-stage tests

Summary This note deals with sequential tests requiring at mostk observations. First a lemma is proved concerning the form of Bayes solutions. Then it is demonstrated by giving a counter-example that the theorem ofWald andWolfowitz has no correspondence fork-stage tests.

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Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß man beik-stufigen Tests zwar für die Gestalt vonBayes-Lösungen ein Analogon zu den unbeschränkten Sequenztests hat, daß aber der Satz vonWald undWolfowitz über die gleichmäßige Optimalität bzgl. des Stichprobenumfangs keine Entsprechung besitzt.

     

Loss functions and admissible estimators in survey sampling

Summary Consider simple random sampling (without replacement) of a fixed size and lett ₀ be the sample mean, i.e. the arithmetic mean of all variate values observed in the sample. The class {t ₀: real} of estimators for the population mean (i.e. The arithmetic mean of all variate values) then surely is of interest.We discuss different types of variates, in particular variates with positive values only. For these variates the usual square error loss gives rise to a strange class of admissible estimators. An other type of loss functions seems far more appropriate. For this (logarithmic) type, t ₀ is admissible iff =1. We prove that there exists no other type of loss functions with the property that the unbiased estimatort ₀ is the only admissible element of the class {t ₀: >0}.

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Zusammenfassung Bei fest vorgegebenem Stichprobenumfang werde uneingeschränkt zufällig ausgewählt (ohne Zurücklegen);t ₀ bezeichne das Stichprobenmittel, d.h. das arithmetische Mittel aller Stichprobenbeobachtungen des Untersuchungsmerkmals. Von besonderen Interesse ist dann zweifellos die Klasse {t ₀: reell} von Schätzfunktionen für das Gesamtmittel, d.h. für das arithmetische Mittel aller Ausprägungen des Untersuchungsmerkmals.Wir betrachten verschiedene Typen von Untersuchungsmerkmalen, insbesondere Merkmale, die nur positive Ausprägungen besitzen. Für diese Merkmale führt die Verwendung der üblichen quadratischen verlustfunktion zu einer sehr merkwürdigen Klasse zulässiger Schätzfunktionen. Ein anderer Typ von Verlustfunktionen erscheint weit eher angebracht. Für diesen (logarithmischen) Typ ist t ₀ genaudann zulässig, wenn =1 gilt. Wir beweisen, daß für keinen anderen Typ von Verlustfunktionent ₀ das einzige zulässige Element der Klasse {t ₀:>0} ist.

     

Einsatzmöglichkeiten der Matching Methode zur Berücksichtigung von Selbstselektion

Zusammenfassung Häufig ist es von Interesse, den Effekt der Teilnahme an einer Massnahme auf eine Ergebnisvariable zu untersuchen. Um jedoch eine Kausalität adäquat evaluieren zu können, müssen Selbstselektionseffekte berücksichtigt werden. Hierfür wird die Matching Methode vorgeschlagen. Bei der Matching Methode besteht das Ziel darin, durch die Bildung von Paaren von Teilnehmern und Nicht-Teilnehmern den Effekt der Teilnahme an einer Massnahme auf eine Ergebnisvariable zu bewerten. Dieser Beitrag stellt unterschiedliche Varianten der Matching Methode vor und vergleicht diese. Der Beitrag zeigt damit, wie bei betriebswirtschaftlichen Problemen Selbstselektionseffekte angemessen berücksichtigt werden können. JEL classifications C40, C21, M31     

Zum Problem des zweiarmigen Bernoulli-Banditen mit einer bekannten Erfolgswahrscheinlichkeit und unendlich vielen Spielen

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das Modell des sogenannten zweiarmigen Bernoulli-Banditen mit einer bekannten Erfolgswahrscheinlichkeit betrachtet. Wir nehmen an, daß die a priori Erfolgswahrscheinlichkeit am unbekannten Arm verteilt ist gemäß einer beliebigen Verteilungsfunktion. Wir formulieren das Problem als ein Markoffsches Entscheidungsmodell mit unendlichem Horizont und zeigen verschiedene Monotonieeigenschaften der Wertfunktion des Entscheidungsmodells. Wir stellen Optimalitätskriterien bereit, beweisen die Gültigkeit einer Stoppregel und zeigen abschließend die Existenz einer optimalen monotonen Strategie.

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Summary In this paper we consider the so called two-armed Bernoulli-bandit problem with one success probability known. We assume that the prior success probability for the unknown arm is distributed according to an arbitrary distribution function. We formulate this problem as a Markovian decision model with infinite horizon and show several monotonic properties of the value function of the decision model. We give a criterion for optimality and establish the existence of a stopping rule as well of a monotone optimal strategy.

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Diese Arbeit ist mit Unterstützung des von der Deutschen Forschungsgemeinschaft getragenen Sonderforschungsbereichs 72 entstanden.     

Über die Existenz überall trennscharfer Tests im nicht-dominierten Fall

Einleitung Es sei (,A) ein Meßraum undP eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf . IstP durch ein -endliches Maß dominiert, so ist nachPfanzagl [1960] für die Existenz eines überall trennscharfen Tests zu jedem Niveau für die HypotheseP=P _o (P, P _o P) gegen die AlternativePP ₀ notwendig und hinreichend, daßP/{P ₀} isotonen Likelihood-Quotienten bzgl.P ₀ besitzt. Für den Fall, daßP total geordnet und dominiert ist, gilt nach [Pfanzagl, 1963] eine entsprechende Aussage: Genau dann existiert zu jedem Niveau ein überall trennscharfer Test, wennP isotonen Likelihood-Quotienten besitzt.Die vorliegende Arbeit zeigt, daß auf die Annahme der Dominiertheit verzichtet werden kann, und liefert darüber hinaus einen einheitlichen Beweis für die beiden oben zitierten Sätze vonPfanzagl.

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Summary Two theorems ofPfanzagl [1960, 1963] about necessary and sufficient conditions for the existence of uniformly most powerful tests are generalized to the undominated case. Moreover a unified proof for the two theorems ofPfanzagl is given.

     

Der Einfluss von Corporate Governance auf die Determinanten und Effekte von Investitionen

Zusammenfassung Der vorliegende Überblicksartikel kommt zu dem Schluss, dass das Corporate-Governance-Umfeld einer Firma den Zusammenhang zwischen den Investitionen (I) und Cash Flows (CF) und damit die Investitionsrenditen beeinflusst. Beide Erklärungsansätze für positive I-CF-Sensitivitäten – die Theorie der asymmetrischen Informationen (TAI) als auch die Manager-Diskretions-Theorie (MDT) – finden empirische Unterstützung in Unter-Stichproben von Firmen. Die TAI erscheint wahrscheinlicher für junge, kleine und familienkontrollierte Firmen. Enge Banken-Firmen-Beziehungen reduzieren Finanzierungsrestriktionen. Wesentliche Bestimmungsfaktoren der I-CF-Sensitivität sind auch die Rechtstradition des Landes, in der sich die Firma befindet, die Qualität des Rechnungswesens und die Eigentümerstruktur der Firma. Die empirische Evidenz über die Schätzung von Investitionsrenditen ist ebenfalls konsistent mit der Aussage, dass manche Firmen unterinvestieren (müssen), während andere überinvestieren. JEL classifications G31, G32     

Eine zweifache Verallgemeinerung der Pólya-Verteilung und ihre verschiedenen Deutungen

Zusammenfassung Die erste Verallgemeinerung der Pólya-Verteilung durch Ziehungen aus einer Urne, die Kugeln ins verschiedenen Farben enthält, wird aufr Ziehungsgruppen verallgemeinert und entspricht damit einer Überschreitungswahrscheinlichkeit beir+1 Serien von Stichproben und einer Wartezeitverteilung (Gruppe vons–1 Warteperioden) bei einer geeignet gefüllten Urne mit Kugeln inr Farben sowie der Transponierungswahrscheinlichkeit bei einem Kugelziehungsproblem und weiteren Deutungen; die interessierenden Varianzen und Kovarianzen werden angegeben und mit denen einer verallgemeinerten hypergeometrischen Verteilung verglichen.

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Summary The first generalization ofPólya's distribution by taking balls from an urn with balls ins colours is generalized tor series of takings and thus corresponds to a generalized distribution of exceendances, a certain waiting-problem, to a law of succession and certain other interpretations. Variances and covariances are calculated and compared with those of a generalized hypergeometric distribution.

     

Inference ony>y o by using a correlated variable: A three decision approach

Summary In an extension of the two decision approach [Bauer, Scheiber andWohlzogen, 1975] a Bayes solution is aimed at for the three decisiony>y _o,yy _o or no classification on the basic of the measurement of a positively correlated random variableX, which can be measured more easily and/or with smaller expense. Assuming a bivariate normal distribution forX andY optimal decision regions for the measuredx are derived in the case of constant or exponentially increasing losses.

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Zusammenfassung In Erweiterung des Zwei-Entscheidungsproblems [Bauer, Scheiber undWohlzogen, 1975] wird eine Bayes-Lösung für die drei Entscheidungeny>y ₀,yy ₀ oder keine Zuordnung aufgrund der Messung einer mitY positiv korrelierten, einfacher und/oder billiger zugänglichen ZufallsvariablenX angestrebt. Optimale Entscheidungsbereiche für die Messungenx werden bei Voraussetzung einer bivariaten Normalverteilung fürX undY unter der Annahme konstanter oder exponentiell wachsender Verluste bestimmt.

     

Selbstregulation, Regulationsfokus und Arbeitsmotivation

Zusammenfassung Die Bedeutung der Selbstregulation für die Arbeitsmotivation und -leistung ist unumstritten. Der vorliegende Beitrag beschäftigt sich mit Selbstregulation, mit dem Regulationsfokus auf Promotion oder Prävention und der Passung zwischen Regulationsfokus und Arbeitsauftrag und -anforderungen. Die Übereinstimmung zwischen der Art der Selbstregulation einer Person und der aktuellen Situation hat positive Konsequenzen auf die Arbeitsmotivation und Arbeitszufriedenheit. Auch die Effizienz von Feedback über Arbeitsschritte und -leistungen sowie der Erfolg von Programmen zur Förderung eines gesunden Lebensstils hängen vom Regulationsfokus des Empfängers der Botschaft ab. In der Mitarbeiterführung und Arbeitsgestaltung können die Berücksichtigung des Regulationsfokus einer Person, eine entsprechende Aufgabenformulierung und die adäquate Rückmeldung über die Arbeitsleistung positive Effekte auf Motivation und Leistung haben. JEL classifications M12, M54     

Lineare Modelle und Hochrechnung von Wahlergebnissen

Zusammenfassung In dieser Note betrachten wir lineare statistische Modelle mit singulärer Kovarianzmatrix. Es wird gezeigt, daß die Singularität der Kovarianzmatrix gewisse Einschränkungen für den Erwartungswert impliziert. Es wird aber weiter gezeigt, daß man diese Einschränkungen vergessen kann, wenn man die beste lineare unverfälschte Schätzung des Erwartungswertes berechnet. Diese Ergebnisse werden dann angewandt auf multivariate Regressionsmodelle und die Hochrechnung von Wahlergebnissen aus Teilergebnissen.

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Summary In this note we consider linear statistical models with singular convariance-matrix. It is shown that the singularity of the covariance-matrix implies certain restrictions on the expectation value but it is moreover shown that these restrictions can be forgotten when computing best linear unbiased estimators of the expectation-value. These results are then applied to multivariate regressionmodels and the Hochrechnung of election results, i. e., the prediction of elections from partial results.

     

Einige Bemerkungen zur Theorie der Maximum Probability Schätzer

Zusammenfassung Unter allgemeinen Voraussetzungen über den Likelihoodquotienten wird die Konsistenz des Maximum Probability Schätzers gezeigt. Ferner wird die asymptotische Verteilung von Maximum Probability Schätzern unter Voraussetzung der asymptotischen Normalität der Loglikelihoodquotienten gezeigt.

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Summary Under general assumptions for the likelihoodratio consistency of the maximum probability estimate is shown. Further the asymptotic distribution of maximum probability estimates is derived for the cases where the loglikelihoodratio is asymptotically normal distributed.

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Meinem verehrten Lehrer, Herrn Prof. Dr. L. Schmetterer, zu seinem 60. Geburtstag gewidmet